Закон полного ожидания

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Закон полного ожидания»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Предложение в теории вероятностей известно как закон полного математического ожидания , ^[1] закон повторных ожиданий ^[2] ( ЛИ ), то правило башни , ^[3] Закон Адама , и теорема сглаживающей , ^[4] среди других имен, утверждает, что если это случайная величина , ожидаемое значение которой определено, и любая случайная величина в том же вероятностном пространстве , то${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X)}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ operatorname {E} (\ operatorname {E} (X \ mid Y)),}$

то есть ожидаемое значение от условного ожидаемого значения от дана такого же , как ожидаемого значения .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

Один случай особых состояний , что если конечное или счетное разбиение в выборочном пространстве , то${\displaystyle {\left\{A_{i}\right\}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Примечание: условные ожидаемые значения Е ( Х | Z ) является случайной величиной, значение которой зависит от величины Z . Обратите внимание, что условное ожидаемое значение X для события Z = z является функцией z . Если мы пишем E ( X | Z = z ) = g ( z ), то случайная величина E ( X | Z ) равна g ( Z ). Подобные комментарии относятся к условной ковариации.

Пример [ править ]

Предположим, что только две фабрики поставляют на рынок лампочки . Заводские лампы работают в среднем 5000 часов, тогда как заводские лампы работают в среднем 4000 часов. Известно, что завод поставляет 60% от общего количества лампочек. Какое ожидаемое время проработает купленная лампочка?${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

Применяя закон полного ожидания, мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}$

где

• ${\displaystyle \operatorname {E} (L)}$ ожидаемый срок службы лампочки;
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}$вероятность того, что купленная лампочка изготовлена ​​на заводе ;${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}$вероятность того, что купленная лампочка изготовлена ​​на заводе ;${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}$ожидаемый срок службы лампы, произведенной компанией ;${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}$ожидаемый срок службы лампы, произведенной компанией .${\displaystyle Y}$

Таким образом, ожидаемый срок службы каждой купленной лампочки составляет 4600 часов.

Доказательство в конечном и счетном случаях [ править ]

Пусть случайные величины и , определенные в одном вероятностном пространстве, принимают конечный или счетно бесконечный набор конечных значений. Предположим , что определяется, т.е. . Если - разбиение вероятностного пространства , то${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$${\displaystyle \{A_{i}\}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

Доказательство.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}$

Если ряд конечен, то мы можем поменять местами суммирования, и предыдущее выражение станет

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\sum _{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}$

Если, с другой стороны, ряд бесконечен, то его сходимость не может быть условной из-за предположения, что ряд сходится абсолютно, если оба и конечны, и расходится до бесконечности, когда либо либо, либо бесконечно. В обоих сценариях можно поменять вышеупомянутые суммы, не влияя на сумму.${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty .}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{+}]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{-}]}$

Доказательство в общем случае [ править ]

Позвольте быть вероятностным пространством, на котором определены две под -алгебры . Для случайной величины на таком пространстве закон сглаживания гласит, что если определено, т. Е. То${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.}$

Доказательство . Поскольку условное математическое ожидание является производной Радона – Никодима , проверка следующих двух свойств устанавливает закон сглаживания:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}}$- измеримый
• ${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} ,}$ для всех ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.}$

Первое из этих свойств выполняется по определению условного ожидания. Чтобы доказать второй,

${\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}$

поэтому интеграл определен (не равен ).${\displaystyle \textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} }$${\displaystyle \infty -\infty }$

Таким образом, второе свойство имеет место, поскольку влечет${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}Xd\operatorname {P} .}$

Следствие. В частном случае, когда и закон сглаживания сводится к${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}$

Доказательство формулы разделения [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{i}\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A_{i})\cdot \operatorname {P} (A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A_{i})\\&=\sum \limits _{i}\int \limits _{\Omega }X(\omega )I_{A_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits _{i}\operatorname {E} (XI_{A_{i}}),\end{aligned}}}$

где - индикаторная функция множества .${\displaystyle I_{A_{i}}}$${\displaystyle A_{i}}$

Если разбиение конечно, то по линейности предыдущее выражение принимает вид${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}$

и мы закончили.

Если же разбиение бесконечно, то мы используем теорему о доминируемой сходимости, чтобы показать, что${\displaystyle {\{A_{i}\}}_{i=0}^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}$

Действительно, для каждого ,${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right|\leq |X|I_{\mathop {\bigcup } \limits _{i=0}^{n}A_{i}}\leq |X|.}$

Поскольку каждый элемент набора попадает в определенный раздел , несложно проверить, что последовательность сходится точечно к . По первоначальному предположению . Применение теоремы о доминирующей сходимости дает желаемый результат.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle {\left\{\sum _{i=0}^{n}XI_{A_{i}}\right\}}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$

См. Также [ править ]

• Фундаментальная теорема покера для одного практического применения.
• Закон полной вероятности
• Закон полной дисперсии
• Закон полной ковариации
• Закон полной совокупности
• Распределение продукта # ожидание (применение Закона для доказательства того, что ожидание продукта является продуктом ожиданий)

Ссылки [ править ]

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-00710-2. (Теорема 34.4)
• Кристофер Симс , «Заметки о случайных переменных, ожиданиях, плотностях вероятностей и мартингалах» , особенно уравнения (16) - (18)