Ожидание (квантовая механика)

В квантовой механике , то ожидаемое значение является вероятностным ожидаемым значением результата (измерения) эксперимента. Его можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенных по их вероятности, и как таковое не является наиболее вероятным значением измерения; действительно, ожидаемое значение может иметь нулевую вероятность возникновения (например, измерения, которые могут давать только целые значения, могут иметь нецелое среднее значение). Это фундаментальная концепция во всех областях квантовой физики .

Оперативное определение [ править ]

Рассмотрим оператора . Среднее значение затем в дираковских обозначениях с более нормированным вектором состояния. ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle}$ $|\psi \rangle$

Формализм в квантовой механике [ править ]

В квантовой теории экспериментальная установка описывается наблюдаемой, которую нужно измерить, и состоянием системы. Ожидаемое значение в состоянии обозначается как . $A$ $\sigma$ $A$ $\sigma$ $\langle A\rangle _{\sigma }$

Математически это самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве . В наиболее часто используемом случае в квантовой механике это чистое состояние , описываемое нормализованным вектором ^[a] в гильбертовом пространстве. Ожидаемое значение в состоянии определяется как $A$ $\sigma$ $\psi$ $A$ $\psi$

(1) . $\langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle$

Если рассматривать динамику , то вектор или оператор считаются зависящими от времени, в зависимости от того, используется ли изображение Шредингера или изображение Гейзенберга . Однако эволюция математического ожидания не зависит от этого выбора. $\psi$ $A$

Если имеется полный набор собственных векторов с собственными значениями , то (1) может быть выражено как $A$ $\phi _{j}$ $a_{j}$

(2) . $\langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}$

Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения - это возможные результаты эксперимента ^[b], а соответствующий им коэффициент - вероятность того, что этот результат произойдет; ее часто называют вероятностью перехода . $a_{j}$ $|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}$

Особенно простой случай возникает, когда - проекция , и поэтому она имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует эксперименту типа «да-нет». В этом случае математическое ожидание - это вероятность того, что эксперимент приведет к «1», и его можно вычислить как $A$

(3) . $\langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}$

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, например оператор положения в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр , с собственными значениями и собственными векторами в зависимости от непрерывного параметра, . В частности, оператор действует на пространственный вектор как . ^[1] В этом случае вектор может быть записан как комплексная функция на спектре (обычно действительной прямой). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния на собственные значения оператора, как в дискретном случае $X$ $x$ $X$ $|x\rangle$ $X|x\rangle =x|x\rangle$ $\psi$ $\psi (x)$ $X$ $|\psi \rangle$ ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$ . Бывает, что собственные векторы оператора положения образуют полный базис для векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются замыкающему соотношению :

$\int |x\rangle \langle x|dx\equiv \mathbb {I}$

Вышеупомянутое можно использовать для получения общего интегрального выражения для ожидаемого значения (4), вставив тождества в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширив базис позиции:

${\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle =\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}$

Если отношение ортонормированности базисных векторов положения сводит двойной интеграл к единственному интегралу. Последняя линия использует модуль комплексной значной функции для замены с , который является общим замещение в квантово-механических интегралов. $\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$ $\psi ^{*}\psi$ $|\psi |^{2}$

Тогда математическое ожидание может быть указано, где x не ограничено, как формула

(4) . $\langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx$

Аналогичная формула верна для оператора импульса в системах с непрерывным спектром. $P$

Все приведенные выше формулы действительны только для чистых состояний . Заметное в термодинамике и квантовой оптике , а также смешанные состояния имеют важное значение; они описываются положительным оператором класса следа , статистическим оператором или матрицей плотности . Тогда ожидаемое значение может быть получено как $\sigma$ $\rho =\sum _{i}\rho _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$

(5) . $\langle A\rangle _{\rho }=\mathrm {Trace} (\rho A)=\sum _{i}\rho _{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\rho _{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}$

Общая формулировка [ править ]

В общем, квантовые состояния описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, которые математически часто рассматриваются как C * -алгебра . Тогда математическое ожидание наблюдаемого дается выражением $\sigma$ $A$

(6) . $\langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A)$

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в гильбертовом пространстве , и если является нормальным функционалом , то есть непрерывна в сверхслабой топологии , то ее можно записать как $\sigma$

\sigma (\cdot )=\mathrm {Trace} (\rho \;\cdot )

с положительным оператором следового класса следа 1. Это дает формулу (5) выше. В случае чистого состояния , является проекцией на единичный вектор . Тогда , что дает формулу (1) выше. $\rho$ $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ $\psi$ $\sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle$

$A$ считается самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно записать в спектральном разложении , $A$

A=\int a\,\mathrm {d} P(a)

с проекторной мерой . Для математического ожидания в чистом состоянии это означает $P$ $A$ $\sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle$

\langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;\mathrm {d} \langle \psi |P(a)\psi \rangle

,

что можно рассматривать как общее обобщение приведенных выше формул (2) и (4).

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (квантовой механике в строгом смысле) рассматриваемые состояния обычно являются нормальными ^{[ требуется пояснение ]} . Однако в других областях квантовой теории используются также и ненормальные состояния: они появляются, например. в виде состояний КМС в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред ^[2] и как заряженных состояний в квантовой теории поля . ^[3] В этих случаях математическое ожидание определяется только по более общей формуле (6).

Пример в пространстве конфигурации [ править ]

В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении конфигурационного пространства . Здесь гильбертово пространство - это пространство функций, суммируемых с квадратом на вещественной прямой. Векторы представлены функциями , называемыми волновыми функциями . Скалярное произведение равно . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей: ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ $\psi \in {\mathcal {H}}$ $\psi (x)$ $\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x$

p(x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx

дает вероятность найти частицу в бесконечно малом интервале длины около некоторой точки . $dx$ $x$

В качестве наблюдаемого рассмотрим оператор положения , который действует на волновые функции посредством $Q$ $\psi$

(Q\psi )(x)=x\psi (x)

.

Ожидаемое значение или среднее значение измерений, выполненных на очень большом количестве идентичных независимых систем, будет выражаться следующим образом: $Q$

\langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,p(x)\,\mathrm {d} x

.

Ожидаемое значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не является случаем для всех векторов . Это связано с тем, что оператор позиции неограничен и должен выбираться из области его определения . $\psi$ $\psi$

В общем, ожидание любой наблюдаемой можно вычислить, заменив на соответствующий оператор. Например, для вычисления среднего импульса, один использует оператор импульса в конфигурационном пространстве , . Явно его математическое ожидание равно $Q$ $P=-i\hbar \,d/dx$

\langle P\rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,\mathrm {d} x

.

Не все операторы в целом дают измеримые значения. Оператор, имеющий чисто реальное математическое ожидание, называется наблюдаемой, и его значение можно напрямую измерить в эксперименте.

См. Также [ править ]

Фактор Рэлея
Принцип неопределенности
Теорема вириала

Примечания [ править ]

^ Эта статья всегдасоответствует норме 1. Для ненормализованных векторовнеобходимо заменитьво всех формулах на. $\psi$ $\psi$ $\psi /\|\psi \|$
^ Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

Ссылки [ править ]

↑ Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2 . Диу, Бернард, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островски, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC 1159410161 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.
Перейти ↑ Haag, Rudolf (1996). Локальная квантовая физика . Springer. С. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6.

Дальнейшее чтение [ править ]

Значение математического ожидания, в частности, представленное в разделе « Формализм в квантовой механике », рассматривается в большинстве элементарных учебников по квантовой механике.

Для обсуждения концептуальных аспектов см .:

Ишем, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.

[1] Эта статья всегдасоответствует норме 1. Для ненормализованных векторовнеобходимо заменитьво всех формулах на. $\psi$ $\psi$ $\psi /\|\psi \|$

[2] Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

[3] Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2 . Диу, Бернард, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островски, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC 1159410161 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[4] Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.

[5] Перейти ↑ Haag, Rudolf (1996). Локальная квантовая физика . Springer. С. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6.

[a]