В математике , теория представления группы Пуанкара является примером теории представлений о наличии группы Ли , которая не является ни компактной группой , ни полупростой группы . Это фундаментально в теоретической физике .
В физической теории, имеющей пространство Минковского в качестве основного пространства-времени , пространство физических состояний обычно является представлением группы Пуанкаре. (В более общем смысле это может быть проективное представление , которое сводится к представлению двойного покрытия группы.)
В классической теории поля физические состояния являются сечениями пуанкаре-эквивариантного векторного расслоения над пространством Минковского. Условие эквивариантности означает, что группа действует на тотальном пространстве векторного расслоения, а проекция на пространство Минковского является эквивариантным отображением . Следовательно, группа Пуанкаре действует и на пространстве сечений. Возникающие таким образом представления (и их подфакторы) называются ковариантными представлениями поля и обычно не являются унитарными.
Для обсуждения таких унитарных представлений см . Классификацию Вигнера .
В квантовой механике состояние системы определяется уравнением Шредингера, которое инвариантно относительно преобразований Галилея. Квантовая теория поля - это релятивистское расширение квантовой механики, где релятивистские (инвариантные Лоренца / Пуанкаре) волновые уравнения решаются, «квантуются» и действуют в гильбертовом пространстве, составленном из фоковских состояний; собственные состояния гамильтониана теории, которые представляют собой состояния с определенным числом частиц с индивидуальным 4-импульсом.
Не существует конечных унитарных представлений полных преобразований Лоренца (и, следовательно, Пуанкаре) из-за некомпактной природы бустов Лоренца (вращения в пространстве Минковского вдоль оси пространства и времени). Однако существуют конечные неунитарные неразложимые представления алгебры Пуанкаре, которые можно использовать для моделирования нестабильных частиц. [1] [2]
В случае частиц со спином 1/2 можно найти конструкцию, которая включает как конечномерное представление, так и скалярное произведение, сохраняемое этим представлением, путем сопоставления 4-компонентного спинора Дирака с каждой частицей. Эти спиноры преобразуются при преобразованиях Лоренца, порожденных гамма-матрицами (). Можно показать, что скалярное произведение
сохраняется. Однако оно не является положительно определенным, поэтому представление не является унитарным.
Рекомендации
- Greiner, W .; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3540580805.
- Greiner, W .; Райнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
- Хариш-Чандра (1947), "Бесконечные неприводимые представления группы Лоренца", Proc. Рой. Soc. A , 189 (1018): 372-401, Bibcode : 1947RSPSA.189..372H , DOI : 10.1098 / rspa.1947.0047
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
- Вигнер, Е.П. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307 / 1968551 , JSTOR 1968551 , Руководство по ремонту 1503456.
Заметки
- ^ Lenczewski, R .; Грубер, Б. (1986). «Неразложимые представления алгебры Пуанкаре» . Журнал физики A: математический и общий . 19 (1): 1–20. DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 19/1/006 . ISSN 0305-4470 .
- ^ Панейтц, Стивен М. (1984). «Все линейные представления группы Пуанкаре до размерности 8» . Annales de l'IHP Physique théorique . 40 (1): 35–57.
Смотрите также
- Классификация Вигнера
- Теория представлений группы Лоренца.
- Теория представлений галилеевой группы
- Теория представлений групп диффеоморфизмов
- Физика элементарных частиц и теория представлений
- Симметрия в квантовой механике
- Центр масс (релятивистский)