Гипотеза Ходжа

В математике , то гипотеза Ходжа является одной из основных нерешенных проблем в алгебраической геометрии , которая относится к алгебраической топологии в виде невырожденного комплексного алгебраического многообразия к его подмногообразие. Более конкретно, гипотеза утверждает, что некоторые классы когомологий де Рама являются алгебраическими; то есть, они являются суммами Пуанкара двойников этих классов гомологии подмногообразие. Его сформулировал шотландский математик Уильям Валланс Дуглас Ходж.в результате работы между 1930 и 1940 годами по обогащению описания когомологий де Рама, чтобы включить дополнительную структуру, которая присутствует в случае сложных алгебраических многообразий. На нее не обратили внимания, прежде чем Ходж представил ее в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1950 года , проходившем в Кембридже, штат Массачусетс . Гипотеза Ходжа является одним из Clay Mathematics Institute «s Проблемы тысячелетия премии , с призом в $ 1 млн для тех, кто может доказать или опровергнуть гипотезу Ходжа.

Мотивация [ править ]

Пусть X - компактное комплексное многообразие комплексной размерности n . Тогда X - ориентируемое гладкое многообразие вещественной размерности , поэтому его группы когомологий лежат в степенях от нуля до . Предположим, что X - кэлерово многообразие , так что на его когомологиях существует разложение с комплексными коэффициентами${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 2n}$

${\ displaystyle H ^ {k} (X, \ mathbb {C}) = \ bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p, q} (X),}$

где - подгруппа классов когомологий, представленных гармоническими формами типа . То есть это классы когомологий, представленные дифференциальными формами, которые при некотором выборе локальных координат могут быть записаны как гармоническая функция раз${\ displaystyle H ^ {p, q} (X)}$${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$

${\ displaystyle dz_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {i_ {p}} \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ bar {z}} _ {j_ {q}}.}$

( Более подробно см. Теорию Ходжа .) Взятие произведений клина этих гармонических представителей соответствует чашечному произведению в когомологиях, поэтому чашечное произведение совместимо с разложением Ходжа:

${\ Displaystyle \ чашка \ двоеточие H ^ {p, q} (X) \ times H ^ {p ', q'} (X) \ rightarrow H ^ {p + p ', q + q'} (X). }$

Поскольку X - компактное ориентированное многообразие, X имеет фундаментальный класс .

Пусть Z - комплексное подмногообразие в X размерности k , и пусть - отображение включения. Выберите дифференциальную форму типа . Мы можем интегрировать по Z :${\ Displaystyle я \ двоеточие от Z \ до X}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ int _ {Z} я ^ {*} \ альфа.}$

Чтобы вычислить этот интеграл, выберите точку Z и назовите ее 0. Около 0 мы можем выбрать локальные координаты на X так , чтобы Z было справедливым . Если , то должно содержать некоторые где отодвигается к нулю на Z . То же верно, если . Следовательно, этот интеграл равен нулю, если .${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k}}$${\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}$${\displaystyle p>k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dz_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle q>k}$${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$

Более абстрактно, интеграл может быть записан как ограничивающее произведение класса гомологий Z и класса когомологий, представленного как . По двойственности Пуанкаре, гомологический класс Z является двойственным к классу когомологий , который мы будем называть [ Z ], а крышка продукт может быть вычислен, беря чашку продукт [ Z ] и а и укупорку с основным классом X . Поскольку [ Z ] - класс когомологий, он имеет разложение Ходжа. По вычислению, которое мы выполнили выше, если мы объединим этот класс с любым классом типа , то мы получим ноль. Потому что мы заключаем, что [ Z ] должен лежать в${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$. Грубо говоря, гипотеза Ходжа спрашивает:

Какие классы когомологий происходят из комплексных подмногообразий Z ?${\displaystyle H^{k,k}(X)}$

Формулировка гипотезы Ходжа [ править ]

Позволять:

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

Мы называем это группа классов ходжевых степени 2 к на X .

Современная формулировка гипотезы Ходжа:

Гипотеза Ходжа. Пусть X - неособое комплексное проективное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X .

Проективное комплексное многообразие - это комплексное многообразие, которое может быть вложено в комплексное проективное пространство . Поскольку проективное пространство несет в себе кэлерову метрику, метрику Фубини – Штуди , такое многообразие всегда является кэлеровым многообразием. По теореме Чоу проективное комплексное многообразие также является гладким проективным алгебраическим многообразием, то есть является нулевым множеством набора однородных многочленов.

Переформулировка в терминах алгебраических циклов [ править ]

Другой способ сформулировать гипотезу Ходжа включает идею алгебраического цикла. Алгебраический цикл на X является формальной комбинацией подмногообразие X ; то есть это что-то вроде:

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}Z_{i}.}$

Коэффициент обычно бывает целым или рациональным. Мы определяем класс когомологий алгебраического цикла как сумму классов когомологий его компонент. Это пример отображения классов циклов когомологий де Рама, см. Когомологии Вейля . Например, класс когомологий вышеупомянутого цикла будет:

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}[Z_{i}].}$

Такой класс когомологий называется алгебраическим . В этих обозначениях гипотеза Ходжа принимает следующий вид:

Пусть X - проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X алгебраичен.

Предположение гипотезы Ходжа о том, что X является алгебраическим (проективное комплексное многообразие), нельзя ослабить. В 1977 году Стивен Цукер показал, что можно построить контрпример к гипотезе Ходжа в виде комплексных торов с аналитическими рациональными когомологиями типа , который не является проективно-алгебраическим. (см. приложение B Цукера (1977) )${\displaystyle (p,p)}$

Известные случаи гипотезы Ходжа [ править ]

Низкое измерение и коразмерность [ править ]

Первый результат по гипотезе Ходжа принадлежит Лефшецу (1924) . Фактически, это предшествовало предположению и послужило частью мотивации Ходжа.

Теорема ( теорема Лефшеца о (1,1) -классах ) Любой элемент из является классом когомологий дивизора на . В частности, гипотеза Ходжа верна для .${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{1,1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{2}}$

Очень быстрое доказательство может быть дано с использованием когомологий пучков и экспоненциальной точной последовательности . (Класс когомологий дивизора оказывается равным его первому классу Черна .) Первоначальное доказательство Лефшеца основывалось на нормальных функциях , которые были введены Анри Пуанкаре . Однако теорема о трансверсальности Гриффитса показывает, что этот подход не может доказать гипотезу Ходжа для высших коразмерных подмногообразий.

По теореме Хард Лефшеца можно доказать:

Теорема. Если гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени для всех , то гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени .${\displaystyle p}$${\displaystyle p<n}$${\displaystyle 2n-p}$

Объединение двух приведенных выше теорем означает, что гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени . Это доказывает гипотезу Ходжа, когда размерность не превосходит трех.${\displaystyle 2n-p}$${\displaystyle X}$

Из теоремы Лефшеца о (1,1) -классах также следует, что если все классы Ходжа порождаются классами дивизоров Ходжа, то гипотеза Ходжа верна:

Следствие. Если алгебра порождена , то гипотеза Ходжа верна для .${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{k}\operatorname {Hdg} ^{k}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{1}(X)}$${\displaystyle X}$

Гиперповерхности [ править ]

По сильной и слабой теореме Лефшеца единственная нетривиальная часть гипотезы Ходжа для гиперповерхностей - это часть степени m (т. Е. Средние когомологии) 2 m -мерной гиперповерхности . Если степень d равна 2, т. Е. X - квадрика , гипотеза Ходжа верна для всех m . Для , т. Е. Четырехмерных многообразий, гипотеза Ходжа известна . ^[1]${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle d\leq 5}$

Абелевы многообразия [ править ]

Для большинства абелевых многообразий алгебра Hdg * ( X ) порождена в первой степени, поэтому гипотеза Ходжа верна. В частности, гипотеза Ходжа верна для достаточно общих абелевых многообразий, для произведений эллиптических кривых и для простых абелевых многообразий простой размерности. ^{[2] [3] [4]} Однако Мамфорд (1969) построил пример абелевого многообразия, в котором Hdg ² ( X ) не порождается произведениями классов дивизоров. Вейль (1977) обобщил этот пример, показав, что всякий раз, когда многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле , то Hdg ²( X ) не порождается произведениями классов дивизоров. Moonen и Zarhin (1999) доказали, что в размерности меньше 5 либо Hdg * ( X ) генерируется в первой степени, либо многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле. В последнем случае гипотеза Ходжа известна только в частных случаях.

Обобщения [ править ]

Интегральная гипотеза Ходжа [ править ]

Первоначальная гипотеза Ходжа заключалась в следующем:

Интегральная гипотеза Ходжа. Пусть X - проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий в класс когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами на X .${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Теперь известно, что это ложь. Первый контрпример был построен Атьей и Хирцебрухом (1961) . Используя K-теорию , они построили пример класса когомологий кручения , т. Е. Такого класса когомологий α , что nα  = 0 для некоторого натурального числа n, который не является классом алгебраического цикла. Такой класс обязательно является классом Ходжа. Totaro (1997) переосмыслил их результат в рамках кобордизма и нашел множество примеров таких классов.

Простейшая корректировка интегральной гипотезы Ходжа:

Интегральная гипотеза Ходжа по модулю кручения. Пусть X - проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий является суммой класса кручения , а класс когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами на X .${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Эквивалентно, после деления на классы кручения каждый класс является образом класса когомологий целого алгебраического цикла. Это тоже неверно. Коллар (1992) нашел пример класса Ходжа α, который не является алгебраическим, но имеет целое кратное, являющееся алгебраическим.${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Розеншон и Сринивас (2016) показали, что для получения правильной интегральной гипотезы Ходжа необходимо заменить группы Чжоу, которые также могут быть выражены как группы мотивных когомологий , вариантом, известным как этальные (или Лихтенбаумские ) мотивные когомологии . Они показывают, что рациональная гипотеза Ходжа эквивалентна интегральной гипотезе Ходжа для этой модифицированной мотивационной когомологии.

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий [ править ]

Естественное обобщение гипотезы Ходжа спросит:

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, наивная версия. Пусть X - комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X .

Это слишком оптимистично, потому что для этого недостаточно подвидов. Возможная замена - задать вместо этого один из двух следующих вопросов:

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, версия о векторном расслоении. Пусть X - комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Черна векторных расслоений на X .

Гипотеза Ходжа для кэлеровых многообразий, версия когерентного пучка. Пусть X - комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Черна когерентных пучков на X .

Voisin (2002) доказал, что классы Черна когерентных пучков дают строго больше классов Ходжа, чем классы Черна векторных расслоений, и что классов Черна когерентных пучков недостаточно для генерации всех классов Ходжа. Следовательно, единственные известные формулировки гипотезы Ходжа для кэлеровых многообразий неверны.

Обобщенная гипотеза Ходжа [ править ]

Ходж высказал дополнительную, более сильную гипотезу, чем интегральная гипотеза Ходжа. Скажем , что класс когомологий на X представляет совместно с уровнем (coniveau с) , если она является прямым образом класса когомологий на гр -codimensional подмногообразия X . Классы когомологий совпадающего уровня не менее c фильтруют когомологии X , и легко видеть, что c- й шаг фильтрации N ^c H ^k ( X , Z ) удовлетворяет

${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

Первоначальное заявление Ходжа было:

Обобщенная гипотеза Ходжа, версия Ходжа. ${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

Гротендик (1969) заметил, что этого не может быть даже с рациональными коэффициентами, потому что правая часть не всегда является структурой Ходжа. Его исправленная форма гипотезы Ходжа:

Обобщенная гипотеза Ходжа. N ^c H ^k ( X , Q ) - наибольшая суб-структура Ходжа H ^k ( X , Z ), содержащаяся в${\displaystyle H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X).}$

Эта версия открыта.

Алгебраичность Hodge loci [ править ]

Самым убедительным доказательством в пользу гипотезы Ходжа является результат об алгебраичности Каттани, Делиня и Каплана (1995) . Предположим, что мы меняем комплексную структуру X над односвязной базой. Тогда топологические когомологии X не меняются, но разложение Ходжа меняется. Известно, что если гипотеза Ходжа верна, то множество всех точек на базе, где когомологии слоя являются классом Ходжа, на самом деле является алгебраическим подмножеством, то есть высекается полиномиальными уравнениями. Cattani, Deligne & Kaplan (1995) доказали, что это всегда верно, не принимая гипотезу Ходжа.

См. Также [ править ]

• Гипотеза Тейта
• Теория Ходжа
• Структура Ходжа
• Отображение периодов

Ссылки [ править ]

• Atiyah, MF ; Хирцебрух, Ф. (1961), "Аналитические циклы на комплексных многообразиях", Топология , 1 : 25–45, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (62) 90094-0Доступно из коллекции Hirzebruch (pdf).
• Каттани, Эдуардо ; Делинь, Пьер ; Каплан, Арольдо (1995), «На месте классов Ходжа», Журнал Американского математического общества , 8 (2): 483–506, arXiv : alg-geom / 9402009 , doi : 10.2307 / 2152824 , JSTOR  2152824 , MR  1273413.
• Гротендик, А. (1969), "общая гипотеза Ходжа является ложным по тривиальным причинам", топология , 8 (3): 299-303, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (69) 90016-0.
• Ходж, WVD (1950), "Топологические инварианты алгебраических многообразий", Труды Международного конгресса математиков , Кембридж, Массачусетс, 1 : 181–192.
• Коллар, Янош (1992), «Примеры Тренто», в Ballico, E .; Catanese, F .; Ciliberto, C. (ред.), Классификация неправильных разновидностей , Lecture Notes in Math., 1515 , Springer, p. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
• Лефшец, Соломон (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Emile Borel (на французском языке), Париж: Gauthier-VillarsПерепечатано в Lefschetz, Solomon (1971), Избранные статьи , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR  0299447.
• Мунен, Бен JJ ; Зархин, Юрий Г. (1999), "Классы Ходжа на абелевых многообразиях малой размерности", Mathematische Annalen , 315 (4): 711–733, arXiv : math / 9901113 , doi : 10.1007 / s002080050333 , MR  1731466.
• Мамфорд, Дэвид (1969), «Примечание к статье Шимуры« Разрывные группы и абелевы многообразия » » , Mathematische Annalen , 181 (4): 345–351, doi : 10.1007 / BF01350672.
• Розеншон, Андреас; Шринивас, В. (2016), "Этальные мотивная когомологий и алгебраические циклы" (PDF) , журнал Института математики Жюсье , 15 (3): 511-537, DOI : 10,1017 / S1474748014000401 , MR  3505657 , Zbl  1346,19004
• Тотаро, Берт (1997), "Алгебраические циклы кручения и комплексный кобордизм", Журнал Американского математического общества , 10 (2): 467–493, arXiv : alg-geom / 9609016 , doi : 10.1090 / S0894-0347-97- 00232-4 , JSTOR  2152859.
• Вуазно, Claire (2002), "контрпример к гипотезе Ходжи расширенных сортам кэлеровых" , Международные математические исследования Извещение , 2002 (20): 1057-1075, DOI : 10,1155 / S1073792802111135 , MR  1902630.
• Вейль, Андре (1977), "Абелевы многообразия и кольцо Ходжа", Сборник статей , III , стр. 421–429.
• Цукер, Стивен (1977), "Гипотеза Ходжа для четырехмерных кубов" , Compositio Mathematica , 34 (2): 199–209, MR  0453741

Внешние ссылки [ править ]

• Делинь, Пьер . "Гипотеза Ходжа" (PDF) (официальное описание задачи Института математики Клэя).
• Популярная лекция Дэна Фрида (Техасский университет) о гипотезе Ходжа (Реальное видео) (Слайды)
• Бисвас, Индранил ; Паранджапе, Капил Хари (2002), «Гипотеза Ходжа для общих многообразий Прима», Журнал алгебраической геометрии , 11 (1): 33–39, arXiv : math / 0007192 , doi : 10.1090 / S1056-3911-01-00303- 4 , Руководство по ремонту  1865912
• Берт Тотаро , Почему верить гипотезе Ходжа?
• Клэр Вуазен , Hodge loci