В математике и особенно в динамических системах , в исходном состоянии , в некоторых контекстах , названных начальное значение , [1] : . С. 160 является значением развивающейся переменной в какой - то момент времени , обозначенный как в начальный момент времени (обычно обозначается т = 0 ). Для системы порядка k (количество запаздываний в дискретном времени или порядок наибольшей производной в непрерывном времени ) и размерности n (то есть с n различными эволюционирующими переменными, которые вместе можно обозначить n-мерный вектор координат ), обычно требуется nk начальных условий, чтобы проследить переменные системы во времени.
Как в дифференциальных уравнениях в непрерывном времени, так и в разностных уравнениях в дискретном времени начальные условия влияют на значение динамических переменных ( переменных состояния ) в любое будущее время. В непрерывном времени проблема нахождения решения в замкнутой форме для переменных состояния как функции времени и начальных условий называется проблемой начального значения . Соответствующая проблема существует для ситуаций с дискретным временем. Хотя решение в закрытой форме не всегда возможно получить, будущие значения системы с дискретным временем могут быть найдены путем повторения вперед на один период времени за итерацию, хотя ошибка округления может сделать это непрактичным в долгосрочной перспективе.
Линейная система
Дискретное время
Линейное матричное разностное уравнение однородной (не имеющей постоянного члена) вида имеет решение в закрытой форме основанный на векторе начальных условий для отдельных переменных, которые складываются в вектор; называется вектором начальных условий или просто начальным условием и содержит nk частей информации, где n - размерность вектора X, а k = 1 - количество временных лагов в системе. Начальные условия в этой линейной системе не влияют на качественный характер будущего поведения переменной состояния X ; это поведение является стабильным или нестабильным на основе собственных значений матрицы A, но не на основе начальных условий.
В качестве альтернативы, динамический процесс в одной переменной x, имеющий несколько запаздываний по времени, выглядит так:
Здесь размерность n = 1, а порядок равен k , поэтому необходимое количество начальных условий для отслеживания системы во времени, итеративно или с помощью решения в закрытой форме, равно nk = k . Опять же, начальные условия не влияют на качественный характер долгосрочной эволюции переменной. Решение этого уравнения находится с использованием его характеристического уравнения для получения последних k решений, которые являются характерными значениями для использования в решении уравнения
Здесь константы находятся путем решения системы из k различных уравнений, основанных на этом уравнении, каждое из которых использует одно из k различных значений t, для которых заданное начальное условие Известен.
Непрерывное время
Система дифференциальных уравнений первого порядка с n переменными, сложенными в вектор X, имеет вид
Его поведение во времени можно проследить с помощью решения в замкнутой форме, зависящего от вектора начального состояния . Количество требуемых исходных единиц информации - это размерность системы n , умноженная на порядок k = 1 системы, или n . Начальные условия не влияют на качественное поведение (стабильное или нестабильное) системы.
Один к - го порядка линейного уравнения в одной переменной х является
Здесь количество начальных условий, необходимых для получения решения в замкнутой форме, равно размерности n = 1, умноженной на порядок k , или просто k . В этом случае k начальных единиц информации обычно будут не разными значениями переменной x в разные моменты времени, а скорее значениями x и ее первых k - 1 производных, все в какой-то момент времени, например, в нулевой момент времени. Начальные условия не влияют на качественный характер поведения системы. Характеристическое уравнение этого динамического уравнениярешениями которых являются характерные значения они используются в решении уравнения
Это уравнение и его первые k - 1 производные образуют систему k уравнений, которую можно решить для k параметровпри известных начальных условиях на x и значениях его производных k - 1 в некоторый момент времени t .
Нелинейные системы
Нелинейные системы могут демонстрировать значительно более разнообразное поведение, чем линейные. В частности, начальные условия могут влиять на то, расходится ли система на бесконечность или сходится ли она к тому или иному аттрактору системы. Каждый аттрактор, (возможно, несвязанная) область значений, к которой приближаются некоторые динамические пути, но никогда не покидают ее, имеет (возможно, несвязанный) бассейн притяжения , так что переменные состояния с начальными условиями в этом бассейне (и нигде больше) будут развиваться в направлении этого аттрактора. Даже близкие начальные условия могут находиться в областях притяжения различных аттракторов (см. Например метод Ньютона # Бассейны притяжения ).
Более того, в этих нелинейных системах, демонстрирующих хаотическое поведение , эволюция переменных демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий : повторные значения любых двух очень близких точек на одном и том же странном аттракторе , хотя каждая из них остается на аттракторе, будут расходиться друг от друга. время. Таким образом, даже на одном аттракторе точные значения начальных условий имеют существенное значение для будущих положений итераций. Эта функция делает точное моделирование будущих значений затруднительным и невозможным на длительных горизонтах, потому что определение начальных условий с точной точностью редко возможно и потому что ошибка округления неизбежна даже после нескольких итераций от точного начального условия.
Смотрите также
- Граничное условие
- Вектор инициализации в криптографии
Рекомендации
- ^ Баумоль, Уильям Дж. (1970). Экономическая динамика: Введение (3-е изд.). Лондон: Кольер-Макмиллан. ISBN 0-02-306660-1. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )