Уравнение завихренности

Гидравлическая механика

Жидкости
Статика · Динамика Принцип Архимеда · Принцип Бернулли Уравнения Навье – Стокса Уравнение Пуазейля · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский · неньютоновский ) Плавучесть · Смешивание · Давление
Жидкости
Поверхностное натяжение Капиллярное действие
Газы
Атмосфера Закон Бойля Закон Чарльза Закон Гей-Люссака Закон о комбинированном газе
Плазма

Реология

Умные жидкости
Вязкоупругость Реометрия Реометр
Электрореологический Магнитореологический Феррожидкости

Уравнение вихря из динамики жидкости описывает эволюцию завихренности $со$ в частице жидкости , как она движется с потоком , то есть, локальное вращение жидкости (в терминах вектора исчислении это ротор от скорости потока ). Уравнение:

{\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}

куда $D / Dt$ - оператор производной материала , $u$ - скорость потока , $ρ$ - локальная плотность жидкости , $p$ - локальное давление , $τ$ - тензор вязких напряжений, а $B$ - сумма внешних объемных сил . Первый исходный член справа представляет растяжение вихря .

Уравнение справедливо при отсутствии каких-либо сосредоточенных моментов и линейных сил для сжимаемой ньютоновской жидкости .

В случае несжимаемой (т.е. с низким числом Маха ) и изотропных жидкостей, с консервативными объемными силами, уравнение упрощается до уравнения переноса завихренности

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

где $ν$ представляет собой кинематическая вязкость и $\nabla 2$ является оператором Лапласа .

Физическая интерпретация [ править ]

Период, термин $D ω / Dt$ слева - материальная производная вектора завихренности $ω$ . Он описывает скорость изменения завихренности движущейся жидкой частицы. Это изменение можно объяснить неустойчивостью потока ( $\partial ω / \partial т$ , нестационарный член ) или из-за движения жидкой частицы при ее перемещении из одной точки в другую ( $(u ∙ \nabla) ω$ , конвективный член ).
Член $(ω ∙ \nabla) u$ в правой части описывает растяжение или наклон завихренности из-за градиентов скорости потока. Обратите внимание, что $(ω ∙ \nabla) u$ - векторная величина, так как $ω ∙ \nabla$ - скалярный дифференциальный оператор, а $\nabla u$ - девятиэлементная тензорная величина.
Член $ω (\nabla ∙ u)$ описывает растяжение завихренности из-за сжимаемости потока. Из уравнения непрерывности Навье-Стокса следует , что
${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}$

где

v = 1 / ρ

- удельный объем жидкого элемента. Можно рассматривать

\nabla ∙ u

как меру сжимаемости потока. Иногда в термин включается отрицательный знак.

Период, термин $1 / ρ 2 \nabla ρ \times \nabla p$ - бароклинный член . Он учитывает изменения завихренности из-за пересечения поверхностей плотности и давления.
Термин $\nabla \times (\nabla ∙ τ / ρ)$ , учитывает диффузию завихренности из-за вязких эффектов.
Термин $\nabla \times B$ предусматривает изменения за счет внешних сил организма. Это силы, которые распространяются в трехмерной области жидкости, например сила тяжести или электромагнитные силы . (В отличие от сил, которые действуют только по поверхности (например, сопротивление стене) или линии (например, поверхностное натяжение вокруг мениска ).

Упрощения [ править ]

В случае консервативных сил организма , $\nabla \times B = 0$ .
Для баротропной жидкости , $\nabla р \times \nabla р = 0$ . Это также верно для жидкости постоянной плотности (включая несжимаемую жидкость), где $\nabla ρ = 0$ . Обратите внимание, что это не то же самое, что несжимаемый поток , для которого нельзя пренебрегать баротропным членом.
Для невязких жидкостей тензор вязкости $τ$ равен нулю.

Таким образом, для невязкой баротропной жидкости с консервативными объемными силами уравнение завихренности упрощается до

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u}

В качестве альтернативы, в случае несжимаемой невязкой жидкости с консервативными телесными силами,

{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u}

^[1]

Для краткого обзора дополнительных случаев и упрощений см. Также. ^[2] Уравнение завихренности в теории турбулентности в контексте течений в океанах и атмосфере см. В. ^[3]

Вывод [ править ]

Уравнение завихренности может быть получено из уравнения Навье – Стокса для сохранения углового момента . В отсутствие каких-либо сосредоточенных крутящих моментов и линейных сил можно получить

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {B} +{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}

Теперь завихренность определяется как завихрение вектора скорости потока. Принимая завиток уравнения импульса дает искомое уравнение.

Следующие тождества полезны при выводе уравнения:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}

где $ϕ$ - любое скалярное поле.

Тензорная запись [ править ]

Уравнение завихренности может быть выражено в тензорной записи с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании и символа Леви-Чивиты $e ijk$ :

{\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}

В конкретных науках [ править ]

Атмосферные науки [ править ]

В атмосферных науках уравнение завихренности может быть сформулировано в терминах абсолютной завихренности воздуха относительно инерциальной системы отсчета или завихренности относительно вращения Земли. Абсолютная версия

{\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)

Здесь $η$ - полярная ( $z$ ) составляющая завихренности, $ρ$ - плотность атмосферы , $u$ , $v$ и w - компоненты скорости ветра , а $\nabla h$ - двумерная (т. Е. Только горизонтальная составляющая) del .

См. Также [ править ]

Завихренность
Уравнение баротропной завихренности
Вихревое растяжение
Burgers vortex

Ссылки [ править ]

^ Феттер, Александр Л .; Валецка, Джон Д. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред (1-е изд.). Dover Publications. п. 351. ISBN. 978-0-486-43261-8.
^ Берр, К. П. "Морская гидродинамика, лекция 9" (PDF) . Лекции MIT .
^ Салмон, Ричард Л. "Лекции по геофизической гидродинамике, глава 4" (PDF) . Издательство Оксфордского университета; 1 издание (26 февраля 1998 г.) .

Манна, Утпал; Шритаран, С. С. (2007). "Функционалы Ляпунова и локальная диссипативность для уравнения завихренности в $L p$ и пространствах Бесова". Дифференциальные и интегральные уравнения . 20 (5): 581–598.
Barbu, V .; Шритаран, С. С. (2000). " M- Аккретивное квантование уравнения завихренности" (PDF) . В Балакришнане, А.В. (ред.). Полугруппы операторов: теория и приложения . Бостон: Биркхаузер. С. 296–303.
Кригель, А. М. (1983). «Вихревая эволюция». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика . 24 : 213–223.

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Уравнение завихренности» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( май 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

[1] Феттер, Александр Л .; Валецка, Джон Д. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред (1-е изд.). Dover Publications. п. 351. ISBN. 978-0-486-43261-8.

[2] Берр, К. П. "Морская гидродинамика, лекция 9" (PDF) . Лекции MIT .

[3] Салмон, Ричард Л. "Лекции по геофизической гидродинамике, глава 4" (PDF) . Издательство Оксфордского университета; 1 издание (26 февраля 1998 г.) .