Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о математических призах. Информацию о премии в области технологий см. В разделе «Приз тысячелетия в области технологий» .
Проблемы, связанные с Премией тысячелетия

Задачи тысячелетия семь проблем в области математики , которые были заявлены в Математический институт Клэя на 24 мая 2000 года [1] Проблемы являются Береза и Swinnerton-Дайера , гипотеза Ходжа , Навье-Стокса существование и гладкость , P против NP проблема , Пуанкар гипотеза , гипотезы Римана и Янг-Миллс существование и массовый разрыв . Правильное решение любой из проблем приводит к присуждению институтом премии в 1 миллион долларов США первооткрывателю (ам).

На сегодняшний день единственной решенной проблемой, связанной с Премией тысячелетия, является гипотеза Пуанкаре , которая была решена в 2003 году российским математиком Григорием Перельманом . Он отказался от призовых денег.

Решенная проблема [ править ]

Гипотеза Пуанкаре [ править ]

Основная статья: гипотеза Пуанкаре

В размерности 2 сфера характеризуется тем, что это единственная замкнутая и односвязная поверхность. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что это верно и для размерности 3. Она является центральной для более общей проблемы классификации всех 3-многообразий . Точная формулировка гипотезы гласит:

Каждый односвязной , закрыто 3-многообразие является гомеоморфно к 3-сфере .

Доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом в 2003 году на основе работы Ричарда Гамильтона ; его рассмотрение было завершено в августе 2006 года, и Перельман был выбран для получения медали Филдса за свое решение, но он отклонил эту награду. [2] Перельман был официально награжден Премией тысячелетия 18 марта 2010 г. [3], но он также отклонил эту награду и связанные с ней денежные призы от Института математики Клэя. Агентство Интерфакс процитировало Перельмана, который сказал, что, по его мнению, приз был несправедливым. Перельман сказал Интерфаксу, что считает свой вклад в решение гипотезы Пуанкаре не больше, чем вклад Гамильтона. [4]

Нерешенные проблемы [ править ]

П против НП [ править ]

Основная статья: проблема P против NP

Вопрос в том, сможет ли алгоритм быстро найти это решение для всех проблем, для которых алгоритм может быстро проверить данное решение (то есть за полиномиальное время ) . Поскольку первая описывает класс проблем, называемых NP, а вторая описывает P, вопрос эквивалентен вопросу, все ли проблемы в NP также относятся к P. Это обычно считается одним из самых важных открытых вопросов в математике и теоретической информатике. поскольку это имеет далеко идущие последствия для других проблем математики , биологии , философии [5] и криптографии (см.P в сравнении с последствиями доказательства проблемы NP ). Распространенным примером проблемы NP, не имеющей отношения к P, является проблема булевой выполнимости .

Большинство математиков и компьютерных специалистов ожидают, что P ≠ NP; однако это остается недоказанным. [6]

Официальную постановку проблемы дал Стивен Кук .

Гипотеза Ходжа [ править ]

Основная статья: гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа является то , что для проективных алгебраических многообразий , Ходжевы циклами являются рациональными линейными комбинациями из алгебраических циклов .

Официальную постановку проблемы дал Пьер Делинь .

Гипотеза Римана [ править ]

Основная статья: гипотеза Римана

Гипотеза Римана является то , что все нетривиальные нули аналитического продолжения дзета - функции Римана имеют действительную часть 1 / 2 . Доказательство или опровержение этого будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел , особенно для распределения простых чисел . Это была восьмая проблема Гильберта , и спустя столетие она до сих пор считается важной открытой проблемой.

Официальную постановку проблемы дал Энрико Бомбьери .

Существование Янга – Миллса и разрыв масс [ править ]

Основная статья: существование Янга – Миллса и разрыв масс

В физике классическая теория Янга – Миллса является обобщением теории электромагнетизма Максвелла, в которой само хромоэлектромагнитное поле несет заряд. Как классическая теория поля, у нее есть решения, которые движутся со скоростью света, так что ее квантовая версия должна описывать безмассовые частицы ( глюоны ). Однако постулируемое явление ограничения цвета допускает только связанные состояния глюонов, образующих массивные частицы. Это разрыв в массах . Другой аспект ограничения - это асимптотическая свобода, которая делает возможным, что квантовая теория Янга-Миллсасуществует без ограничения низкоэнергетическими масштабами. Проблема состоит в том, чтобы строго установить существование квантовой теории Янга – Миллса и массового разрыва.

Официальную постановку проблемы дали Артур Джаффе и Эдвард Виттен . [7]

Существование и гладкость Навье – Стокса [ править ]

Основная статья: существование и гладкость Навье – Стокса

Уравнения Навье – Стокса описывают движение жидкостей и являются одним из столпов механики жидкости . Однако теоретическое понимание их решений неполное. В частности, решения уравнений Навье – Стокса часто включают турбулентность , общее решение которой остается одной из величайших нерешенных проблем физики , несмотря на ее огромное значение для науки и техники.

Даже основные свойства решений Навье – Стокса никогда не доказывались. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют всегда. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса .

Проблема состоит в том, чтобы доказать, что либо существуют гладкие, глобально определенные решения, удовлетворяющие определенным условиям, либо они не всегда существуют и уравнения не работают.

Официальную постановку проблемы дал Чарльз Фефферман .

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера [ править ]

Основная статья: Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера касается определенных типов уравнений: тех, которые определяют эллиптические кривые над рациональными числами . Гипотеза состоит в том, что существует простой способ определить, есть ли у таких уравнений конечное или бесконечное число рациональных решений. Десятая проблема Гильберта связана с уравнениями более общего типа, и в этом случае было доказано, что нет никакого способа решить, имеет ли данное уравнение какие-либо решения.

Официальную постановку проблемы дал Эндрю Уайлс . [8]

См. Также [ править ]

  • Проблемы Гильберта
  • Список нерешенных задач по математике
  • Пауль Вольфскель (предложил денежный приз за решение Великой теоремы Ферма )
  • Проблемы Смейла
  • Гипотеза Била
  • Список математических наград

Ссылки [ править ]

  1. ^ Артур М. Джаффе "Грандиозный вызов тысячелетия в математике" , " Уведомления AMS ", июнь / июль 2006 г., Vol. 53, № 6, стр. 652-660
  2. ^ "Гений математики отказывается от главного приза" . BBC News . 22 августа 2006 . Проверено 16 июня 2011 года .
  3. ^ "Премия за разрешение гипотезы Пуанкаре присуждена доктору Григорию Перельману" (PDF) (пресс-релиз). Математический институт Клэя . 18 марта 2010 года Архивировано из оригинального (PDF) на 31 марта 2010 года . Проверено 18 марта 2010 года . Институт математики Клея (CMI) объявляет сегодня, что д-р Григорий Перельман из Санкт-Петербурга, Россия, стал лауреатом Премии тысячелетия за разрешение гипотезы Пуанкаре.
  4. ^ "Русский математик отвергает миллионную премию - Boston.com" .
  5. ↑ Скотт Ааронсон (14 августа 2011 г.). «Почему философы должны заботиться о вычислительной сложности» . Технический отчет.
  6. ^ Уильям Gasarch (июнь 2002). "The P =? NP poll" (PDF) . Новости SIGACT . 33 (2): 34–47. DOI : 10.1145 / 1052796.1052804 . S2CID 18759797 .  
  7. ^ Артур Джаффе и Эдвард Виттен " Квантовая теория Янга-Миллса. " Официальное описание проблемы.
  8. ^ Уайлс, Эндрю (2006). " Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера ". В Карлсоне, Джеймсе; Джефф, Артур ; Уайлс, Эндрю. Проблемы Премии тысячелетия. Американское математическое общество. С. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8 . 
  • Эта статья включает материал из книги «Проблемы тысячелетия» на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Девлин, Кейт Дж. (2003) [2002]. Проблемы тысячелетия: семь величайших нерешенных математических головоломок нашего времени . Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 0-465-01729-0.
  • Карлсон, Джеймс; Джефф, Артур ; Уайлс, Эндрю , ред. (2006). Проблемы Премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Институт математики Клэя . ISBN 978-0-8218-3679-8.

Внешние ссылки [ править ]

  • Проблемы, связанные с Премией тысячелетия