Унимодальность

В математике , унимодальности средство , обладающее уникальным режима . В более общем смысле, унимодальность означает, что существует только одно наивысшее значение, так или иначе определенное, некоторого математического объекта. ^[1]

Унимодальное распределение вероятностей [ править ]

Рис. 1. Функция плотности вероятности нормальных распределений, пример унимодального распределения.

Рисунок 2. Простое бимодальное распределение.

Рисунок 3. Бимодальное распределение. Обратите внимание, что только самый большой пик будет соответствовать режиму в строгом смысле определения режима.

В статистике , унимодальны распределение вероятностей или унимодальны распределения является распределение вероятностей , которое имеет один пик. Термин «режим» в этом контексте относится к любому пику распределения, а не только к строгому определению режима, который обычно используется в статистике.

Если есть одиночный режим, функция распределения называется «унимодальной». Если в нем больше режимов, это «бимодальный» (2), «тримодальный» (3) и т. Д. Или в целом «мультимодальный». ^[2] На рисунке 1 показаны унимодальные нормальные распределения . Другие примеры унимодальных распределений включают распределение Коши , t-распределение Стьюдента , распределение хи-квадрат и экспоненциальное распределение . Среди дискретных распределений биномиальное распределение и распределение Пуассона можно рассматривать как унимодальные, хотя для некоторых параметров они могут иметь два соседних значения с одинаковой вероятностью.

Рисунки 2 и 3 иллюстрируют бимодальные распределения.

Другие определения [ править ]

Существуют и другие определения унимодальности в функциях распределения.

В непрерывных распределениях унимодальность может быть определена через поведение кумулятивной функции распределения (cdf). ^[3] Если cdf выпуклый для x  <  m и вогнутый для x  >  m , то распределение является унимодальным, m - мода. Обратите внимание, что согласно этому определению равномерное распределение является унимодальным, ^[4]а также любое другое распределение, в котором максимальное распределение достигается для диапазона значений, например, трапециевидное распределение. Обычно это определение допускает разрыв режима; обычно в непрерывном распределении вероятность любого отдельного значения равна нулю, в то время как это определение допускает ненулевую вероятность или «атом вероятности» в режиме.

Критерии унимодальности также могут быть определены через характеристическую функцию распределения ^[3] или через его преобразование Лапласа – Стилтьеса . ^[5]

Другой способ определить одномодальное дискретное распределение - это изменение знака в последовательности разностей вероятностей. ^[6] Дискретное распределение с функцией массы вероятности , называется унимодальным, если последовательность имеет ровно одно изменение знака (когда нули не учитываются).${\displaystyle \{p_{n};n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}$${\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }$

Использование и результаты [ править ]

Одна из причин важности унимодальности распределения состоит в том, что она позволяет получить несколько важных результатов. Ниже приведены несколько неравенств, которые справедливы только для одномодальных распределений. Таким образом, важно оценить, получен ли данный набор данных из одномодального распределения. Несколько тестов на унимодальность приведены в статье о мультимодальном распределении .

Неравенства [ править ]

Неравенство Гаусса [ править ]

Первый важный результат - неравенство Гаусса . ^[7] Неравенство Гаусса дает верхнюю границу вероятности того, что значение находится больше, чем любое заданное расстояние от его моды. Это неравенство зависит от унимодальности.

Неравенство Высочанского – Петунина [ править ]

Вторым является неравенством Vysochanskiï-Петуния , ^[8] уточнение неравенства Чебышева . Неравенство Чебышева гарантирует, что в любом распределении вероятностей «почти все» значения «близки» к среднему значению. Неравенство Высочанского – Петунина уточняет это до еще более близких значений при условии, что функция распределения является непрерывной и унимодальной. Дальнейшие результаты показали Sellke & Sellke. ^[9]

Режим, медиана и среднее значение [ править ]

Гаусс также показал в 1823 г., что для унимодального распределения ^[10]

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

а также

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

где медиана - ν , среднее - μ, а ω - среднеквадратичное отклонение от моды.

Для унимодального распределения можно показать, что медиана ν и среднее значение μ лежат в пределах (3/5) ^1/2 ≈ 0,7746 стандартных отклонений друг от друга. ^[11] В символах,

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$

где |. | - абсолютное значение.

В 2020 году Бернард, Каззи и Вандуффель обобщили предыдущее неравенство, получив максимальное расстояние между симметричным средним квантилем и средним значением, ^[12]${\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right),\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right),\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right].\end{array}}\right.}$

Стоит отметить, что максимальное расстояние минимизируется в (то есть, когда симметричное среднее квантильное значение равно ), что действительно мотивирует общий выбор медианы в качестве надежной оценки среднего. Более того, когда граница равна , что является максимальным расстоянием между медианой и средним значением унимодального распределения.${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle q_{0.5}=\nu }$${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$

Аналогичное соотношение имеет место между медианой и модой θ : они лежат в пределах 3 ^1/2 ≈ 1,732 стандартных отклонений друг от друга:

${\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

Также можно показать, что среднее значение и мода лежат в пределах 3 ^1/2 друг от друга.

${\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

Асимметрия и эксцесс [ править ]

Рохатги и Секели утверждали, что асимметрия и эксцесс унимодального распределения связаны неравенством: ^[13]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}$

где κ - эксцесс, а γ - асимметрия. Клаассен, Моквельд и ван Эс показали, что это применимо только в определенных условиях, таких как набор унимодальных распределений, в которых мода и среднее совпадают. ^[14]

Они вывели более слабое неравенство, применимое ко всем унимодальным распределениям: ^[14]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}$

Эта граница является точной, поскольку достигается равновесовой смесью равномерного распределения на [0,1] и дискретного распределения на {0}.

Унимодальная функция [ править ]

Поскольку термин «модальный» применяется к наборам данных и распределению вероятностей, а не к функциям в целом, приведенные выше определения не применяются. Определение «унимодального» также было распространено на функции действительных чисел .

Общее определение таково: функция f ( x ) является унимодальной функцией, если для некоторого значения m она монотонно возрастает при x ≤ m и монотонно убывает при x ≥ m . В этом случае максимальное значение f ( x ) равно f ( m ), и других локальных максимумов нет.

Доказать унимодальность зачастую сложно. Один из способов состоит в использовании определения этого свойства, но оказывается, что он подходит только для простых функций. Существует общий метод, основанный на производных ^[15], но он не дает успеха для каждой функции, несмотря на свою простоту.

Примеры унимодальных функций включают квадратичные полиномиальные функции с отрицательным квадратичным коэффициентом, функции отображения палатки и многое другое.

Вышесказанное иногда называют сильной унимодальностью из-за того, что подразумеваемая монотонность является сильной монотонностью . Функция f ( x ) является слабо унимодальной функцией, если существует значение m, для которого она слабо монотонно возрастает при x ≤ m и слабо монотонно убывает при x ≥ m . В этом случае максимальное значение f ( m ) может быть достигнуто для непрерывного диапазона значений x . Примером слабо унимодальной функции, которая не является сильно унимодальной, является каждая вторая строка вТреугольник Паскаля .

В зависимости от контекста, одномодальная функция может также относиться к функции, которая имеет только один локальный минимум, а не максимум. ^[16] Например, локальная одномодальная выборка , метод численной оптимизации, часто демонстрируется с такой функцией. Можно сказать, что унимодальная функция при таком расширении - это функция с одним локальным экстремумом .

Одним из важных свойств унимодальных функций является то, что экстремум может быть найден с использованием алгоритмов поиска, таких как поиск золотого сечения , троичный поиск или последовательная параболическая интерполяция .

Другие расширения [ править ]

Функция f ( x ) является «S-унимодальной» (часто называемой «S-унимодальным отображением»), если ее производная Шварца отрицательна для всех , где - критическая точка. ^[17]${\displaystyle \ x\neq c}$${\displaystyle c}$

В вычислительной геометрии, если функция является унимодальной, это позволяет разработать эффективные алгоритмы для поиска экстремумов функции. ^[18]

Более общее определение, применимое к функции f (X) векторной переменной X, состоит в том, что f является унимодальным, если существует взаимно однозначное дифференцируемое отображение X = G ( Z ) такое, что f ( G ( Z )) является выпуклый. Обычно требуется, чтобы G ( Z ) была непрерывно дифференцируемой с невырожденной матрицей Якоби.

Квазивыпуклые функции и квазивогнутые функции расширяют понятие унимодальности до функций, аргументы которых принадлежат многомерным евклидовым пространствам .

См. Также [ править ]

• Бимодальное распределение

Ссылки [ править ]