Стабильная карта

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Декабрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , в частности , в симплектической топологии и алгебраической геометрии , можно построить пространство модулей из стабильных отображений , удовлетворяющий определенные условия, из римановой поверхности в заданном симплектическое многообразие . Это пространство модулей является сущностью инвариантов Громова – Виттена , которые находят применение в перечислительной геометрии и теории струн типа IIA . Идея стабильной карты была предложена Максимом Концевичем примерно в 1992 году и опубликована в работе Концевича (1995) .

Поскольку построение длинное и сложное, оно проводится здесь, а не в самой статье об инвариантах Громова – Виттена.

Пространство модулей гладких псевдоголоморфных кривых [ править ]

Зафиксируем замкнутое симплектическое многообразие с симплектической формой . Позвольте и быть натуральными числами (включая ноль) и двумерным классом гомологии в . Тогда можно рассмотреть множество псевдоголоморфных кривых${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ((C, j), f, (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})) \,}$

где - гладкая замкнутая риманова поверхность рода с отмеченными точками , а${\ displaystyle (C, j)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ displaystyle f: от C \ до X \,}$

- функция, удовлетворяющая при некотором выборе -регулярной почти комплексной структуры и неоднородного члена возмущенному уравнению Коши – Римана${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {j, J} f: = {\ frac {1} {2}} (df + J \ circ df \ circ j) = \ nu.}$

Как правило , одна допускают только те , и которые делают проколотый эйлерову характеристику в отрицательном; тогда область устойчива , что означает, что существует только конечное число голоморфных автоморфизмов , сохраняющих отмеченные точки.${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2-2g-n}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

Оператор является эллиптическим и , таким образом фредгольмово . После значительного аналитического аргумента (завершающим в пригодном Соболева нормы , применяя теорему о неявной функции и теоремы Сарда для банаховых многообразий , и используя эллиптическую регулярность восстановить гладкость), можно показать , что для общего выбора -tame и возмущения , множество -голоморфные кривые рода с отмеченными точками, представляющими класс, образуют гладкое ориентированное орбифолд${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle J}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (j,J,\nu )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)}$

размерности, заданной теоремой Атьи-Зингера об индексе ,

${\displaystyle d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.}$

Стабильная компактификация карты [ править ]

Это пространство модулей отображений не компактно , потому что последовательность кривых может вырождаться в особую кривую, которая не находится в пространстве модулей, как мы его определили. Это происходит, например, когда энергия из (то есть L 2 -норма из производных) концентратов в некоторой точке на домене. Можно уловить энергию, изменив масштаб карты вокруг точки концентрации. Эффект состоит в том, чтобы прикрепить сферу, называемую пузырем , к исходной области в точке концентрации и расширить карту по всей сфере. Измененная карта может по-прежнему иметь энергию, концентрирующуюся в одной или нескольких точках, поэтому необходимо повторно масштабировать итеративно, в конечном итоге присоединяя все пузырьковое дерево${\displaystyle f}$ на исходный домен, с правильным поведением карты на каждом гладком компоненте нового домена.

Чтобы сделать это точным, определите стабильное отображение как псевдоголоморфное отображение с римановой поверхности с как минимум узловыми особенностями, так что существует только конечное число автоморфизмов отображения. Конкретно это означает следующее. Гладкая компонента нодальной римановой поверхности называется устойчивой, если существует не более конечного числа автоморфизмов, сохраняющих ее отмеченные и узловые точки. Тогда стабильное отображение - это псевдоголоморфное отображение, по крайней мере, с одним стабильным компонентом области, таким, что для каждой из других компонент области

• карта не является постоянной для этого компонента, или
• этот компонент стабилен.

Важно отметить, что область стабильной карты не обязательно должна быть стабильной кривой. Однако можно сжать его нестабильные компоненты (итеративно), чтобы получить стабильную кривую, называемую стабилизацией области .${\displaystyle \mathrm {st} (C)}$${\displaystyle C}$

Множество всех стабильных отображений римановых поверхностей рода с отмеченными точками образует пространство модулей${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).}$

Топология определяется путем объявления, что последовательность стабильных отображений сходится тогда и только тогда, когда

• их (стабилизированные) области сходятся в пространстве модулей Делиня – Мамфорда кривых ,${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}}$
• они сходятся равномерно по всем производным на компактных подмножествах вдали от узлов, и
• энергия, концентрирующаяся в любой точке, равна энергии пузырькового дерева, прикрепленного в этой точке на карте пределов.

Пространство модулей стабильных отображений компактно; то есть любая последовательность стабильных отображений сходится к стабильному отображению. Чтобы показать это, мы итеративно изменяем масштаб последовательности карт. На каждой итерации появляется новая предельная область, возможно сингулярная, с меньшей концентрацией энергии, чем на предыдущей итерации. На этом этапе решающим образом вступает симплектическая форма . Энергия любого гладкого отображения, представляющего класс гомологий, ограничена снизу симплектической площадью ,${\displaystyle \omega }$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \omega (B)}$

${\displaystyle \omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},}$

с равенством тогда и только тогда, когда отображение псевдоголоморфно. Это ограничивает энергию, захваченную на каждой итерации изменения масштаба, и, таким образом, подразумевает, что для захвата всей энергии требуется только конечное число изменений масштаба. В конце концов, карта пределов в новой области пределов стабильна.

Компактифицированное пространство снова представляет собой гладкое ориентированное орбифолд. Карты с нетривиальными автоморфизмами соответствуют точкам с изотропией в орбифолде.

Псевдоцикл Громова – Виттена [ править ]

Чтобы построить инварианты Громова – Виттена, нужно продвинуть пространство модулей стабильных отображений вперед под оценочным отображением

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)\to {\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},}$

${\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\mapsto (\mathrm {st} (C,j),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))}$

чтобы получить при подходящих условиях класс рациональных гомологий

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}({\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},\mathbb {Q} ).}$

Рациональные коэффициенты необходимы, потому что пространство модулей является орбифолдом. Класс гомологии, определяемый оценочной картой, не зависит от выбора общего -приручения и возмущения . Это называется Громова-Виттен (GW) инвариантно из за приведенные данные , и . Аргумент кобордизма может быть использован, чтобы показать, что этот класс гомологии не зависит от выбора , с точностью до изотопии. Таким образом, инварианты Громова – Виттена являются инвариантами симплектических изотопических классов симплектических многообразий.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle J}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega }$

«Подходящие условия» довольно тонкие, в первую очередь потому, что многократно покрытые карты (карты, которые учитываются через разветвленное покрытие области) могут формировать пространства модулей большей размерности, чем ожидалось.

Самый простой способ справиться с этим состоит в предположении , что целевое многообразие является semipositive или Фано в определенном смысле. Это предположение выбрано именно так, чтобы пространство модулей многократно покрытых отображений имело коразмерность не менее двух в пространстве непокрытых отображений. Затем изображение оценочной карты формирует псевдоцикл , который индуцирует четко определенный класс гомологии ожидаемой размерности.${\displaystyle X}$

Определение инвариантов Громова – Виттена без предположения какой-либо полуположительности требует сложной технической конструкции, известной как цикл виртуальных модулей .

Ссылки [ править ]

• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества, 2004 г. ISBN  0-8218-3485-1 .
• Концевич, Максим (1995). «Перечисление рациональных кривых через действия тора». Прогр. Математика . 129 : 335–368. Руководство по ремонту  1363062 .