Нецентральное распределение хи-квадрат

Нецентральный хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle k> 0 \,}$ степени свободы ${\ displaystyle \ lambda> 0 \,}$ параметр нецентральности
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [0; + \ infty) \,}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({\ sqrt {\ lambda x}})}$
CDF	${\ displaystyle 1-Q _ {\ frac {k} {2}} \ left ({\ sqrt {\ lambda}}, {\ sqrt {x}} \ right)}$с Q-функцией Маркума ${\ Displaystyle Q_ {M} (а, б)}$
Иметь в виду	${\ Displaystyle к + \ лямбда \,}$
Дисперсия	${\ Displaystyle 2 (к + 2 \ лямбда) \,}$
Асимметрия	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {2 ^ {3/2} (к + 3 \ лямбда)} {(к + 2 \ лямбда) ^ {3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}2t<1}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\right)}{(1-2it)^{k/2}}}}$

В теории вероятностей и статистике , в нецентральном распределения хи-квадрат (или нецентральном хи-квадрат распределения, нецентральная распределения${\displaystyle \chi ^{2}}$ ) является нецентральная обобщение на хи-квадрат . Это часто возникает при анализе мощности статистических тестов, в которых нулевое распределение является (возможно, асимптотически) распределением хи-квадрат; Важными примерами таких тестов являются тесты отношения правдоподобия .

Фон [ править ]

Пусть будет k независимых , нормально распределенных случайных величин со средними и единичными дисперсиями. Тогда случайная величина${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

распределяется согласно нецентральному распределению хи-квадрат. Он имеет два параметра: который определяет количество степеней свободы (т.е. количество ), и который связан со средним значением случайных величин следующим образом:${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

${\displaystyle \lambda }$иногда называют параметром нецентральности . Обратите внимание, что некоторые ссылки определяют другие способы, например, половину суммы, указанной выше, или ее квадратный корень.${\displaystyle \lambda }$

Это распределение возникает в многомерной статистике как производная многомерного нормального распределения . В то время как центральный распределение хи-квадрат является квадратом нормой из случайного вектора с распределением (т.е. квадрат расстояния от начала координат до точки , взятой наугад из этого распределения), то нецентральная является квадрат нормы случайного вектора с распределение. Вот нулевой вектор длины k , а - единичная матрица размера k .${\displaystyle N(0_{k},I_{k})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle N(\mu ,I_{k})}$${\displaystyle 0_{k}}$${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})}$${\displaystyle I_{k}}$

Определение [ править ]

Функция плотности вероятности (pdf) определяется выражением

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),}$

где распределяется как хи-квадрат со степенями свободы.${\displaystyle Y_{q}}$${\displaystyle q}$

Из этого представления видно, что нецентральное распределение хи-квадрат представляет собой взвешенную по Пуассону смесь центральных распределений хи-квадрат. Предположим , что случайная величина J имеет распределение Пуассона со средним значением , и условное распределение по Z заданной J  =  я является хи-квадрат с к  + 2 я степенями свободы. Тогда безусловное распределение по Z не является центральной хи-квадрат с K степенями свободы и параметром нецентральности .${\displaystyle \lambda /2}$${\displaystyle \lambda }$

В качестве альтернативы PDF-файл можно записать как

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

где - модифицированная функция Бесселя первого рода, заданная формулой${\displaystyle I_{\nu }(y)}$

${\displaystyle I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (\nu +j+1)}}.}$

Используя связь между функциями Бесселя и гипергеометрическими функциями , PDF-файл можно также записать как: ^[1]

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

Siegel (1979) конкретно обсуждает случай k  = 0 ( нулевые степени свободы ), когда в этом случае распределение имеет дискретную составляющую в нуле.

Свойства [ править ]

Функция создания моментов [ править ]

Производящая момент функция дается выражением

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.}$

Моменты [ править ]

Первые несколько сырых моментов :

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )}$

Первые несколько центральных моментов :

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

П - й кумулянт является

${\displaystyle K_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,}$

Следовательно

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Опять же, используя соотношение между центральным и нецентральным распределениями хи-квадрат, кумулятивная функция распределения (cdf) может быть записана как

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)}$

где - кумулятивная функция распределения центрального распределения хи-квадрат с k степенями свободы, которое определяется выражением${\displaystyle Q(x;k)\,}$

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$

где - нижняя неполная гамма-функция .${\displaystyle \gamma (k,z)\,}$

Q-функция Маркума также может быть использована для представления КОРА. ^[2]${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$

Аппроксимация (в том числе для квантилей) [ править ]

Абдель-Ати ^[3] выводит (как «первое приближение») нецентральное приближение Вильсона-Хильферти:

${\displaystyle \left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\right)^{\frac {1}{3}}}$приблизительно нормально распределен , т. е.${\displaystyle \sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\right),}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {\left({\frac {x}{k+\lambda }}\right)^{1/3}-\left(1-{\frac {2}{9f}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\right\},{\text{where }}\ f:={\frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},}$

что довольно точно и хорошо адаптируется к нецентральности. Кроме того , становится для , на (центральной) хи-квадрат случае.${\displaystyle f=f(k,\lambda )}$${\displaystyle f=k}$${\displaystyle \lambda =0}$

Шанкаран ^[4] обсуждает ряд приближений в замкнутой форме для кумулятивной функции распределения . В более ранней работе ^[5] он вывел и сформулировал следующее приближение:

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\right\}}$

куда

${\displaystyle \Phi \lbrace \cdot \rbrace \,}$обозначает интегральную функцию распределения из стандартного нормального распределения ;

${\displaystyle h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\,;}$

${\displaystyle p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}};}$

${\displaystyle m=(h-1)(1-3h)\,.}$

Это и другие приближения обсуждаются в одном из последующих учебников. ^[6]

Для заданной вероятности эти формулы легко инвертировать, чтобы получить соответствующее приближение для вычисления приблизительных квантилей.${\displaystyle x}$

Вывод из pdf [ править ]

Получить функцию плотности вероятности проще всего, выполнив следующие шаги:

1. Поскольку имеют единичные отклонения, их совместное распределение сферически симметрично, вплоть до сдвига местоположения.${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$
2. Сферическая симметрия , то следует , что распределение зависит от средств только через квадрат длину . Поэтому без ограничения общности можно взять и .${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {\lambda }}}$${\displaystyle \mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0}$
3. Теперь выведите плотность (т.е.  случай k = 1). Простое преобразование случайных величин показывает, что${\displaystyle X=X_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}}$

где - стандартная нормальная плотность.${\displaystyle \phi (\cdot )}$

1. Разложите член cosh в ряду Тейлора. Это дает взвешенное по Пуассону смешанное представление плотности, все еще для k  = 1. Индексы случайных величин хи-квадрат в приведенном выше ряду в этом случае равны 1 + 2 i .
2. Наконец, для общего случая. Мы предположили, без ограничения общности, что они являются стандартными нормальными и поэтому имеют центральное распределение хи-квадрат с ( k  - 1) степенями свободы, независимо от . Использование взвешенного по Пуассону представления смеси для и того факта, что сумма случайных величин хи-квадрат также является хи-квадрат, завершает результат. Индексы в ряду равны (1 + 2 i ) + ( k  - 1) =  k  + 2 i, если требуется.${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$${\displaystyle X_{1}^{2}}$${\displaystyle X_{1}^{2}}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если это хи-квадрат распределяется затем также нецентральная хи-квадрат распределенный:${\displaystyle V}$${\displaystyle V\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$
• Линейная комбинация независимых нецентральных переменных хи-квадрат имеет обобщенное распределение хи-квадрат .${\displaystyle \xi =\sum _{i}\lambda _{i}Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{i}^{2})}$
• Если и и не зависят от, то нецентральная F -распределенная переменная развивается как${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )}$
• Если , то${\displaystyle J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\right)}$${\displaystyle \chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$
• Если , то принимает распределение Райса с параметром .${\displaystyle V\sim {\chi '}_{2}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle {\sqrt {V}}}$${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$
• Нормальное приближение: ^[7] если , то в распределении как либо, либо .${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle {\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to N(0,1)}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \lambda \to \infty }$
• Если и , где независимы, то где .${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})}$${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle W=(V_{1}+V_{2})\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}}$
• В общем, для конечного набора сумма этих случайных величин с нецентральным распределением хи-квадрат имеет распределение где . Это можно увидеть, используя следующие функции, производящие моменты: по независимости случайных величин. Осталось подключить MGF для нецентральных распределений хи-квадрат в продукт и вычислить новый MGF - это оставлено как упражнение. В качестве альтернативы его можно рассматривать с помощью интерпретации в разделе «Предпосылки» выше как суммы квадратов независимых нормально распределенных случайных величин с дисперсией 1 и заданными средними значениями.${\displaystyle V_{i}\sim {\chi '}_{k_{i}}^{2}(\lambda _{i}),i\in \left\{1..N\right\}}$${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}}$${\displaystyle Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})}$${\displaystyle k_{y}=\sum _{i=1}^{N}k_{i},\lambda _{y}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}}$${\displaystyle M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{i}}(t)}$${\displaystyle V_{i}}$
• Комплекс нецентральная хи-квадрат распределения имеет применение в радиосвязи и радарных систем. ^{[ Править ]} Пусть независимые скалярные комплексные случайные величины с нецентральной круговой симметрией, средства и блок дисперсии: . Тогда реальная случайная величина распределяется согласно сложному нецентральному распределению хи-квадрат:${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{k})}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \operatorname {E} \left|z_{i}-\mu _{i}\right|^{2}=1}$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{k}\left|z_{i}\right|^{2}}$

${\displaystyle f_{S}(S)=\left({\frac {S}{\lambda }}\right)^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}I_{k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})}$

куда ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\left|\mu _{i}\right|^{2}.}$

Преобразования [ править ]

Шанкаран (1963) обсуждает трансформации формы . Он анализирует разложения кумулянт в до срока и показывает , что следующие выборы плодоовощных разумных результатов:${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle b=(k-1)/2}$делает второй кумулянт примерно независимым от${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/3}$делает третий кумулянт примерно независимым от${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/4}$делает четвертый кумулянт примерно независимым от${\displaystyle z}$${\displaystyle \lambda }$

Кроме того, более простое преобразование может использоваться как преобразование стабилизации дисперсии, которое производит случайную величину со средним значением и дисперсией .${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$${\displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$

Использование этих преобразований может быть затруднено из-за необходимости извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Различные распределения хи и хи-квадрат

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
нецентральное распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
распределение ци	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
нецентральное распределение ци	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

События [ править ]

Использовать в интервалах допуска [ править ]

Двусторонние интервалы допуска нормальной регрессии могут быть получены на основе нецентрального распределения хи-квадрат. ^[8] Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает указанная доля отобранной совокупности.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц М., Стегун И. А. (1972), Справочник по математическим функциям , Dover. Раздел 26.4.25.
• Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (2-е издание) , Wiley. ISBN 0-471-58494-0 
• Мюрхед Р. (2005) Аспекты многомерной статистической теории (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-76985-1 
• Siegel, AF (1979), "Нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы и проверка на однородность", Biometrika , 66, 381–386
• Нажмите, SJ (1966), "Линейные комбинации нецентральных хи-квадрат" переменными, Анналы математической статистики , 37 (2): 480-487, DOI : 10,1214 / АОМ / 1177699531 , JSTOR  2238621