Пятерка тройная

В математике трехмерное пятое многообразие представляет собой трехмерную гиперповерхность степени 5 в четырехмерном проективном пространстве. Неособые трехмерные многообразия пятой степени являются многообразиями Калаби–Яу .

Алмаз Ходжа неособой трехмерной квинтики равен

			1
		0		0
	0		1		0
1		101		101		1
	0		1		0
		0		0
			1

Математик Робберт Дейкграаф сказал: «Одно число, которое знает каждый алгебраический геометр, - это число 2875, потому что, очевидно, это количество строк в квинтике». ^[1]

Определение

Трехмерное многообразие пятой степени — это специальный класс многообразий Калаби–Яу , определяемый проективным многообразием степени в . Многие примеры строятся как гиперповерхности в , или полные пересечения , лежащие в , или как гладкое многообразие, разрешающее особенности другого многообразия. Как множество, многообразие Калаби-Яу является ${\ Displaystyle 5}$ $\mathbb {P} ^{4}$ $\mathbb {P} ^{4}$ $\mathbb {P} ^{4}$

X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}

где – степень однородного полинома. Одним из наиболее изученных примеров является полином

p(x)

5

p(x)=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}

называется полиномом Ферма . Доказательство того, что такой многочлен определяет Калаби-Яу, требует дополнительных инструментов, таких как формула присоединения и условия гладкости .

Гиперповерхности в P ⁴

Напомним, что однородный многочлен (где – поворот Серра линейного гиперплоского расслоения ) определяет проективное многообразие , или проективную схему , из алгебры $f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(d))$ ${\mathcal {O}}(d)$ $X$

{\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(f)}}

где поле, например . Тогда, используя формулу присоединения для вычисления его канонического расслоения , мы имеем

k

\mathbb {C}

{\begin{aligned}\Omega _{X}^{3}&=\omega _{X}\\&=\omega _{\mathbb {P} ^{4}}\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(-(4+1))\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(d-5)\end{aligned}}

следовательно, для того, чтобы многообразие было Калаби-Яу, то есть имело тривиальное каноническое расслоение, его степень должна быть . Тогда оно является многообразием Калаби-Яу, если, кроме того, это многообразие гладкое . В этом можно убедиться, посмотрев на нули многочленов

5

\partial _{0}f,\ldots ,\partial _{4}f

и убедиться, что набор

\{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}

пусто.

Примеры

Ферма Квинтик

Один из самых простых примеров для проверки многообразия Калаби-Яу дается тройным многообразием квинтики Ферма , которое определяется нулевым геометрическим местом многочлена

f=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}

Вычисление частных производных дает четыре многочлена

f

{\begin{aligned}\partial _{0}f=5x_{0}^{4}\\\partial _{1}f=5x_{1}^{4}\\\partial _{2}f=5x_{2}^{4}\\\partial _{3}f=5x_{3}^{4}\\\partial _{4}f=5x_{4}^{4}\\\end{aligned}}

Поскольку единственные точки, где они исчезают, задаются координатными осями в , исчезающее геометрическое место пусто, поскольку не является точкой в .

\mathbb {P} ^{4}

[0:0:0:0:0]

\mathbb {P} ^{4}

Как испытательный стенд гипотезы Ходжа

Другое применение тройного многообразия пятой степени связано с изучением инфинитезимальной обобщенной гипотезы Ходжа , где эта трудная проблема может быть решена в этом случае. ^[2] На самом деле все прямые на этой гиперповерхности можно найти явно.

Дворковое семейство тройных пятен

Другой популярный класс примеров тройных складок пятой степени, изучаемый во многих контекстах, — это семья Дворка . Одно популярное исследование такого семейства было проведено Канделасом, Де Ла Осса, Грином и Парксом ^[3] , когда они открыли зеркальную симметрию . Это дано семейством ^[4] ^{стр. 123-125 .}

f_{\psi }=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}

где – единственный параметр, не равный корню 5-й степени из единицы . Это можно найти, вычислив частные производные и оценив их нули. Частные производные задаются выражением

\psi

f_{\psi }

{\begin{aligned}\partial _{0}f_{\psi }=5x_{0}^{4}-5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{1}f_{\psi }=5x_{1}^{4}-5\psi x_{0}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{2}f_{\psi }=5x_{2}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{3}x_{4}\\\partial _{3}f_{\psi }=5x_{3}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{4}\\\partial _{4}f_{\psi }=5x_{4}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}\\\end{aligned}}

В точке, где все частные производные равны нулю, это дает отношение . Например, в получаем

x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}

\partial _{0}f_{\psi }

{\begin{aligned}5x_{0}^{4}&=5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{4}&=\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{5}&=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}

путем деления и умножения каждой стороны на . Перемножая эти семейства уравнений вместе, мы получаем соотношение

5

x_{0}

x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}

\prod x_{i}^{5}=\psi ^{5}\prod x_{i}^{5}

показывая решение либо задается либо . Но в первом случае они дают гладкое подмножество, так как переменный член в равен нулю, поэтому особая точка должна лежать в . Тогда при таком a особые точки имеют вид

x_{i}=0

\psi ^{5}=1

f_{\psi }

\psi ^{5}=1

\psi

[\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]

такой, что

\mu _{5}^{\sum a_{i}}=\psi ^{-1}

где . Например, точка

\mu _{5}=e^{2\pi i/5}

[\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}]

является решением обоих и его частных производных, так как , и .

f_{1}

(\mu _{5}^{i})^{5}=(\mu _{5}^{5})^{i}=1^{i}=1

\psi =1

Другие примеры

Кривые на пятой тройке

Вычисление числа рациональных кривых степени может быть вычислено явно с помощью исчисления Шуберта . Пусть — ранговое векторное расслоение на грассманиане -плоскостей в некотором ранговом векторном пространстве. Проективизация до дает проективный грассманиан степени 1 в прямую и спускается к векторному расслоению на этом проективном грассманиане. Его суммарный класс черна $1$ $T^{*}$ $2$ $G(2,5)$ $2$ $5$ $G(2,5)$ $\mathbb {G} (1,4)$ $\mathbb {P} ^{4}$ $T^{*}$

c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}

на ринге чау -чау . Теперь секция расслоения соответствует линейному однородному многочлену , поэтому секция соответствует многочлену пятой степени, секция . Тогда, чтобы вычислить количество строк на общем трехмерном пятом многообразии, достаточно вычислить интеграл ^[5]

A^{\bullet }(\mathbb {G} (1,4))

l\in \Gamma (\mathbb {G} (1,4),T^{*})

{\tilde {l}}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(1))

{\text{Sym}}^{5}(T^{*})

\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(5))

\int _{\mathbb {G} (1,4)}c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=2875

Это можно сделать, используя принцип расщепления . С

{\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{aligned}}

а для размерного векторного пространства ,

2

V=V_{1}\oplus V_{2}

{\text{Sym}}^{5}(V)=\bigoplus _{i=0}^{5}(V_{1}^{\otimes 5-i}\otimes V_{2}^{\otimes i})

так что общий черн класс определяется произведением

{\text{Sym}}^{5}(T^{*})

c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=\prod _{i=0}^{5}(1+(5-i)\alpha +i\beta )

Тогда класс Эйлера или высший класс

5\alpha (4\alpha +\beta )(3\alpha +2\beta )(2\alpha +3\beta )(\alpha +4\beta )5\beta

расширение этого с точки зрения исходных классов chern дает

{\begin{aligned}c_{6}({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))&=25\sigma _{1,1}(4\sigma _{1}^{2}+9\sigma _{1,1})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{2,2}+225\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=325\sigma _{2,2}(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\end{aligned}}

используя соотношения , .

\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,2}

\sigma _{1,1}^{2}=\sigma _{2,2}

Рациональные кривые

Герберт Клеменс ( 1984 ) предположил, что число рациональных кривых данной степени на общем трехмерном пространстве пятой степени конечно. (Некоторые гладкие, но не общие тройные многообразия пятой степени имеют бесконечные семейства прямых на них.) Это было проверено для степеней до 7 Шелдоном Кацем ( 1986 ), который также вычислил число 609 250 рациональных кривых степени 2. Филип Канделас , Ксения С. де ла Осса и Пол С. Грин и др. ( 1991 ) вывел общую формулу для виртуального числа рациональных кривых любой степени, которая была доказана Гивенталем (1996) .(тот факт, что виртуальное число равно фактическому числу, основан на подтверждении гипотезы Клеменса, известной в настоящее время не более чем на степень 11 Cotterill (2012) ). Количество рациональных кривых различных степеней на трехмерном трехмерном многообразии общего положения определяется выражением

2875, 609250, 317206375, 242467530000, ... (последовательность A076912 в OEIS ).

Поскольку общее трехмерное многообразие пятой степени является трехмерным многообразием Калаби – Яу, а пространство модулей рациональных кривых данной степени представляет собой дискретное конечное множество (следовательно, компактное), они имеют четко определенные инварианты Дональдсона – Томаса («виртуальное число точек» ); по крайней мере, для степени 1 и 2 они согласуются с фактическим количеством баллов.

Смотрите также

Зеркальная симметрия (теория струн)
Инвариант Громова – Виттена
Идеал Якоби - дает явную основу для разложения Ходжа.
Теория деформации
Структура Ходжа
Исчисление Шуберта - методы определения количества строк в тройной квинтике

использованная литература

↑ Робберт Дейкграаф ( 29 марта 2015 г.). «Необоснованная эффективность квантовой физики в современной математике» . youtube.com . Трев М. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г .. Проверено 10 сентября 2015 г. см. 29 минут 57 секунд
^ Альбано, Альберто; Кац, Шелдон (1991). «Линии на трехмерной квинтике Ферма и бесконечно малая обобщенная гипотеза Ходжа» . Труды Американского математического общества . 324 (1): 353–368. doi : 10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6 . ISSN 0002-9947 .
^ Канделас, Филип; Де Ла Осса, Ксения К.; Грин, Пол С.; Паркс, Линда (29 июля 1991 г.). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно разрешимая суперконформная теория» . Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991NuPhB.359...21C . doi : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . ISSN 0550-3213 .
^ Гросс, Марк; Хайбрехтс, Даниэль; Джойс, Доминик (2003). Эллингсруд, Гейр; Олсон, Лорен; Ранестад, Кристиан; Стромме, Штейн А. (ред.). Многообразия Калаби-Яу и родственные геометрии: лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, июнь 2001 г .. Университекст. Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 123–125. ISBN 978-3-540-44059-8.
^ Кац, Шелдон. Исчислительная геометрия и теория струн . п. 108.

Арапура, Дону, «Вычисление некоторых чисел Ходжа» (PDF)
Канделас, Филип; де ла Осса, Ксения К.; Грин, Пол С.; Паркс, Линда (1991), «Пара многообразий Калаби-Яу как точно разрешимая суперконформная теория», Nuclear Physics B , 359 (1): 21–74, Bibcode : 1991NuPhB.359...21C , doi : 10.1016/ 0550-3213(91)90292-6 , МР 1115626
Клеменс, Герберт (1984), «Некоторые результаты об отображениях Абеля-Якоби», Topics in transcendental алгебраическая геометрия (Princeton, NJ, 1981/1982) , Ann. математики. Студ., вып. 106, Princeton University Press , стр. 289–304, MR 0756858.
Коттерилл, Итан (2012), «Рациональные кривые степени 11 на общей 3-кратной пятерке», The Quarterly Journal of Mathematics , 63 (3): 539–568, doi : 10.1093/qmath/har001 , MR 2967162
Кокс, Дэвид А. ; Кац, Шелдон (1999), Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия , Математические обзоры и монографии, том. 68, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1059-0, МР 1677117
Гивенталь, Александр Б. (1996), «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена», Уведомления о международных математических исследованиях , 1996 (13): 613–663, doi : 10.1155 / S1073792896000414 , MR 1408320
Кац, Шелдон (1986), «О конечности рациональных кривых на трехмерных многообразиях пятой степени» , Compositio Mathematica , 60 (2): 151–162, MR 0868135
Пандхарипанде, Рахул (1998), «Рациональные кривые на гиперповерхностях (по А. Гивенталю)» , Astérisque , 1997/98 (252): 307–340, arXiv : math/9806133 , Bibcode : 1998math......6133P , МР 1685628

[1] Робберт Дейкграаф ( 29 марта 2015 г.). «Необоснованная эффективность квантовой физики в современной математике» . youtube.com . Трев М. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г .. Проверено 10 сентября 2015 г. см. 29 минут 57 секунд

[2] Альбано, Альберто; Кац, Шелдон (1991). «Линии на трехмерной квинтике Ферма и бесконечно малая обобщенная гипотеза Ходжа» . Труды Американского математического общества . 324 (1): 353–368. doi : 10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6 . ISSN 0002-9947 .

[3] Канделас, Филип; Де Ла Осса, Ксения К.; Грин, Пол С.; Паркс, Линда (29 июля 1991 г.). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно разрешимая суперконформная теория» . Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991NuPhB.359...21C . doi : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . ISSN 0550-3213 .

[4] Гросс, Марк; Хайбрехтс, Даниэль; Джойс, Доминик (2003). Эллингсруд, Гейр; Олсон, Лорен; Ранестад, Кристиан; Стромме, Штейн А. (ред.). Многообразия Калаби-Яу и родственные геометрии: лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, июнь 2001 г .. Университекст. Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 123–125. ISBN 978-3-540-44059-8.

[5] Кац, Шелдон. Исчислительная геометрия и теория струн . п. 108.

[1]