Проблема существования и гладкости Навье – Стокса касается математических свойств решений уравнений Навье – Стокса , системы уравнений в частных производных, которые описывают движение жидкости в пространстве. Решения уравнений Навье – Стокса используются во многих практических приложениях. Однако теоретическое понимание решений этих уравнений неполное. В частности, решения уравнений Навье – Стокса часто включают турбулентность , которая остается одной из величайших нерешенных проблем в физике , несмотря на ее огромное значение для науки и техники.
Даже более основные свойства решений Навье – Стокса никогда не были доказаны. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса .
Поскольку понимание уравнений Навье – Стокса считается первым шагом к пониманию неуловимого феномена турбулентности , Математический институт Клэя в мае 2000 года сделал эту проблему одной из своих семи задач по математике, удостоенных премии тысячелетия . Он предложил приз в размере 1000000 долларов США первому, кто предоставил решение для конкретной постановки проблемы: [1]
Докажите или приведите контрпример следующего утверждения:
В трех измерениях пространства и времени, при заданном начальном поле скорости, существуют векторная скорость и скалярное поле давления, которые являются как гладкими, так и глобально определенными, которые решают уравнения Навье – Стокса.
В математике уравнения Навье – Стокса представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любого размера. В физике и технике они представляют собой систему уравнений, которая моделирует движение жидкостей или не разреженных газов (в которых длина свободного пробега достаточно мала, чтобы ее можно было рассматривать как среднее значение континуума, а не как совокупность частиц). используя механику сплошной среды . Уравнения представляют собой формулировку второго закона Ньютона , в котором силы моделируются в соответствии с таковыми в вязкой ньютоновской жидкости - как сумма вкладов давления, вязкого напряжения и внешней объемной силы. Поскольку постановка задачи, предложенная Институтом математики Клея, является трехмерной для несжимаемой и однородной жидкости, ниже рассматривается только этот случай.
Позволять - трехмерное векторное поле, скорость жидкости, и пусть быть давлением жидкости. [примечание 1] Уравнения Навье – Стокса:
где - кинематическая вязкость, внешняя объемная сила, - оператор градиента и- оператор Лапласа , который также обозначается или же . Обратите внимание, что это векторное уравнение, т.е. оно имеет три скалярных уравнения. Запись координат скорости и внешней силы
затем для каждого имеется соответствующее скалярное уравнение Навье – Стокса:
Неизвестными являются скорость и давление . Поскольку в трех измерениях есть три уравнения и четыре неизвестных (три скалярные скорости и давление), необходимо дополнительное уравнение. Это дополнительное уравнение является уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости, которое описывает сохранение массы жидкости:
Благодаря этому последнему свойству решения уравнений Навье – Стокса ищутся в наборе соленоидальных (« бездивергентных ») функций. Для этого потока однородной среды плотность и вязкость постоянны.
Поскольку появляется только его градиент, давление p можно исключить, взяв ротор из обеих частей уравнений Навье – Стокса. В этом случае уравнения Навье – Стокса сводятся к уравнениям переноса завихренности .
Две настройки: неограниченное и периодическое пространство.
Существуют две различные постановки задачи существования и гладкости проблемы Навье – Стокса за миллион долларов. Исходная проблема во всем пространстве, что требует дополнительных условий на рост начального условия и решений. Чтобы исключить проблемы на бесконечности, уравнения Навье – Стокса могут быть заданы в периодической структуре, что означает, что они больше не работают во всем пространстве. но в трехмерном торе . Каждый случай будет рассматриваться отдельно.
Постановка проблемы во всем пространстве
Гипотезы и условия роста
Начальное состояние предполагается гладкой и бездивергентной функцией (см. гладкую функцию ), такой что для каждого мультииндекса(см. многоиндексную нотацию ) и любые, существует постоянная такой, что
- для всех
Внешняя сила также считается гладкой функцией и удовлетворяет очень аналогичному неравенству (теперь мультииндекс также включает в себя производные по времени):
- для всех
Для физически разумных условий ожидаемым типом решений являются гладкие функции, которые не растут при увеличении . Точнее, сделаны следующие предположения:
- Существует постоянная такой, что для всех
Условие 1 означает, что функции являются гладкими и определены глобально, а условие 2 означает, что кинетическая энергия решения глобально ограничена.
Домыслы о Премии тысячелетия во всем космосе
(A) Существование и гладкость решений Навье – Стокса в
Позволять . Для любого начального состояния удовлетворяющие приведенным выше гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье – Стокса, т. е. существует вектор скорости и давление удовлетворяющие условиям 1 и 2 выше.
(Б) Распад решений Навье – Стокса в
Существует начальное условие и внешняя сила такой, что не существует решений а также удовлетворяющие условиям 1 и 2 выше.
Постановка периодической задачи.
Гипотезы
Искомые функции периодичны по пространственным переменным периода 1. Точнее, пусть - унитарный вектор в направлении i :
потом периодичен по пространственным переменным, если для любого , тогда:
Обратите внимание, что здесь учитываются координаты по модулю 1 . Это позволяет работать не над всем пространством.но на частном пространстве , который оказывается трехмерным тором:
Теперь гипотезы можно сформулировать правильно. Начальное состояние предполагается гладкой и бездивергентной функцией, а внешняя сила также предполагается гладкой функцией. Типы решений, которые являются физически значимыми, - это те, которые удовлетворяют этим условиям:
- Существует постоянная такой, что для всех
Как и в предыдущем случае, условие 3 означает, что функции являются гладкими и глобально определенными, а условие 4 означает, что кинетическая энергия решения глобально ограничена.
Периодические теоремы о премии тысячелетия
(C) Существование и гладкость решений Навье – Стокса в
Позволять . Для любого начального состояния удовлетворяющие приведенным выше гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье – Стокса, т. е. существует вектор скорости и давление удовлетворяющие условиям 3 и 4 выше.
(D) Распад решений Навье – Стокса в
Существует начальное условие и внешняя сила такой, что не существует решений а также удовлетворяющие условиям 3 и 4 выше.
Частичные результаты
- Проблема Навье – Стокса в двух измерениях была решена к 1960-м годам: существуют гладкие и глобально определенные решения. [2]
- Если начальная скорость достаточно мало, то утверждение верно: существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье – Стокса. [1]
- Учитывая начальную скорость существует конечное время T , зависящее от такие, что уравнения Навье – Стокса на иметь гладкие решения а также . Не известно , если решения существуют вне этого «времени раздутия» Т . [1]
- Жан Лере в 1934 году доказал существование так называемых слабых решений уравнений Навье – Стокса, удовлетворяющих уравнениям в среднем, а не поточечно. [3]
- Джон Форбс Нэш-младший . в 1962 г. доказал существование единственных регулярных решений в локальном времени уравнения Навье – Стокса. [4]
- Теренс Тао в 2016 году опубликовал результат разрушения за конечное время для усредненной версии 3-мерного уравнения Навье – Стокса. Он пишет, что результат формализует «барьер сверхкритичности» для глобальной проблемы регулярности истинных уравнений Навье – Стокса, и утверждает, что метод доказательства на самом деле намекает на возможный путь к установлению разрушения истинных уравнений. [5] [6]
В популярной культуре
Нерешенные задачи использовались для обозначения редкого математического таланта в художественной литературе. Проблема Навье-Стокса фигурирует в книге «Шива математика» (2014) о престижной, умершей, вымышленной математике по имени Рахела Карнокович, которая в знак протеста академического сообщества унесла доказательство в могилу. [7] [8] В фильме « Одаренные» (2017) упоминаются задачи, связанные с Премией тысячелетия, и рассматривается потенциал 7-летней девочки и ее покойной матери-математика для решения проблемы Навье – Стокса. [9]
Смотрите также
- Список нерешенных проблем физики
- Список нерешенных задач по математике
Заметки
- ^ Точнее, p ( x , t ) - это давление, деленное на плотность жидкости, и плотность постоянна для этой несжимаемой и однородной жидкости.
Рекомендации
- ^ a b c «Официальная постановка проблемы» (PDF) . Математический институт Клэя.
- ^ Ладыженская, Ольга Александровна (1969). Математическая теория течений вязкой несжимаемой жидкости . Математика и ее приложения. 2 . Перевод с русского Ричарда А. Сильвермана и Джона Чу. (2-е изд.). Нью-Йорк-Лондон-Париж: Гордон и Брич, научные издательства. Руководство по ремонту 0254401 .
- ^ Лере, Жан (1934). "Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace" . Acta Mathematica (на французском языке). 63 (1): 193–248. DOI : 10.1007 / BF02547354 . Руководство по ремонту 1555394 .
- ^ Насар, Сильвия (2001). «Глава 41: Интерлюдия принудительной рациональности». Прекрасный ум . Пробирный камень. п. 297. ISBN. 0-684-81906-6.
- ^ Тао, Теренс (04.02.2014). «Разрушение за конечное время для усредненного трехмерного уравнения Навье – Стокса» . Что нового . Архивировано из оригинала на 2015-10-16 . Проверено 20 июля 2015 .
- ^ Тао, Теренс (2016). «Разрушение за конечное время для усредненного трехмерного уравнения Навье – Стокса». Журнал Американского математического общества . 29 (3): 601–674. arXiv : 1402.0290 . DOI : 10,1090 / джемы / 838 . Руководство по ремонту 3486169 .
- ^ DeTurck, Dennis (October 2017). "The Mathematician's Shiva" (PDF). Notices of the AMS. 64 (9): 1043–1045.
- ^ "MathFiction: The Mathematician's Shiva (Stuart Rojstaczer)". kasmana.people.cofc.edu. Retrieved 2018-09-11.
- ^ Chang, Justin (2017-04-06). "Chris Evans raises a young math prodigy in the clever but overly calculating 'Gifted'". latimes.com. Retrieved 2018-09-11.
дальнейшее чтение
- Constantin, Peter (2001). "Some Open Problems and Research Directions in the Mathematical Study of Fluid Dynamics". Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. Berlin: Springer. pp. 353–360. doi:10.1007/978-3-642-56478-9_15. ISBN 3-642-63114-2.
Внешние ссылки
- Aizenman, Michael. "Navier Stokes equations global existence and uniqueness". Contributed by: Yakov Sinai
- The Clay Mathematics Institute's Navier–Stokes equation prize
- Why global regularity for Navier–Stokes is hard — Possible routes to resolution are scrutinized by Terence Tao.
- Navier–Stokes existence and smoothness (Millennium Prize Problem) A lecture on the problem by Luis Caffarelli.
- "Navier Stokes Equation – A Million-Dollar Question in Fluid Mechanics". Aleph Zero. June 3, 2020 – via YouTube.