Длина свободного пробега

В физике , то средняя длина свободного пробега среднее расстояние , пройденное движущейся частицы (например, атома , в молекуле , A фотона ) между последовательными ударами (столкновений), ^[1] , который изменяет свое направление или энергию или другие свойства частиц. Это среднее расстояние, пройденное электроном между событиями рассеяния.

Теория рассеяния [ править ]

Плита мишени

Представьте себе пучок частиц, проходящий через цель, и рассмотрите бесконечно тонкий пласт цели (см. Рисунок). ^[2] Атомы (или частицы), которые могут остановить частицу луча, показаны красным. Величина длины свободного пробега зависит от характеристик системы. Предполагая, что все частицы мишени находятся в состоянии покоя, но движется только частица пучка, это дает выражение для длины свободного пробега:

{\ displaystyle \ ell = (\ sigma n) ^ {- 1},}

где $ℓ$ - длина свободного пробега, $n$ - количество частиц мишени в единице объема, а $σ$ - эффективная площадь поперечного сечения для столкновения.

Площадь плиты $L 2$ , объем $L 2 dx$ . Типичное число атомов остановки в плите является концентрация $п$ раз больше объема, то есть $п л 2 дх$ . Вероятность того, что частица пучка остановится в этой пластине, равна чистой площади останавливающих атомов, деленной на общую площадь пластины:

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ text {с остановкой внутри}} dx) = {\ frac {{\ text {Area}} _ {\ text {atom}}} {{\ text {Area}} _ {\ text {slab}}}} = {\ frac {\ sigma nL ^ {2} \, dx} {L ^ {2}}} = n \ sigma \, dx,}

где $σ$ - площадь (или, более формально, « сечение рассеяния ») одного атома.

Падение интенсивности луча равно интенсивности входящего луча, умноженной на вероятность остановки частицы внутри плиты:

{\ displaystyle dI = -In \ sigma \, dx.}

Это обыкновенное дифференциальное уравнение :

{\ displaystyle {\ frac {dI} {dx}} = - В \ sigma {\ overset {\ text {def}} {=}} - {\ frac {I} {\ ell}},}

решение которого известно как закон Бера – Ламберта и имеет вид , где $x$ - расстояние, пройденное лучом через цель, а $I$ $0$ - интенсивность луча до того, как он попал в цель; $ℓ$ называется длиной свободного пробега , так как она равна среднее расстояние , пройденное частицей луча , прежде чем остановились. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что вероятность того, что частица будет поглощена между $x$ и $x$ $+$ $dx$ , определяется выражением ${\ displaystyle I = I_ {0} e ^ {- x / \ ell}}$

{\ displaystyle d {\ mathcal {P}} (x) = {\ frac {I (x) -I (x + dx)} {I_ {0}}} = {\ frac {1} {\ ell}} e ^ {- x / \ ell} dx.}

Таким образом, математическое ожидание (или среднее, или просто среднее) $x$ равно

\langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .

Доля частиц, которые не задерживаются ( ослабляются ) пластиной, называется пропусканием , где $x$ равно толщине пластины $x = dx$ . $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$

Кинетическая теория газов [ править ]

В кинетической теории газов , то длина свободного пробега частицы, такие как молекулы , среднее расстояние частица проходит между столкновениями с другими частицами движущихся. Приведенный выше вывод предполагал, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому в действительности формула верна для частицы пучка с высокой скоростью относительно скоростей ансамбля идентичных частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени сравнительно незначительны, отсюда и относительная скорость . $\ell =(n\sigma )^{-1}$ $v$ $v_{\rm {rel}}\approx v$

Если, с другой стороны, частица пучка является частью установленного равновесия с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.$

В равновесии и являются случайными и некоррелированными, поэтому относительная скорость равна $\mathbf {v} _{1}$ $\mathbf {v} _{2}$ ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0$

$v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.$

Это означает, что количество столкновений умножается на количество столкновений с неподвижными целями. Следовательно, применяется следующее соотношение: ^[3] ${\sqrt {2}}$

\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1},

и используя ( закон идеального газа ) и (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц с радиусом ), можно показать, что длина свободного пробега равна ^[4] $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ $\sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}$ $r$

\ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},

где k _B - постоянная Больцмана , - давление газа, - абсолютная температура. $p$ $T$

На практике диаметр молекул газа точно не определен. Фактически кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на более коротких расстояниях, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса . Один из способов справиться с такими «мягкими» молекулами - использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ - предположить, что газ твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега ^[5]

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},

где m - молекулярная масса, μ - вязкость. Это выражение можно представить в следующем удобном виде

\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi RT}{2M}}},

с является универсальной газовой постоянной и молекулярной массой . Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега. $R$ $M$

В следующей таблице перечислены некоторые типичные значения для воздуха при разном давлении и комнатной температуре.

Диапазон вакуума	Давление в гПа ( мбар )	Давление в мм рт. Ст. ( Торр )	числовая плотность ( Молекул / см ³ )	числовая плотность ( Молекул / м ³ )	Длина свободного пробега
Давление внешней среды	1013	759,8	2,7 × 10 ¹⁹	2,7 × 10 ²⁵	68 нм ^[6]
Низкий вакуум	300 - 1	220 - 8 × 10 ^-1	10 ¹⁹ - 10 ¹⁶	10 ²⁵ - 10 ²²	0,1 - 100 мкм
Средний вакуум	1 - 10 ⁻³	8 × 10 ⁻¹ - 8 × 10 ⁻⁴	10 ¹⁶ - 10 ¹³	10 ²² - 10 ¹⁹	0,1 - 100 мм
Высокий вакуум	10 ⁻³ - 10 ⁻⁷	8 × 10 ⁻⁴ - 8 × 10 ⁻⁸	10 ¹³ - 10 ⁹	10 ¹⁹ - 10 ¹⁵	10 см - 1 км
Сверхвысокий вакуум	10 ⁻⁷ - 10 ⁻¹²	8 × 10 ⁻⁸ - 8 × 10 ⁻¹³	10 ⁹ - 10 ⁴	10 ¹⁵ - 10 ¹⁰	1 км - 10 ⁵ км
Чрезвычайно высокий вакуум	<10 ⁻¹²	<8 × 10 ⁻¹³	<10 ⁴	<10 ¹⁰	> 10 ⁵ км

В других полях [ править ]

Рентгенография [ править ]

Длина свободного пробега фотонов в диапазоне энергий от 1 кэВ до 20 МэВ для элементов с Z = от 1 до 100. ^[7] Разрывы вызваны низкой плотностью газовых элементов. Шесть полос соответствуют окрестностям шести благородных газов . Также показаны местоположения кромок поглощения .

В гамма- радиографии длина свободного пробега из карандашного пучка моно-энергетических фотонов среднее расстояние фотон проходит между столкновениями с атомами материала мишени. Это зависит от материала и энергии фотонов:

\ell =\mu ^{-1}=((\mu /\rho )\rho )^{-1},

где μ - линейный коэффициент затухания , μ / ρ - массовый коэффициент затухания, а ρ - плотность материала. Массовый коэффициент ослабления можно посмотреть вверх или вычисленная для любого материала и энергии комбинации с использованием Национального института стандартов и технологий (NIST) баз данных. ^[8]^[9]

В рентгеновской радиографии расчет длины свободного пробега более сложен, потому что фотоны не являются моноэнергетическими, а имеют некоторое распределение энергий, называемое спектром . По мере того, как фотоны проходят через материал мишени, они ослабляются с вероятностью, зависящей от их энергии, в результате чего их распределение изменяется в процессе, называемом усилением спектра. Из - за упрочнения спектра, то средняя длина свободного пробега от рентгеновского спектра изменяется с расстоянием.

Иногда толщину материала измеряют числом длин свободного пробега . Материал с толщиной в одну длину свободного пробега будет ослаблять до 37% (1 / е ) фотонов. Эта концепция тесно связана с половинным слоем (HVL): материал толщиной в один HVL будет ослаблять 50% фотонов. Стандартное рентгеновское изображение - это изображение с пропусканием, изображение с отрицательным логарифмом его интенсивности иногда называют изображением числа длин свободного пробега .

Электроника [ править ]

При макроскопическом переносе заряда длина свободного пробега носителя заряда в металле пропорциональна электрической подвижности , величине, непосредственно связанной с электрической проводимостью , то есть: $\ell$ $\mu$

\mu ={\frac {q\tau }{m}}={\frac {q\ell }{m^{*}v_{\rm {F}}}},

где q - заряд , - время свободного пробега , m ^* - эффективная масса , а v _F - скорость Ферми носителя заряда. Скорость Ферми может быть легко получена из энергии Ферми с помощью нерелятивистского уравнения кинетической энергии. Однако в тонких пленках толщина пленки может быть меньше расчетной длины свободного пробега, что делает поверхностное рассеяние более заметным и эффективно увеличивает удельное сопротивление . $\tau$

Подвижность электронов в среде с размерами меньше длины свободного пробега электронов происходит за счет баллистической проводимости или баллистического переноса. В таких сценариях электроны изменяют свое движение только при столкновении со стенками проводника.

Оптика [ править ]

Если взять суспензию непоглощающих свет частиц диаметром d с объемной долей Φ , длина свободного пробега фотонов составит: ^[10]

\ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{\text{s}}}},

где Q _s - коэффициент эффективности рассеяния. Q _s можно рассчитать численно для сферических частиц с помощью теории Ми .

Акустика [ править ]

В пустой полости, длина свободного пробега отдельной частицы, отскакивающей от стенок, равна:

\ell ={\frac {FV}{S}},

где V - объем полости, S - общая площадь внутренней поверхности полости, а F - константа, связанная с формой полости. Для большинства простых форм полости F составляет приблизительно 4. ^[11]

Это соотношение используется при выводе уравнения Сабина в акустике с использованием геометрического приближения распространения звука. ^[12]

Ядерная физика и физика элементарных частиц [ править ]

В физике элементарных частиц понятие длины свободного пробега обычно не используется, его заменяет аналогичное понятие длины затухания . В частности, для фотонов высоких энергий, которые в основном взаимодействуют путем образования электронно-позитронных пар , длина излучения используется так же, как длина свободного пробега в радиографии.

Модели независимых частиц в ядерной физике требуют невозмущенной орбиты нуклонов внутри ядра, прежде чем они начнут взаимодействовать с другими нуклонами. ^[13]

Эффективная длина свободного пробега нуклона в ядерной материи должна быть несколько больше ядерных размеров, чтобы можно было использовать модель независимых частиц. Это требование, по-видимому, противоречит предположениям, сделанным в теории ... Здесь мы сталкиваемся с одной из фундаментальных проблем физики ядерной структуры, которую еще предстоит решить.
- Джон Маркус Блатт и Виктор Вайскопф , Теоретическая ядерная физика (1952) ^[14]

См. Также [ править ]

Теория рассеяния
Баллистическая проводимость
Вакуум
Число Кнудсена
Оптика

Ссылки [ править ]

^ Brünglinghaus, Марион. «Средний свободный пробег» . Европейское ядерное общество. Архивировано из оригинала на 2011-11-05 . Проверено 8 ноября 2011 .
^ Чен, Фрэнк Ф. (1984). Введение в физику плазмы и управляемый синтез (1-е изд.). Пленум Пресс. п. 156. ISBN. 0-306-41332-9.
^ С. Чепмен и Т. Г. Каулинг, Математическая теория неоднородных газов , 3-е. издание, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , стр. 88.
^ "Средняя длина свободного пробега, молекулярные столкновения" . Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Проверено 8 ноября 2011 .
Перейти ↑ Vincenti, WG, Kruger, CH (1965). Введение в физическую газовую динамику . Krieger Publishing Company. п. 414.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Перейти ↑ Jennings, S (1988). «Средняя длина свободного пробега в воздухе». Журнал аэрозольной науки . 19 (2): 159. Bibcode : 1988JAerS..19..159J . DOI : 10.1016 / 0021-8502 (88) 90219-4 .
^ Основано на данных из "NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases" . Physics.nist.gov. 1998-03-10 . Проверено 8 ноября 2011 .
^ Хаббелл, JH ; Зельцер С.М. "Таблицы массовых коэффициентов ослабления рентгеновского излучения и массовых коэффициентов поглощения энергии" . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 19 сентября 2007 года .
^ Бергер, MJ; Хаббелл, JH ; Зельцер, С.М. Chang, J .; Coursey, JS; Sukumar, R .; Цукер, Д.С. "XCOM: База данных сечений фотонов" . Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Проверено 19 сентября 2007 года .
^ Mengual, O .; Meunier, G .; Cayré, I .; Puech, K .; Снабре, П. (1999). «TURBISCAN MA 2000: измерение множественного светорассеяния для анализа нестабильности концентрированной эмульсии и суспензии». Таланта . 50 (2): 445–56. DOI : 10.1016 / S0039-9140 (99) 00129-0 . PMID 18967735 .
^ Янг, Роберт В. (июль 1959). «Уравнение реверберации Сабины и расчеты звуковой мощности». Журнал акустического общества Америки . 31 (7): 918. Bibcode : 1959ASAJ ... 31..912Y . DOI : 10.1121 / 1.1907816 .
^ Дэвис, Д. и Патронис, Э. "Звуковая система проектирования" (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 стр. 173.
^ Кук, Норман Д. (2010). «Средняя длина свободного пробега нуклонов в ядрах» . Модели атомного ядра (2-е изд.). Гейдельберг: Springer . п. 324. ISBN 978-3-642-14736-4.
^ Блатт, Джон М .; Вайскопф, Виктор Ф. (1979). Теоретическая ядерная физика . DOI : 10.1007 / 978-1-4612-9959-2 . ISBN 978-1-4612-9961-5.

Внешние ссылки [ править ]

Gas Dynamics Toolbox : расчет длины свободного пробега для смесей газов с использованием модели VHS.

[1] Brünglinghaus, Марион. «Средний свободный пробег» . Европейское ядерное общество. Архивировано из оригинала на 2011-11-05 . Проверено 8 ноября 2011 .

[2] Чен, Фрэнк Ф. (1984). Введение в физику плазмы и управляемый синтез (1-е изд.). Пленум Пресс. п. 156. ISBN. 0-306-41332-9.

[3] С. Чепмен и Т. Г. Каулинг, Математическая теория неоднородных газов , 3-е. издание, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X , стр. 88.

[4] "Средняя длина свободного пробега, молекулярные столкновения" . Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Проверено 8 ноября 2011 .

[5] Перейти ↑ Vincenti, WG, Kruger, CH (1965). Введение в физическую газовую динамику . Krieger Publishing Company. п. 414.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[6] Перейти ↑ Jennings, S (1988). «Средняя длина свободного пробега в воздухе». Журнал аэрозольной науки . 19 (2): 159. Bibcode : 1988JAerS..19..159J . DOI : 10.1016 / 0021-8502 (88) 90219-4 .

[7] Основано на данных из "NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases" . Physics.nist.gov. 1998-03-10 . Проверено 8 ноября 2011 .

[NIST1-8] Хаббелл, JH ; Зельцер С.М. "Таблицы массовых коэффициентов ослабления рентгеновского излучения и массовых коэффициентов поглощения энергии" . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 19 сентября 2007 года .

[NIST2-9] Бергер, MJ; Хаббелл, JH ; Зельцер, С.М. Chang, J .; Coursey, JS; Sukumar, R .; Цукер, Д.С. "XCOM: База данных сечений фотонов" . Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Проверено 19 сентября 2007 года .

[10] Mengual, O .; Meunier, G .; Cayré, I .; Puech, K .; Снабре, П. (1999). «TURBISCAN MA 2000: измерение множественного светорассеяния для анализа нестабильности концентрированной эмульсии и суспензии». Таланта . 50 (2): 445–56. DOI : 10.1016 / S0039-9140 (99) 00129-0 . PMID 18967735 .

[YoungRW-11] Янг, Роберт В. (июль 1959). «Уравнение реверберации Сабины и расчеты звуковой мощности». Журнал акустического общества Америки . 31 (7): 918. Bibcode : 1959ASAJ ... 31..912Y . DOI : 10.1121 / 1.1907816 .

[12] Дэвис, Д. и Патронис, Э. "Звуковая система проектирования" (1997) Focal Press, ISBN 0-240-80305-1 стр. 173.

[13] Кук, Норман Д. (2010). «Средняя длина свободного пробега нуклонов в ядрах» . Модели атомного ядра (2-е изд.). Гейдельберг: Springer . п. 324. ISBN 978-3-642-14736-4.

[14] Блатт, Джон М .; Вайскопф, Виктор Ф. (1979). Теоретическая ядерная физика . DOI : 10.1007 / 978-1-4612-9959-2 . ISBN 978-1-4612-9961-5.

[1]