В математической физике , то проблема существования и масс разрыв Янга-Миллса является нерешенной проблемой и один из семи Задачи тысячелетия определяется математический институт Клэя , который предложил приз в размере $ 1 млн для ее решения.
Проблема формулируется следующим образом: [1]
- Существование Янга – Миллса и массовый разрыв. Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса существует на и имеет разрыв между массами Δ> 0. Существование включает установление аксиоматических свойств, по крайней мере, столь же сильных, как те, которые цитируются в Streater & Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973) и Osterwalder & Schrader (1975) .
В этом заявлении, теория Янга-Миллса является неабелево квантовая теория поля похожа на лежащий в основе стандартной модели в физике элементарных частиц ;является евклидовой 4-пространство ; масса зазора Δ масса наименьшей массивной частицы , предсказанной теорией.
Следовательно, победитель должен доказать, что:
- Теория Янга – Миллса существует и удовлетворяет стандарту строгости, который характеризует современную математическую физику , в частности, конструктивную квантовую теорию поля , [2] [3] и
- Масса наименее массивной частицы силового поля, предсказываемой теорией, строго положительна.
Например, в случае G = SU (3) - сильного ядерного взаимодействия - победитель должен доказать, что глюболы имеют нижнюю границу массы и, следовательно, не могут быть произвольно легкими.
Как известно, общая проблема определения наличия спектральной щели в системе неразрешима . [4] [5]
Задний план
[...] пока нет ни математически полного примера квантовой калибровочной теории в четырехмерном пространстве-времени , ни даже точного определения квантовой калибровочной теории в четырех измерениях. Изменится ли это в 21 веке? Мы надеемся на это!
- Из официального описания проблемы Института Клея, сделанного Артуром Джаффе и Эдвардом Виттеном .
Проблема требует построения КТП, удовлетворяющей аксиомам Вайтмана и показывающей существование разрыва в массах. Обе эти темы описаны в разделах ниже.
Аксиомы Вайтмана
Проблема тысячелетия требует, чтобы предлагаемая теория Янга-Миллса удовлетворяла аксиомам Вайтмана или аналогичным строгим аксиомам. [1] Есть четыре аксиомы:
- W0 (предположения релятивистской квантовой механики)
Квантовая механика описывается по фон Нейману ; в частности, чистые состояния задаются лучами, т. е. одномерными подпространствами некоторого сепарабельного комплексного гильбертова пространства .
Аксиомы Вайтмана требуют, чтобы группа Пуанкаре действовала унитарно в гильбертовом пространстве. Другими словами, у них есть позиционно-зависимые операторы, называемые квантовыми полями, которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре .
Группа пространственно-временных трансляций коммутативна , поэтому операторы можно одновременно диагонализовать. Генераторы этих групп дают нам четыре самосопряженных оператора :, j = 1, 2, 3, которые трансформируются под однородной группой как четырехвектор, называемый четырехвектором энергии-импульса.
Вторая часть нулевой аксиомы Вайтмана состоит в том, что представление U ( a , A ) удовлетворяет спектральному условию - одновременный спектр энергии-импульса содержится в прямом конусе:
Третья часть аксиомы состоит в том, что существует единственное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, которое инвариантно относительно действия группы Пуанкаре. Это называется вакуумом.
- W1 (предположения о области определения и непрерывности поля)
Для каждой тестовой функции f существует набор операторовкоторые вместе с сопряженными к ним определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум. Поля A - это операторнозначные умеренные распределения . Гильбертово пространство состояний натянуто на полиномы, действующие в вакууме (условие цикличности).
- W2 (закон преобразования поля)
Поля ковариантны под действием группы Пуанкаре и преобразуются согласно некоторому представлению S группы Лоренца или SL (2, C ), если спин не является целым:
- W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)
Если носители двух полей пространственно разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.
Иногда отдельно рассматриваются цикличность вакуума и его уникальность. Кроме того, существует свойство асимптотической полноты - гильбертово пространство состояний натянуто на асимптотические пространства. а также , Возникающие при столкновении матрицы S . Другое важное свойство теории поля - это массовая щель, которая не требуется по аксиомам: спектр энергии-импульса имеет щель между нулем и некоторым положительным числом.
Массовый разрыв
В квантовой теории поля , то разрыв масс разница в энергии между вакуумом и следующей самой низкой энергетического состоянием . Энергия вакуума по определению равна нулю, и если предположить, что все энергетические состояния можно рассматривать как частицы в плоских волнах, то зазор между массами равен массе самой легкой частицы.
Для данного реального поля , мы можем сказать, что теория имеет разрыв масс, если двухточечная функция обладает свойством
с участием наименьшее значение энергии в спектре гамильтониана и, следовательно, массовая щель. Эта величина, которую легко обобщить на другие области, обычно измеряется в расчетах на решетке. Таким образом было доказано, что теория Янга – Миллса развивает массовую щель в решетке. [6] [7]
Важность теории Янга – Миллса
Наиболее известные и нетривиальные (т.е. взаимодействующие) квантовые теории поля в четырех измерениях являются эффективными теориями поля с ограниченным масштабом. Поскольку бета-функция является положительной для большинства моделей, похоже, что большинство таких моделей имеют полюс Ландау, поскольку совсем не ясно, имеют ли они нетривиальные УФ-неподвижные точки . Это означает, что если такая КТП четко определена на всех уровнях, как это должно быть, чтобы удовлетворять аксиомам аксиоматической квантовой теории поля , она должна быть тривиальной (т.е. теорией свободного поля ).
Квантовая теория Янга-Миллса с неабелевой калибровочной группой и без кварков является исключением, потому что асимптотическая свобода характеризует эту теорию, а это означает, что она имеет тривиальную УФ неподвижную точку . Следовательно, это простейшая нетривиальная конструктивная КТП в 4-х измерениях. ( КХД - более сложная теория, поскольку в ней участвуют кварки .)
Удержание кварка
На уровне строгости теоретической физики было хорошо установлено, что квантовая теория Янга – Миллса для неабелевой группы Ли проявляет свойство, известное как конфайнмент ; хотя в правильной математической физике к доказательствам предъявляются более высокие требования. Следствием этого свойства является то, что выше шкалы ограничения цветные заряды связаны хромодинамическими трубками, что приводит к линейному потенциалу между зарядами. Следовательно, свободный цветной заряд и свободные глюоны не могут существовать. В отсутствие конфайнмента мы ожидаем увидеть безмассовые глюоны, но поскольку они ограничены, все, что мы увидим, это связанные состояния глюонов с нейтральным цветом, называемые глюболами . Если глюболы существуют, они массивны, поэтому ожидается разрыв масс.
Рекомендации
- ^ a b Артур Джаффе и Эдвард Виттен « Квантовая теория Янга-Миллса ». Официальное описание проблемы.
- ^ Р. Стритера и А. Wightman, РСТ, спина и статистики , и все это , WA Benjamin, НьюЙорк, 1964.
- ^ К. Остервальдер и Р. Шредер, Аксиомы для евклидовых функций Грина , Comm. Математика. Phys. 31 (1973), 83–112 и Comm. Математика. Phys. 42 (1975), 281–305.
- ^ Майкл Вольф, Тоби Кубитт, Дэвид Перес Гарсия Неразрешимая проблема // В мире науки - 2018, № 12. - с. 46 - 59
- ^ Давиде Кастельвекки. «Парадокс в основе математики делает физическую проблему неразрешимой» . Природа .
- ^ Лучини, Бьяджо; Тепер, Михаил; Венгер, Урс (2004). «Глюболы и k-струны в SU (N) калибровочных теориях: вычисления с улучшенными операторами». Журнал физики высоких энергий . 0406 (6): 012. arXiv : hep-lat / 0404008 . Bibcode : 2004JHEP ... 06..012L . DOI : 10.1088 / 1126-6708 / 2004/06/012 ..
- ^ Chen, Y .; Alexandru, A .; Донг, SJ; Draper, T .; Хорват, I .; Ли, FX; Лю, KF; Mathur, N .; Morningstar, C .; Peardon, M .; Tamhankar, S .; Янг, BL; Чжан, JB (2006). «Спектр глюбола и матричные элементы на анизотропных решетках». Physical Review D . 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat / 0510074 . Bibcode : 2006PhRvD..73a4516C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.73.014516 ..
дальнейшее чтение
- Streater, R .; Вайтман, А. (1964). РСТ, спин, статистика и все такое . WA Бенджамин.
- Osterwalder, K .; Шредер, Р. (1973). «Аксиомы для евклидовых функций Грина». Сообщения по математической физике . 31 (2): 83–112. Bibcode : 1973CMaPh..31 ... 83O . DOI : 10.1007 / BF01645738 .
- Osterwalder, K .; Шредер, Р. (1975). «Аксиомы для евклидовых функций Грина II». Сообщения по математической физике . 42 (3): 281–305. Bibcode : 1975CMaPh..42..281O . DOI : 10.1007 / BF01608978 .
- Боголюбов, Н .; Логунов, А .; Оксак; Тодоров, И. (1990). Общие принципы квантовой теории поля . Kluver.
- Строкки, Ф. (1994). Избранные темы общих свойств квантовой теории поля FF . World Scientific.
- Дынин, А. (2014). «Квантовая динамика Янга-Миллса-Вейля в парадигме Шредингера». Российский журнал математической физики . 21 (2): 169–188. Bibcode : 2014RJMP ... 21..169D . DOI : 10.1134 / S1061920814020046 .
- Дынин, А. (2014). «К проблеме массового разрыва Янга-Миллса». Российский журнал математической физики . 21 (3): 326–328. Bibcode : 2014RJMP ... 21..326D . DOI : 10.1134 / S1061920814030042 .
- Bushhorn, G .; Весс, Дж. (2004). Симпозиум, посвященный столетию Гейзенберга, "Развитие современной физики" . Springer.
Внешние ссылки
- Проблемы, связанные с Премией тысячелетия: Янг – Миллс и массовый разрыв