Спинор Дирака

В квантовой теории поля , то спинорная Дирака является спинорным , который описывает все известные элементарные частицы , которые являются фермионами , с возможным исключением нейтрино . Он появляется в плоско-волновом решении уравнения Дирака и представляет собой определенную комбинацию двух спиноров Вейля , в частности биспинора, который трансформируется «спинорно» под действием группы Лоренца .

Спиноры Дирака важны и интересны во многих отношениях. Прежде всего, они важны, поскольку они описывают все известные фермионы элементарных частиц в природе ; это включает электрон и кварки . Алгебраически они действуют в определенном смысле как «квадратный корень» из вектора . Это не так очевидно при прямом рассмотрении, но за последние 60 лет постепенно стало очевидно, что спинорные представления являются фундаментальными для геометрии . Например, эффективно все римановы многообразия могут иметь спиноры и спиновые связи, построенные на них с помощью алгебры Клиффорда . ^[1]Спинор Дирака специфичен для спинора пространства-времени Минковского и преобразований Лоренца ; общий случай очень похож.

Остальная часть статьи изложена в педагогической манере с использованием обозначений и соглашений, характерных для стандартного представления спинора Дирака в учебниках по квантовой теории поля. Основное внимание в нем уделяется алгебре плоских волновых решений. Способ преобразования спинора Дирака под действием группы Лоренца обсуждается в статье о биспинорах .

Данная статья посвящена спинору Дирака в представлении Дирака . Это соответствует конкретному представлению гамма-матриц и лучше всего подходит для демонстрации решений уравнения Дирака с положительной и отрицательной энергией. Существуют и другие представления, в первую очередь киральное представление , которое лучше подходит для демонстрации киральной симметрии решений уравнения Дирака. Хиральные спиноры можно записать как линейные комбинации спиноров Дирака, представленных ниже; таким образом, ничего не теряется и не приобретается, кроме изменения перспективы относительно дискретной симметрии решений.

Определение [ править ]

Спинорная Дирака являются биспинорами в плосковолновом растворе

${\displaystyle \psi =\omega _{\vec {p}}\;e^{-ipx}\;}$

свободного уравнения Дирака ,

${\displaystyle \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0\;\Rightarrow \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\;}$

где (в единицах )${\displaystyle c\,=\,\hbar \,=\,1}$

${\displaystyle \psi }$- релятивистское поле со спином 1/2 ,

${\displaystyle \omega _{\vec {p}}}$спинор Дирака, связанный с плоской волной с волновым вектором ,${\displaystyle {\vec {p}}}$

${\displaystyle px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$,

${\displaystyle p^{\mu }\;=\;\left\{\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right\}}$- четырехволновой вектор плоской волны, где произвольно,${\displaystyle {\vec {p}}}$

${\displaystyle x^{\mu }}$являются четырьмя координатами в данной инерциальной системе отсчета.

Спинор Дирака для решения с положительной частотой можно записать как

${\displaystyle \omega _{\vec {p}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\;,}$

куда

${\displaystyle \phi }$ - произвольный двухспинор,

${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$является вектор Паули ,

${\displaystyle E_{\vec {p}}}$ положительный квадратный корень ${\displaystyle E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$

В натуральных единицах измерения , когда m ² добавляется к p ² или когда m добавляется к , m означает mc в обычных единицах; когда m добавляется к E , m означает mc ² в обычных единицах. Когда m добавляется к или к нему, это означает (что называется обратной приведенной комптоновской длиной волны ) в обычных единицах.${\displaystyle {p\!\!\!/}}$${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {mc \over \hbar }}$

Вывод из уравнения Дирака [ править ]

Уравнение Дирака имеет вид

${\displaystyle \left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,}$

Чтобы получить выражение для четырехспинора , матрицы α и β должны быть заданы в конкретном виде. Точная форма, которую они принимают, зависит от репрезентации. Для всей статьи используется представление Дирака. В этом представлении матрицы имеют вид${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Эти две матрицы 4 × 4 связаны с гамма-матрицами Дирака . Обратите внимание, что 0 и I здесь матрицы 2 × 2.

Следующим шагом будет поиск решений вида

${\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}}$,

при этом разделяя ω на два двухспинора:

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,}$.

Результаты [ править ]

Использование всей приведенной выше информации для включения в уравнение Дирака приводит к

${\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}}$.

Это матричное уравнение на самом деле представляет собой два связанных уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}}$

Решите 2-е уравнение для и получите ${\displaystyle \scriptstyle \chi \,}$

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,}$.

Обратите внимание, что это решение необходимо для того, чтобы решение было действительным в кадре, в котором находится частица .${\displaystyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

Собирая эти части, полное решение положительной энергии условно записывается как

${\displaystyle \psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$

Вышеупомянутый вводит коэффициент нормализации, полученный в следующем разделе.${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$

Вместо этого, решая 1-е уравнение для другого набора решений, находятся: ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,}$.

В этом случае необходимо обеспечить это, чтобы это решение было действительным в кадре, в котором есть частица . Доказательство проводится аналогично предыдущему случаю. Это так называемое решение с отрицательной энергией . Иногда может сбивать с толку перенос явно отрицательной энергии, поэтому принято менять знак как для энергии, так и для импульса и записывать это как${\displaystyle E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

${\displaystyle \psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$

При дальнейшем развитии решения -типа называют решениями частиц , описывающими частицу положительной массы со спином 1/2, несущую положительную энергию, а решения -типа называют решениями античастиц.${\displaystyle \psi ^{(+)}}$${\displaystyle \psi ^{(-)}}$решения, снова описывающие частицу положительной массы со спином 1/2, снова несущую положительную энергию. В лабораторных условиях считается, что оба имеют положительную массу и положительную энергию, хотя они все еще очень двойственны друг другу, с перевернутым знаком на плоской волне античастицы, предполагающей, что она «движется назад во времени». Интерпретация «обратного времени» немного субъективна и неточна, что равносильно размахиванию руками, когда единственным свидетельством является эти решения. Это действительно становится более убедительным доказательством при рассмотрении квантованного поля Дирака. Более точное значение того, что эти два набора решений «противоположны друг другу», дается в разделе о зарядовом сопряжении ниже.

Ориентация вращения [ править ]

Двухспиноры [ править ]

В представлении Дирака наиболее удобными определениями двух спиноров являются:

${\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\,}$

и

${\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\,}$

Матрицы Паули [ править ]

В матрицы Паули являются

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Используя их, можно получить то, что иногда называют вектором Паули :

${\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}}$

Ортогональность [ править ]

Спиноры Дирака обеспечивают полный и ортогональный набор решений уравнения Дирака. ^{[2] [3]} Это легче всего продемонстрировать, записав спиноры в системе координат покоя, где это становится очевидным, и затем перейдя в произвольную систему координат Лоренца. В системе покоя, где трехимпульс обращается в нуль: можно определить четыре спинора${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}},}$

${\displaystyle u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Представляем нотацию фейнмана с косой чертой

${\displaystyle {p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }}$

усиленные спиноры можно записать как

${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$

Сопряженные спиноры определяются как те, которые, как можно показать, решают сопряженное уравнение Дирака${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0}$

при этом производная считается действующей влево. Тогда сопряженные спиноры

${\displaystyle {\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$

и

${\displaystyle {\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$

Выбранная здесь нормализация такова, что скалярный инвариант действительно инвариантен во всех фреймах Лоренца. В частности, это означает ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}}$

Полнота [ править ]

Четыре спинора системы покоя указывают на то, что существует четыре различных, действительных, линейно независимых решения уравнения Дирака. То, что они действительно являются решениями, можно пояснить, заметив, что при записи в импульсном пространстве уравнение Дирака имеет вид${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$

${\displaystyle ({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$

и

${\displaystyle ({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$

Это следует потому, что

${\displaystyle {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$

что, в свою очередь, следует из антикоммутационных соотношений для гамма-матриц :

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }}$

с по метрического тензора в плоском пространстве (в искривленном пространстве, гамма - матрицы можно рассматривать как своего рода репера , хотя это выходит за рамки текущей статьи). Возможно, полезно отметить, что уравнение Дирака, записанное в системе покоя, принимает вид${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$

и

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$

так что спиноры системы покоя можно правильно интерпретировать как решения уравнения Дирака. Здесь четыре уравнения, а не восемь. Хотя 4-спиноры записываются как четыре комплексных числа, что предполагает 8 действительных переменных, только четыре из них обладают динамической независимостью; остальные четыре не имеют значения и всегда могут быть параметризованы. То есть можно взять каждый из четырех векторов и умножить каждый на отдельную глобальную фазу. Эта фаза ничего не меняет; его можно интерпретировать как своего рода глобальную калибровочную свободу. Это не означает, что «фазы не имеют значения», как, конечно, они имеют значение; уравнение Дирака должно быть записано в сложной форме, а фазы связаны с электромагнетизмом. Фазы имеют даже физическое значение, поскольку эффект Бома-Ааронова${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$${\displaystyle e^{i\eta }.}$подразумевает: поле Дирака, связанное с электромагнетизмом, представляет собой пучок волокон U (1) ( круговой пучок ), а эффект Бома-Ааронова демонстрирует голономию этого пучка. Все это не оказывает прямого влияния на подсчет количества различных компонентов поля Дирака. В любом сеттинге есть только четыре реальных отдельных компонента.

При соответствующем выборе гамма-матриц можно записать уравнение Дирака в чисто вещественной форме, имеющей только действительные решения: это уравнение Майорана . Однако у него есть только два линейно независимых решения. Эти решения не связаны с электромагнетизмом; они описывают массивную электрически нейтральную частицу со спином 1/2. Очевидно, связь с электромагнетизмом удваивает количество решений. Но, конечно, в этом есть смысл: связь с электромагнетизмом требует взятия реального поля и его усложнения. Приложив некоторые усилия, уравнение Дирака можно интерпретировать как «комплексное» уравнение Майорана. Это легче всего продемонстрировать в общей геометрической обстановке, выходящей за рамки данной статьи.

Матрицы проекции собственных состояний энергии [ править ]

Обычно определяют пару матриц проекции и , которые проецируют собственные состояния положительной и отрицательной энергии. Учитывая фиксированную систему координат Лоренца (т. Е. Фиксированный импульс), это${\displaystyle \Lambda _{+}}$${\displaystyle \Lambda _{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}}$

Это пара матриц 4 × 4. Они суммируются в единичную матрицу:

${\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I}$

ортогональны

${\displaystyle \Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0}$

и идемпотентны

${\displaystyle \Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)}$

Их след удобно заметить:

${\displaystyle \operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2}$

Обратите внимание, что след и свойства ортонормированности сохраняются независимо от фрейма Лоренца; это коварианты Лоренца.

Спряжение зарядов [ править ]

Зарядовое сопряжение преобразует спинор с положительной энергией в спинор с отрицательной энергией. Зарядовое сопряжение - это отображение ( инволюция ), имеющее явный вид${\displaystyle \psi \mapsto \psi _{c}}$

${\displaystyle \psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$

где обозначает транспонирование, является матрицей 4 × 4 и является произвольным фазовым множителем. В статье о зарядовом сопряжении используется вышеуказанная форма и показано, почему слово «заряд» является подходящим словом для использования: его можно интерпретировать как электрический заряд . В представлении Дирака для гамма-матриц матрица может быть записана как${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta ^{*}\eta =1.}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}$

Таким образом, решение с положительной энергией (отбрасывая верхний индекс спина, чтобы избежать перегрузки записи)

${\displaystyle \psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$

переносится к его зарядовому конъюгату

${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}-i\sigma _{2}\phi ^{*}\\i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$

Обратите внимание на случайные комплексные конъюгаты. Их можно объединить с идентичностью

${\displaystyle \sigma _{2}\;\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\;\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}$

чтобы получить

${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$

с 2-спинорным существом

${\displaystyle \chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}}$

Поскольку это точно имеет форму решения с отрицательной энергией, становится ясно, что зарядовое сопряжение меняет местами растворы частицы и античастицы. Обратите внимание, что не только энергия меняется на противоположную, но также меняется и импульс. Вращение вверх превращается в замедление. Можно показать, что паритет также перевернут. Зарядовое сопряжение - это во многом спаривание спинора Дирака с его «полной противоположностью».

См. Также [ править ]

• Уравнение Дирака
• Уравнение Вейля
• Уравнение майорана
• Основа спиральности
• Спин (1,3) , то двойная крышка из SO (1,3) с помощью спиновой группы

Ссылки [ править ]

• Эйчисон, IJR; Эй, Эй Джей (сентябрь 2002 г.). Калибровочные теории в физике элементарных частиц (3-е изд.) . Издательский институт Физики. ISBN 0-7503-0864-8.
• Миллер, Дэвид (2008). "Релятивистская квантовая механика (RQM)" (PDF) . С. 26–37.