Распределение хи-квадрат

хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${\ Displaystyle \ чи ^ {2} (к) \;}$ или же ${\ Displaystyle \ чи _ {к} ^ {2} \!}$
Параметры	${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N} ^ {*} ~~}$ (известные как «степени свободы»)
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в (0, + \ infty) \;}$если иначе${\ displaystyle k = 1}$${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;}$
Иметь в виду	${\displaystyle k}$
Медиана	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$
Режим	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
Дисперсия	${\displaystyle 2k\;}$
Асимметрия	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
Энтропия	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}}$
MGF	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;}$
CF	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$[1]
PGF	${\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;}$

В теории вероятностей и статистике , то распределение хи-квадрат (также хи-квадрат или χ ² -распределение ) с K степенями свободы является распределение суммы квадратов K независимых стандартных нормальных случайных величин. Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения и является одним из наиболее широко используемых распределений вероятностей в статистических выводах , особенно при проверке гипотез и построении доверительных интервалов .^{[2] [3] [4] [5]} Это распределение иногда называют центральным распределением хи-квадрат , частным случаем более общего нецентрального распределения хи-квадрат .

Распределение хи-квадрат используются в обычных х-квадрате для СОГЛАСИЯ из наблюдаемого распределения к теоретическому, в независимости двух критериев классификации качественных данных , а также в доверительном интервале оценки для населения стандартного отклонения от а нормальное распределение от стандартного отклонения выборки. Многие другие статистические тесты также используют это распределение, например , дисперсионный анализ Фридмана по рангам .

Определения [ править ]

Если Z ₁ , ..., Z _K являются независимыми , стандартные нормальные случайные величины, то сумма их квадратов,

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

распределяется согласно распределению хи-квадрат с k степенями свободы. Обычно это обозначается как

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

Распределение хи-квадрат имеет один параметр: положительное целое число k, которое определяет количество степеней свободы (количество Z _i s).

Введение [ править ]

Распределение хи-квадрат используется в основном при проверке гипотез и в меньшей степени для доверительных интервалов дисперсии совокупности, когда основное распределение является нормальным. В отличие от более широко известных распределений, таких как нормальное распределение и экспоненциальное распределение , распределение хи-квадрат не так часто применяется при прямом моделировании природных явлений. Среди прочего, он возникает при следующих проверках гипотез:

• Критерий независимости хи-квадрат в таблицах непредвиденных обстоятельств
• Критерий хи-квадрат соответствия наблюдаемых данных гипотетическим распределениям
• Тест отношения правдоподобия для вложенных моделей
• Логранговый тест в анализе выживаемости
• Тест Кокрана – Мантеля – Хензеля для стратифицированных таблиц сопряженности

Это также компонент определения t-распределения и F-распределения, используемых в t-тестах, дисперсионном анализе и регрессионном анализе.

Основная причина, по которой распределение хи-квадрат широко используется при проверке гипотез, - это его связь с нормальным распределением. Многие тесты гипотез используют статистику теста, такую ​​как t-статистика в t-тесте. Для этих проверок гипотез по мере увеличения размера выборки n выборочное распределение тестовой статистики приближается к нормальному распределению ( центральная предельная теорема). Поскольку статистика теста (такая как t) асимптотически нормально распределена, при условии, что размер выборки достаточно велик, распределение, используемое для проверки гипотез, может быть аппроксимировано нормальным распределением. Проверка гипотез с использованием нормального распределения хорошо понятна и относительно проста. Простейшее распределение хи-квадрат - это квадрат стандартного нормального распределения. Таким образом, везде, где для проверки гипотез можно использовать нормальное распределение, можно использовать распределение хи-квадрат.

Предположим , что случайная величина выборки из стандартного нормального распределения, где средние равно а дисперсия равна : . Теперь рассмотрим случайную величину . Распределение случайной величины является примером распределения хи-квадрат:${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$${\displaystyle Q=Z^{2}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}.}$Нижний индекс 1 указывает, что это конкретное распределение хи-квадрат построено только на основе одного стандартного нормального распределения. Говорят, что распределение хи-квадрат, построенное путем возведения в квадрат единственного стандартного нормального распределения, имеет 1 степень свободы. Таким образом, по мере увеличения размера выборки для проверки гипотез, распределение статистики теста приближается к нормальному распределению. Так же, как крайние значения нормального распределения имеют низкую вероятность (и дают малые p-значения), крайние значения распределения хи-квадрат имеют низкую вероятность.

Дополнительная причина того, что распределение хи-квадрат широко используется, заключается в том, что оно проявляется как распределение большой выборки тестов обобщенного отношения правдоподобия (LRT). ^[6] LRT обладают несколькими желательными свойствами; в частности, простые LRT обычно обеспечивают наивысшую степень отклонения нулевой гипотезы ( лемма Неймана – Пирсона ), и это также приводит к свойствам оптимальности обобщенных LRT. Однако приближения нормального и хи-квадрат действительны только асимптотически. По этой причине для небольшого размера выборки предпочтительнее использовать t-распределение, чем нормальное приближение или приближение хи-квадрат. Аналогичным образом, при анализе таблиц непредвиденных обстоятельств приближение хи-квадрат будет плохим для небольшого размера выборки, и предпочтительно использоватьТочный тест Фишера . Рэмси показывает, что точный биномиальный тест всегда более эффективен, чем нормальное приближение. ^[7]

Ланкастер показывает связи между биномиальным, нормальным и хи-квадратным распределениями следующим образом. ^[8] Де Муавр и Лаплас установили, что биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением. В частности, они показали асимптотическую нормальность случайной величины.

${\displaystyle \chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}}$

где - наблюдаемое количество успехов в испытаниях, где вероятность успеха , и .${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=1-p}$

Возведение обеих частей уравнения в квадрат дает

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}}$

Используя , и это уравнение можно переписать в виде${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$${\displaystyle N=m+(N-m)}$${\displaystyle q=1-p}$

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \over Nq}}$

Выражение справа имеет форму, которую Карл Пирсон обобщил до следующей формы:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$

куда

${\displaystyle \chi ^{2}}$= Совокупная статистика теста Пирсона, которая асимптотически приближается к распределению.${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle O_{i}}$= количество наблюдений типа .${\displaystyle i}$

${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$= ожидаемая (теоретическая) частота типа , утвержденная нулевой гипотезой о том, что доля типа в генеральной совокупности равна${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle n}$ = количество ячеек в таблице.

В случае биномиального исхода (подбрасывание монеты) биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением (для достаточно больших ${\displaystyle n}$). Поскольку квадрат стандартного нормального распределения представляет собой распределение хи-квадрат с одной степенью свободы, вероятность такого результата, как 1 голова в 10 испытаниях, может быть аппроксимирована либо прямым использованием нормального распределения, либо распределением хи-квадрат для нормализованная квадратная разница между наблюдаемым и ожидаемым значением. Однако многие проблемы включают более двух возможных исходов бинома и вместо этого требуют 3 или более категорий, что приводит к полиномиальному распределению. Подобно тому, как де Муавр и Лаплас искали и находили нормальное приближение к биномиальному, Пирсон искал и находил вырожденное многомерное нормальное приближение к полиномиальному распределению (числа в каждой категории складываются в общий размер выборки, который считается фиксированным) .Пирсон показал, что распределение хи-квадрат возникло из такого многомерного нормального приближения к полиномиальному распределению с тщательным учетом статистической зависимости (отрицательной корреляции) между числами наблюдений в разных категориях.^[8]

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности (PDF) распределения хи-квадрат имеет вид

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

где обозначает гамма-функцию , которая имеет значения в замкнутой форме для целых чисел .${\textstyle \Gamma (k/2)}$ k {\displaystyle k}

Для получения PDF в случаях единицы, двух и степеней свободы см. Доказательства, связанные с распределением хи-квадрат .${\displaystyle k}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Граница Чернова для CDF и хвоста (1-CDF) случайной величины хи-квадрат с десятью степенями свободы ( = 10)${\displaystyle k}$

Его кумулятивная функция распределения :

${\displaystyle F(x;\,k)=1-{\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=1-P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),}$

где - нижняя неполная гамма-функция и - регуляризованная гамма-функция .${\displaystyle \gamma (s,t)}$${\textstyle P(s,t)}$

В частном случае = 2 эта функция имеет простой вид:${\displaystyle k}$

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$

которые можно легко получить прямым интегрированием . Целочисленное повторение гамма-функции позволяет легко вычислить для других малых, даже .${\displaystyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}$${\displaystyle F(x;\,2)}$${\displaystyle k}$

Таблицы кумулятивной функции распределения хи-квадрат широко доступны, и эта функция включена во многие электронные таблицы и все статистические пакеты .

Допустим , могут быть получены границы Чернова для нижнего и верхнего хвостов CDF. ^[9] Для случаев, когда (которые включают все случаи, когда эта CDF меньше половины):${\displaystyle z\equiv x/k}$${\displaystyle 0<z<1}$

${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Хвостовая граница для случаев, когда аналогично${\displaystyle z>1}$

${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Для другого приближения для CDF, смоделированного после куба Гаусса, см. Раздел «Нецентральное распределение хи-квадрат» .

Свойства [ править ]

Сумма квадратов независимых одинаково распределенных нормальных случайных величин минус их среднее значение [ править ]

Если Z ₁ , ..., Z _k - независимые одинаково распределенные (iid) стандартные нормальные случайные величины, то

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$

куда

${\displaystyle {\overline {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}.}$

Аддитивность [ править ]

Из определения распределения хи-квадрат следует, что сумма независимых переменных хи-квадрат также имеет распределение хи-квадрат. В частности, если независимые хи-квадрат величины с , степенями свободы, соответственно, то есть хи-квадрат распределение с степенями свободы.${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle Y=X_{1}+...+X_{n}}$${\displaystyle k_{1}+...+k_{n}}$

Среднее значение [ править ]

Выборочное среднее iid переменных хи-квадрат степени распределяется согласно гамма-распределению с параметрами формы и масштаба :${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$

Асимптотически , учитывая, что для параметра масштаба, стремящегося к бесконечности, гамма-распределение сходится к нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией , выборочное среднее сходится к:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =\alpha \cdot \theta }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}}$

${\displaystyle {\overline {X}}{\xrightarrow {n\to \infty }}N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)}$

Обратите внимание , что мы получили бы тот же результат вызова вместо этого центральной предельной теоремы , отметив , что для каждого критерия хи-квадрата переменной степени ожидание состоит в том , и его дисперсии (и , следовательно , дисперсия выборочных средних существ ).${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\,k}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2k}{n}}}$

Энтропия [ править ]

Дифференциальная энтропия задаются

${\displaystyle h=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\,\psi \!\left[{\frac {k}{2}}\right],}$

где ψ ( x ) - дигамма-функция .

Распределение хи-квадрат - это максимальное распределение вероятностей энтропии для случайной переменной, для которой и фиксированы. Так как хи-квадрат принадлежит семейству гамма-распределений, его можно получить, подставив соответствующие значения в ожидание логарифмического момента гамма . Для вывода из более основных принципов см. Вывод в функции создания момента достаточной статистики .${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$

Нецентральные моменты [ править ]

Моменты около нуля распределения хи-квадрат со степенями свободы даны в ^{[10] [11]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma \left(m+{\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}.}$

Кумулянты [ править ]

В кумулянтах легко получается с помощью (формальными) разложений в ряде логарифма характеристической функции:

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

Асимптотические свойства [ править ]

Согласно центральной предельной теореме , поскольку распределение хи-квадрат представляет собой сумму независимых случайных величин с конечным средним значением и дисперсией, оно сходится к нормальному распределению для больших . Для многих практических целей, так как распределение достаточно близко к нормальному распределению, чтобы не учитывать разницу. ^{[12] В} частности, если , то при стремлении к бесконечности распределение стремится к стандартному нормальному распределению. Однако, конвергенция медленно , как перекос является и избыток эксцесс является .${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>50}$${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$${\displaystyle 12/k}$

Распределение выборки сходится к нормальному намного быстрее, чем распределение выборки , ^[13], поскольку логарифм устраняет большую часть асимметрии. ^[14] Другие функции распределения хи-квадрат быстрее сходятся к нормальному распределению. Вот несколько примеров:${\displaystyle \ln(\chi ^{2})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

• Если тогда приблизительно нормально распределено со средним значением и единичной дисперсией (1922, Р. А. Фишер , см. (18.23), стр. 426 Джонсона). ^[4]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$
• Если then приблизительно нормально распределено со средним значением и дисперсией ^[15]. Это известно как преобразование Вильсона – Хильферти, см. (18.24), с. 426 Джонсона. ^[4]${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$
  • Это нормализующее преобразование приводит непосредственно к обычно используемому среднему приближению путем обратного преобразования из среднего, которое также является медианой нормального распределения.${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• As , ( нормальное распределение )${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$
• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$( нецентральное распределение хи-квадрат с параметром нецентральности )${\displaystyle \lambda =0}$
• Если тогда имеет распределение хи-квадрат${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y}$${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$

• Как частный случай, если then имеет распределение хи-квадрат${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$(Квадрат норма о к стандартной нормально распределенных переменных хи-квадрат распределение с K степенями свободы )
• Если и , то . ( гамма-распределение )${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )\,}$${\displaystyle c>0\,}$${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$
• Если то ( распределение хи )${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$
• Если , то - экспоненциальное распределение . (Подробнее см. Гамма-распределение .)${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(2)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (1/2)}$
• Если , то это распределение Эрланга .${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(2k)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$
• Если , то${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}}$
• Если ( распределение Рэлея ), то${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,}$
• Если ( распределение Максвелла ), то${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,}$
• Если тогда ( обратное распределение хи-квадрат )${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi ^{2}(\nu )\,}$
• Распределение хи-квадрат - это частный случай распределения Пирсона III типа.
• Если и независимы, то ( бета-распределение )${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,}$${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,}$${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$
• Если ( равномерное распределение ), то${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,}$
• Если тогда${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,}$
• Если следует обобщенное нормальное распределение (версия 1) с параметрами, то ^[16]${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi ^{2}\left({\frac {2n}{\beta }}\right)\,}$
• Распределение хи-квадрат - это преобразование распределения Парето
• T-распределение Стьюдента - это преобразование распределения хи-квадрат.
• Распределение Стьюдента может быть получено из распределения хи-квадрат и нормального распределения.
• Нецентральное бета-распределение можно получить как преобразование распределения хи-квадрат и нецентрального распределения хи-квадрат.
• Нецентральное t-распределение может быть получено из нормального распределения и распределения хи-квадрат.

Переменная хи-квадрат со степенями свободы определяется как сумма квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Если - это -мерный гауссовский случайный вектор с вектором среднего и ранговой ковариационной матрицей , то это хи-квадрат с распределением степеней свободы.${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=(Y-\mu )^{T}C^{-1}(Y-\mu )}$${\displaystyle k}$

Сумма квадратов статистически независимых гауссовских переменных с единичной дисперсией, не имеющих нулевого среднего, дает обобщение распределения хи-квадрат, называемое нецентральным распределением хи-квадрат .

Если есть вектор н.о.р. стандартных нормальных случайных величин и является симметричным , идемпотентная матрица с рангом , то квадратичная форма является хи-квадрат распределение с степенями свободы.${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle k-n}$ ${\displaystyle Y^{T}AY}$${\displaystyle k-n}$

Если - положительно-полуопределенная ковариационная матрица со строго положительными диагональными элементами, то для и случайный -вектор, не зависящий от такого, что и выполняется, что${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle w}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\cdots ,p,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)\Sigma \left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)^{\top }}}\sim \chi _{1}^{2}.}$^[14]

Распределение хи-квадрат также естественно связано с другими распределениями, возникающими из гауссиана. Особенно,

• ${\displaystyle Y}$является F-распределенным , если , где и статистически независимы.${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$
• Если и статистически независимы, то . Если и не являются независимыми, то не имеет распределения хи-квадрат.${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

Обобщения [ править ]

Распределение хи-квадрат получается как сумма квадратов k независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Обобщения этого распределения можно получить, суммируя квадраты других типов гауссовских случайных величин. Ниже описано несколько таких дистрибутивов.

Линейная комбинация [ править ]

Если - случайные величины хи-квадрат и , то замкнутое выражение для распределения неизвестно. Однако его можно эффективно аппроксимировать, используя свойство характеристических функций случайных величин хи-квадрат. ^[17]${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

Распределения хи-квадрат [ править ]

Нецентральное распределение хи-квадрат [ править ]

Нецентральное распределение хи-квадрат получается из суммы квадратов независимых гауссовских случайных величин, имеющих единичную дисперсию и ненулевые средние.

Обобщенное распределение хи-квадрат [ править ]

Обобщенное распределение хи-квадрат получается из квадратичной формы z′Az, где z - гауссовский вектор с нулевым средним, имеющий произвольную ковариационную матрицу, а A - произвольная матрица.

Гамма, экспоненциальное и родственные распределения [ править ]

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения , в котором используется параметризация гамма-распределения (или параметризация шкалы гамма-распределения), где k - целое число.${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},2\right)}$

Поскольку экспоненциальное распределение также является частным случаем гамма-распределения, у нас также есть, что если , то является экспоненциальным распределением .${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Распределение Эрланга также является частным случаем гамма-распределения, и поэтому у нас также есть это, если с четным , то распределение Эрланга с параметром формы и параметром масштаба .${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\text{k}}}$${\displaystyle {\text{X}}}$${\displaystyle {\text{k}}/2}$${\displaystyle 1/2}$

Возникновение и приложения[ редактировать ]

Распределение хи-квадрат имеет множество приложений в статистике вывода , например, в тестах хи-квадрат и при оценке дисперсии . Он затрагивает проблему оценки среднего значения нормально распределенной совокупности и проблему оценки наклона линии регрессии через ее роль в t-распределении Стьюдента . Он входит во все проблемы дисперсионного анализа через свою роль в F-распределении , которое представляет собой распределение отношения двух независимых случайных величин хи-квадрат , каждая из которых делится на их соответствующие степени свободы.

Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных ситуаций, в которых распределение хи-квадрат возникает из выборки с распределением по Гауссу.

• если будут IID случайных величин , то где .${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$
• В блоке ниже показаны некоторые статистические данные, основанные на независимых случайных величинах, которые имеют распределения вероятностей, связанные с распределением хи-квадрат:${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k}$

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
нецентральное распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
распределение ци	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
нецентральное распределение ци	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Распределение хи-квадрат также часто встречается при магнитно-резонансной томографии . ^[18]

Вычислительные методы [ править ]

Таблица из й ² значения против р -значения [ править ]

Р -значение является вероятность обнаружения тестовой статистики по меньшей мере в качестве крайнего в распределения хи-квадрат. Соответственно, поскольку кумулятивная функция распределения (CDF) для соответствующих степеней свободы (df) дает вероятность получения значения менее экстремального, чем эта точка, вычитание значения CDF из 1 дает значение p . Низкое значение p , ниже выбранного уровня значимости, указывает на статистическую значимость , т. Е. Достаточное свидетельство для отклонения нулевой гипотезы. Уровень значимости 0,05 часто используется как граница между значимыми и незначительными результатами.

В таблице ниже приводится ряд значений p, соответствующих первым 10 степеням свободы.${\displaystyle \chi ^{2}}$

Степени свободы (df)	${\displaystyle \chi ^{2}}$значение [19]
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1.07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2.41	3,22	4,61	5,99	9.21	13,82
3	0,35	0,58	1.01	1,42	2.37	3,66	4,64	6,25	7,81	11,34	16,27
4	0,71	1.06	1,65	2,20	3,36	4.88	5,99	7,78	9,49	13,28	18,47
5	1.14	1,61	2.34	3,00	4,35	6.06	7,29	9,24	11.07	15.09	20,52
6	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	16,81	22,46
7	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12.02	14.07	18,48	24,32
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11.03	13,36	15.51	20.09	26.12
9	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4.87	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18.31	23,21	29,59
Значение P (вероятность)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Эти значения могут быть вычислены путем оценки функции квантиля (также известной как «обратный CDF» или «ICDF») распределения хи-квадрат; ^[20] например, χ ² ICDF для p = 0,05 и df = 7 дает 2,1673 ≈ 2,17, как в таблице выше, при этом следует заметить, что 1 - p является p- значением из таблицы.

История [ править ]

Это распределение было впервые описано немецким статистиком Фридрихом Робертом Хельмертом в работах 1875–1875 годов ^{[21] [22],} где он вычислил выборочное распределение дисперсии выборки нормальной совокупности. Таким образом, на немецком языке это традиционно было известно как Helmert'sche («Гельмертовское») или «распределение Гельмерта».

Распределение было независимо переоткрыто английским математиком Карлом Пирсоном в контексте согласия , для чего он разработал свой критерий хи-квадрат Пирсона , опубликованный в 1900 году, с вычисленной таблицей значений, опубликованной в ( Elderton 1902 ), собранной в ( Pearson 1914 , стр. Xxxi – xxxiii, 26–28, таблица XII) . Название «хи-квадрат» в конечном итоге происходит от сокращения Пирсона для показателя степени в многомерном нормальном распределении с греческой буквой Chi , написав −½χ ² для того, что в современных обозначениях появилось бы как −½ x ^T Σ ⁻¹ x harv error: no target: CITEREFPearson1914 (help)(Σ - ковариационная матрица ). ^[23] Идея семейства «распределений хи-квадрат», однако, возникла не из-за Пирсона, а как дальнейшее развитие Фишера в 1920-х годах. ^[21]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Раннее использование некоторых математических слов: статья о хи-квадрате имеет краткую историю
• Примечания к курсу по проверке пригодности по критерию хи-квадрат из класса 101 по статистике Йельского университета.
• Демонстрация Mathematica, показывающая распределение выборки хи-квадрат для различных статистических данных, например Σ x ², для нормальной совокупности
• Простой алгоритм аппроксимации cdf и обратного cdf для распределения хи-квадрат с помощью карманного калькулятора
• Значения распределения хи-квадрат