В теории вероятностей , то производящая функция из дискретной случайной величины представляет собой степенной ряд представление ( производящую функция ) от функции вероятности массовой от случайной величины . Функции, производящие вероятность, часто используются для их краткого описания последовательности вероятностей Pr ( X = i ) в функции массы вероятностей для случайной величины X и для того, чтобы сделать доступной хорошо разработанную теорию степенных рядов с неотрицательными коэффициентами.
Определение [ править ]
Одномерный случай [ править ]
Если Х представляет собой дискретную случайную переменную со значениями в неотрицательных целых чисел {0,1, ...}, то производящая функция из X определяется как [1]
где р есть функция вероятности массы из X . Обратите внимание, что индексированные обозначения G X и p X часто используются, чтобы подчеркнуть, что они относятся к конкретной случайной величине X и ее распределению . Степенный ряд сходится абсолютно по крайней мере для всех комплексных чисел z с | z | ≤ 1; во многих примерах радиус сходимости больше.
Многовариантный случай [ править ]
Если Х = ( Х 1 , ..., X d ) представляет собой дискретную случайную величину со значениями в D - мерное неотрицательное целое решетку {0,1, ...} д , то производящая функция из X является определяется как
где р является функцией вероятности массы X . Степенный ряд сходится абсолютно по крайней мере для всех комплексных векторов z = ( z 1 , ..., z d ) ∈ ℂ d с max {| z 1 |, ..., | z d |} ≤ 1 .
Свойства [ править ]
Силовой ряд [ править ]
Вероятностные производящие функции подчиняются всем правилам степенных рядов с неотрицательными коэффициентами. В частности, G (1 - ) = 1, где G (1 - ) = lim z → 1 G ( z ) снизу , поскольку суммы вероятностей должны составлять единицу. Таким образом, радиус сходимости любой функции, производящей вероятность, должен быть не менее 1 по теореме Абеля для степенных рядов с неотрицательными коэффициентами.
Вероятности и ожидания [ править ]
Следующие свойства позволяют выводить различные базовые величины, связанные с X :
- Функция массы вероятности X восстанавливается путем взятия производных от G,
- Из свойства 1 следует, что если случайные величины X и Y имеют одинаковые функции, порождающие вероятность,, то . То есть, если X и Y имеют идентичные функции генерации вероятностей, то они имеют идентичные распределения.
- Нормализация функции плотности вероятности может быть выражена через производящую функцию как
- Ожидания от дается
- В целом, к - й факторного момент , из X задается
- Таким образом, отклонение от X задается
- Наконец, k- й необработанный момент X определяется выражением
- где X - случайная величина, - функция, генерирующая вероятность (для X ), и является функцией (для X ), производящей момент.
Функции независимых случайных величин [ править ]
Функции, производящие вероятность, особенно полезны при работе с функциями независимых случайных величин. Например:
- Если X 1 , X 2 , ..., X N - последовательность независимых (и не обязательно одинаково распределенных) случайных величин, и
- где a i - константы, тогда производящая функция вероятности определяется выражением
- Например, если
- тогда производящая функция вероятности G S N ( z ) задается формулой
- Отсюда также следует, что производящая вероятность разности двух независимых случайных величин S = X 1 - X 2 равна
- Предположим , что N также является независимым, дискретной случайной величины , принимающие значения на неотрицательных целых чисел, с вероятностной функции G N . Если X 1 , X 2 , ..., X N независимы и одинаково распределены с общей вероятностью производящей функции G X , то
- Это можно увидеть, используя закон полного ожидания , следующим образом:
- Последний факт полезен при изучении процессов Гальтона – Ватсона и сложных пуассоновских процессов .
- Снова предположим, что N также является независимой дискретной случайной величиной, принимающей значения неотрицательных целых чисел, с функцией генерации вероятности G N и плотностью вероятности . Если X 1 , X 2 , ..., X N являются независимыми, но не одинаково распределенными случайными величинами, где обозначает функцию, генерирующую вероятность , то
- Для идентично распределенного X i это упрощается до идентичности, указанной ранее. Общий случай иногда бывает полезен для получения разложения S N с помощью производящих функций.
Примеры [ править ]
- Функция создания вероятности постоянной случайной величины , то есть с Pr ( X = c ) = 1, равна
- Функция генерирования вероятности биномиальной случайной величины , количество успехов в n испытаниях с вероятностью p успеха в каждом испытании, равна
- Обратите внимание, что это n- кратное произведение производящей функции вероятности случайной величины Бернулли с параметром p .
- Таким образом, функция, производящая вероятность честной монеты , равна
- Функция генерации вероятности отрицательной биномиальной случайной величины на {0,1,2 ...}, количестве неудач до r- го успеха с вероятностью успеха в каждом испытании p , равна
- (Схождение для ).
- Обратите внимание, что это r -кратное произведение функции, производящей вероятность геометрической случайной величины с параметром 1 - p на {0,1,2, ...}.
- Производящая функция вероятности пуассоновской случайной величины с параметром скорости λ равна
Понятия, связанные с данным [ править ]
Вероятностная производящая функция является примером производящей функции последовательности: см. Также формальный степенной ряд . Это эквивалентно, а иногда и называется z-преобразованием функции массы вероятности.
Другие производящие функции случайных величин включают функцию создания момента , характеристическую функцию и кумулянтную производящую функцию . Функция создания вероятности также эквивалентна функции создания факториального момента , которая также может рассматриваться для непрерывных и других случайных величин.
Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . апрель 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) ( |
Примечания [ править ]
- ^ http://www.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap3.pdf
Ссылки [ править ]
- Джонсон, Нидерланды; Kotz, S .; Кемп, А.В. (1993) Одномерные дискретные распределения (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-54897-9 (Раздел 1.B9)