Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из случайного вектора )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В вероятности и статистике , многомерная случайная величина или случайный вектор представляет собой список математических переменных каждого из значений которого неизвестен, либо потому , что значение еще не произошло или потому , что есть несовершенное знание о его стоимости. Отдельные переменные в случайном векторе сгруппированы вместе, потому что все они являются частью единой математической системы - часто они представляют разные свойства отдельной статистической единицы . Например, хотя у данного человека есть определенный возраст, рост и вес, представление этих черт неуказанного человекаизнутри группы будет случайным вектором. Обычно каждый элемент случайного вектора является действительным числом .

Случайные векторы часто используются в качестве базовой реализации различных типов совокупных случайных величин , например, случайной матрицы , случайного дерева , случайной последовательности , случайного процесса и т. Д.

Более формально, многомерная случайная величина представляет собой вектор - столбца (или его транспонирование , который представляет собой вектор - строки ), компоненты которого являются скалярными -значными случайными величинами на то же вероятностном пространстве , как друг с другом, где это выборочное пространство , является сигма- алгебра (совокупность всех событий) и является мерой вероятности (функцией, возвращающей вероятность каждого события ).

Распределение вероятностей [ править ]

Каждый случайный вектор порождает вероятностную меру с алгеброй Бореля в качестве базовой сигма-алгебры. Эта мера также известна как совместное распределение вероятностей , совместное распределение или многомерное распределение случайного вектора.

В распределения каждого из компонентов случайных величин называются маргинальные распределения . Условное распределение вероятностей по данности является распределение вероятностей , когда известно, что конкретное значение.

Интегральная функция распределения случайного вектора определяется как [1] : с.15

где .

Операции со случайными векторами [ править ]

Случайные векторы могут подвергаться тем же видам алгебраических операций, что и неслучайные векторы: сложение, вычитание, умножение на скаляр и взятие скалярных произведений .

Аффинные преобразования [ править ]

Точно так же новый случайный вектор может быть определен путем применения аффинного преобразования к случайному вектору :

, где - матрица, а - вектор-столбец.

Если - обратимая матрица и имеет функцию плотности вероятности , то плотность вероятности равна

.

Обратимые отображения [ править ]

В более общем плане мы можем изучать обратимые отображения случайных векторов. [2] : с.290–291.

Пусть отображение один-к-одному из открытого подмножества из на подмножества из , пусть имеют непрерывные частные производные в и пусть якобиеву определитель из быть нуль ни в одной точке . Предположим, что реальный случайный вектор имеет функцию плотности вероятности и удовлетворяет . Тогда случайный вектор имеет плотность вероятности

где обозначает индикаторную функцию, а множество обозначает поддержку .

Ожидаемое значение [ править ]

Ожидаемое значение или среднее случайного вектора является фиксированным вектором , элементы которого являются ожидаемыми значениями соответствующих случайных величин. [3] : с.333

Ковариация и кросс-ковариация [ править ]

Определения [ править ]

Ковариационная матрица (также называемый второй центральный момент или ковариационная матрица) из случайного вектора является матрица которого ( I, J ) - й элемент является ковариация между я - й и с J - го случайных величин. Ковариационная матрица - это ожидаемое значение, элемент за элементом, матрицы, вычисляемой как , где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора: [2] : p. 464 [3] : с.335

В более широком смысле, матрица кросс-ковариации между двумя случайными векторами и ( имеющими элементы и имеющими элементы) является матрицей [3] : с.336

где снова матричное ожидание берется поэлементно в матрице. Здесь ( i, j ) элемент - это ковариация между i- м элементом и j- м элементом .

Свойства [ править ]

Ковариационная матрица - это симметричная матрица , т.е. [2] : p. 466

.

Ковариационная матрица - это положительно полуопределенная матрица , т.е. [2] : p. 465

.

Матрица кросс-ковариации - это просто транспонирование матрицы , т. Е.

.

Некоррелированность [ править ]

Два случайных вектора и называются некоррелированными, если

.

Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица кросс-ковариации равна нулю. [3] : с.337

Корреляция и взаимная корреляция [ править ]

Определения [ править ]

Корреляционная матрица (также называемый второй момент ) из случайного вектора представляет собой матрицу, ( I, J ) - й элемент является соотношение между я - й и J - го случайных величин. Корреляционная матрица - это ожидаемое значение, элемент за элементом, матрицы, вычисляемой как , где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора: [4] : p.190 [3] : p.334

В более широком смысле, матрица взаимной корреляции между двумя случайными векторами и ( имеющими элементы и имеющими элементы) является матрицей

Свойства [ править ]

Корреляционная матрица связана с ковариационной матрицей соотношением

.

Аналогично для матрицы взаимной корреляции и матрицы кросс-ковариации:

Ортогональность [ править ]

Два случайных вектора одинакового размера и называются ортогональными, если

.

Независимость [ править ]

Два случайных вектора и называются независимыми, если для всех и

где и обозначают кумулятивные функции распределения и, а обозначают их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость от и часто обозначается как . Написаны покомпонентно и называются независимыми, если для всех

.

Характеристическая функция [ править ]

Характеристическая функция случайного вектора с компонентами является функцией , которая отображает каждый вектор в комплексное число. Он определен в [2] : с. 468

.

Другие свойства [ править ]

Ожидание квадратичной формы [ править ]

Математическое ожидание квадратичной формы в случайном векторе можно принять следующим образом: [5] : с.170–171

где - ковариационная матрица и относится к следу матрицы, то есть к сумме элементов на ее главной диагонали (от верхнего левого угла до нижнего правого). Поскольку квадратичная форма является скаляром, то же самое и ее математическое ожидание.

Доказательство : Позвольте быть случайным вектором с и и пусть быть нестохастической матрицей.

Затем, исходя из формулы ковариации, если мы обозначим и , мы увидим, что:

Следовательно

что оставляет нам показать, что

Это верно на основании того факта, что можно циклически переставлять матрицы при взятии трассировки без изменения конечного результата (например:) .

Мы видим что

И с тех пор

является скаляром , то

тривиально. Используя перестановку, получаем:

и вставив это в исходную формулу, мы получим:

Ожидание произведения двух различных квадратичных форм [ править ]

Можно получить математическое ожидание произведения двух различных квадратичных форм в гауссовском случайном векторе с нулевым средним следующим образом: [5] : pp. 162–176

где снова - ковариационная матрица . Опять же, поскольку обе квадратичные формы являются скалярами и, следовательно, их произведение является скаляром, математическое ожидание их произведения также является скаляром.

Приложения [ править ]

Теория портфолио [ править ]

В теории портфелей в финансах цель часто состоит в том, чтобы выбрать портфель рискованных активов так, чтобы распределение случайной доходности портфеля имело желаемые свойства. Например, можно выбрать доходность портфеля, имеющую наименьшую дисперсию для данного ожидаемого значения. Здесь случайный вектор - это вектор случайной доходности отдельных активов, а доходность портфеля p (случайный скаляр) - это внутреннее произведение вектора случайной доходности на вектор w весов портфеля - долей портфеля, помещенных в соответствующие активы. Поскольку p = w T , ожидаемая величина доходности портфеля равна w TE ( ), и можно показать, что дисперсия доходности портфеля равна w T C w , где C - ковариационная матрица .

Теория регрессии [ править ]

В теории линейной регрессии у нас есть данные о n наблюдениях для зависимой переменной y и n наблюдениях для каждой из k независимых переменных x j . Наблюдения за зависимой переменной складываются в вектор-столбец y ; наблюдения по каждой независимой переменной также складываются в векторы-столбцы, и эти последние векторы-столбцы объединяются в матрицу плана X (не обозначающую случайный вектор в этом контексте) наблюдений за независимыми переменными. Затем постулируется следующее уравнение регрессии как описание процесса, в результате которого были получены данные:

где β - постулируемый фиксированный, но неизвестный вектор k коэффициентов отклика, а e - неизвестный случайный вектор, отражающий случайные влияния на зависимую переменную. С помощью некоторой выбранной техники, такой как обычный метод наименьших квадратов , вектор выбирается в качестве оценки β, а оценка вектора e , обозначенная , вычисляется как

Затем статистик должен проанализировать свойства и , которые рассматриваются как случайные векторы, поскольку случайный выбор n наблюдений привел бы к другим значениям для них.

Векторный временной ряд [ править ]

Эволюцию случайного вектора k × 1 во времени можно смоделировать как векторную авторегрессию (VAR) следующим образом:

где я - периоды обратных вектора наблюдения называются я -й отставание , с является к  × 1 вектор констант ( перехваты ), я являюсь стационарен к  ×  K матрица и является к  × 1 случайный вектора условий ошибки .

Ссылки [ править ]

  1. ^ Галлагер, Роберт Г. (2013). Теория случайных процессов для приложений . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-03975-9.
  2. ^ а б в г д Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19395-5.
  3. ^ a b c d e Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1.
  4. ^ Папулиса, Афанасий (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы (Третье изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-048477-5.
  5. ^ a b Кендрик, Дэвид (1981). Стохастическое управление для экономических моделей . Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-033962-7.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Старк, Генри; Вудс, Джон В. (2012). «Случайные векторы». Вероятность, статистика и случайные процессы для инженеров (четвертое изд.). Пирсон. С. 295–339. ISBN 978-0-13-231123-6.