Спиновое соединение

В дифференциальной геометрии и математической физике , связь спины является соединением на спинорный пачке . Он индуцируется каноническим образом из аффинной связности . Его также можно рассматривать как калибровочное поле, порожденное локальными преобразованиями Лоренца . В некоторых канонических формулировках общей теории относительности спиновая связь определяется на пространственных срезах и может также рассматриваться как калибровочное поле, генерируемое локальными вращениями .

Спиновая связь встречается в двух общих формах: спиновая связь Леви-Чивита , когда она происходит от связи Леви-Чивита , и аффинная спиновая связь , когда она получается из аффинной связи. Разница между ними состоит в том, что связность Леви-Чивита по определению является единственной связью без кручения , тогда как аффинная связь (и, следовательно, аффинная спиновая связь) может содержать кручение.

Определение [ править ]

Позвольте быть локальными полями фрейма Лоренца или vierbein (также известным как тетрада), который представляет собой набор ортонормированных векторных полей пространства-времени, которые диагонализируют метрический тензор${\ Displaystyle е _ {\ му} ^ {\; \, а}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{\;\,a}e_{\nu }^{\;\,b}\eta _{ab},}$

где - метрика пространства-времени, - метрика Минковского . Здесь латинскими буквами обозначены локальные индексы фреймов Лоренца ; Греческие индексы обозначают общие координатные индексы. Это просто выражает то , что , когда написано в терминах основы , является локально плоским. Индексы греческого vierbein могут быть увеличены или уменьшены в метрической системе, то есть или . Латинские или «лоренцевы» индексы Вирбейна могут быть повышены или понижены на или соответственно. Например, и${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{ab}}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$${\displaystyle g^{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta ^{ab}}$${\displaystyle \eta _{ab}}$${\displaystyle e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}}$${\displaystyle e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}}$

Кручения подключение спина задается

${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}+e_{\nu }^{\ a}\partial _{\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}-e^{\nu b}\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a},}$

где являются символами Кристоффеля . Это определение следует рассматривать как определение спиновой связности без кручения, поскольку по соглашению символы Кристоффеля являются производными от связности Леви-Чивиты , которая является единственной метрической совместимой связностью без кручения на римановом многообразии. В общем, ограничений нет: спиновое соединение также может содержать кручение.${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }}$

Обратите внимание, что используется гравитационная ковариантная производная контравариантного вектора . Спиновую связь можно записать чисто в терминах поля Вирбейна как ^[1]${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\partial _{;\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}(\partial _{\mu }e^{\nu b}+\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b})}$${\displaystyle \partial _{;\mu }e^{\nu b}}$${\displaystyle e^{\nu b}}$

${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}={\frac {1}{2}}e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ b}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ b})-{\frac {1}{2}}e^{\nu b}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ a})-{\frac {1}{2}}e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial _{\rho }e_{\sigma c}-\partial _{\sigma }e_{\rho c})e_{\mu }^{\ c},}$

которая по определению антисимметрична по своим внутренним индексам .${\displaystyle a,b}$

Спиновая связь определяет ковариантную производную на обобщенных тензорах. Например, его действие на это${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}}$${\displaystyle D_{\mu }}$${\displaystyle V_{\nu }^{\ a}}$

${\displaystyle D_{\mu }V_{\nu }^{\ a}=\partial _{\mu }V_{\nu }^{\ a}+{{\omega _{\mu }}^{a}}_{b}V_{\nu }^{\ b}-\Gamma _{\ \nu \mu }^{\sigma }V_{\sigma }^{\ a}}$

Структурные уравнения Картана [ править ]

В формализме Картана спиновая связь используется для определения как кручения, так и кривизны. Их легче всего читать, работая с дифференциальными формами , поскольку они скрывают часть обилия индексов. Уравнения , представленные здесь фактически повторение тех , что можно найти в статье о форме соединения и форме кривизны . Основное отличие состоит в том, что они сохраняют индексы на vierbein, а не полностью их скрывают. В более узком смысле, формализм Картана следует интерпретировать в его историческом контексте как обобщение идеи аффинной связи с однородным пространством ; это еще не так широко, как идеяосновное соединение на пучке волокон . Он служит подходящей промежуточной точкой между более узким подходом в римановой геометрии и полностью абстрактным параметром пучка волокон, тем самым подчеркивая сходство с калибровочной теорией . Обратите внимание, что структурные уравнения Картана, как они выражены здесь, имеют прямой аналог: уравнения Маурера – Картана для групп Ли (то есть, это те же уравнения, но в других условиях и обозначениях).

Написание vierbeins как дифференциальных форм

${\displaystyle e^{a}=e_{\mu }^{\;\,a}dx^{\mu }}$

для ортонормированных координат на кокасательном расслоении одна форма аффинной спиновой связности имеет вид

${\displaystyle \omega ^{ab}=\omega _{\mu }^{\;\;ab}dx^{\mu }}$

Кручения 2-форма задается

${\displaystyle \Theta ^{a}=de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge e^{b}}$

в то время как 2-форма кривизны является

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}={\frac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

Эти два уравнения, вместе взятые, называются структурными уравнениями Картана . ^[2] Последовательность требует соблюдения тождеств Бьянки . Первое тождество Бьянки получается взятием внешней производной от кручения:

${\displaystyle d\Theta ^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge \Theta ^{b}=R_{\;\,b}^{a}\wedge e^{b}}$

а второй - дифференцированием кривизны:

${\displaystyle dR_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge R_{\;\,b}^{c}-R_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}=0.}$

Ковариантная производная для типичной дифференциальной формы степени p определяется формулой${\displaystyle V_{\;\,b}^{a}}$

${\displaystyle DV_{\;\,b}^{a}=dV_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge V_{\;\,b}^{c}-(-1)^{p}V_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}.}$

Затем вторая личность Бьянки становится

${\displaystyle DR_{\;\,b}^{a}=0.}$

Разница между связью с кручением и уникальной связью без кручения дается тензором замыкания . Связь с кручением обычно встречается в теориях телепараллелизма , теории Эйнштейна – Картана , калибровочной теории гравитации и супергравитации .

Вывод [ править ]

Метрика [ править ]

Легко вывести, повышая и понижая индексы по мере необходимости, что поля кадра, определенные с помощью , также будут удовлетворять и . Мы ожидаем, что это также аннулирует метрику Минковского ,${\displaystyle g_{\mu \nu }={e_{\mu }}^{a}{e_{\nu }}^{b}\eta _{ab}}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=\delta _{b}^{a}}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{b}{e^{\nu }}_{b}=\delta _{\mu }^{\nu }}$${\displaystyle D_{\mu }}$${\displaystyle \eta _{ab}}$

${\displaystyle D_{\mu }\eta _{ab}=\partial _{\mu }\eta _{ab}-{\omega _{\mu a}}^{c}\eta _{cb}-{\omega _{\mu b}}^{c}\eta _{ac}=0.}$

Это означает , что соединение является анти-симметрично в своих внутренних показателях, Это также выводится с гравитационной ковариантной производной , которая предполагает , что , таким образом , в конечном счете, . Иногда это называется условием метричности ; ^[2] это аналогично более часто формулируемому условию метричности. Отметим, что это условие выполняется только для спиновой связности Леви-Чивиты, но не для аффинной спиновой связности в целом.${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.}$${\displaystyle \partial _{;\beta }({e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b})=0}$${\displaystyle \partial _{;\beta }{e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=-{e_{\mu }}^{a}\partial _{;\beta }{e^{\mu }}_{b}}$${\displaystyle {\omega _{\beta }}^{ab}=-{\omega _{\beta }}^{ba}}$${\displaystyle g_{\mu \nu ;\alpha }=0.}$

Подставляя формулу для символов Кристоффеля, записанных в терминах , спиновая связь может быть полностью записана в терминах ,${\displaystyle {\Gamma ^{\nu }}_{\sigma \mu }={1 \over 2}g^{\nu \delta }(\partial _{\sigma }g_{\delta \mu }+\partial _{\mu }g_{\sigma \delta }-\partial _{\delta }g_{\sigma \mu })}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$

${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=e^{\nu [a}({{e_{\nu }}^{b]}}_{,\mu }-{{e_{\mu }}^{b]}}_{,\nu }+e^{\sigma |b]}{e_{\mu }}^{c}e_{\nu c,\sigma })}$

где антисимметризация индексов имеет неявный множитель 1/2.

По метрической совместимости [ править ]

Эту формулу можно вывести другим способом. Чтобы напрямую решить условие совместимости для спинового соединения , можно использовать тот же прием, который использовался для решения для символов Кристоффеля . Сначала заключите условие совместимости, чтобы дать${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$${\displaystyle \nabla _{\rho }g_{\alpha \beta }=0}$${\displaystyle {\Gamma ^{\gamma }}_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}(\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}+{\omega _{[\alpha a}}^{d}\;e_{\beta ]d})=0}$.

Затем выполните циклическую перестановку свободных индексов и , сложите и вычтите три результирующих уравнения:${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}+2{e^{\alpha }}_{b}\omega _{\alpha ac}=0}$

где мы использовали определение . Решение для спинового соединения:${\displaystyle \Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}}$

${\displaystyle \omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})}$.

Отсюда получаем ту же формулу, что и раньше.

Приложения [ править ]

Спиновая связь возникает в уравнении Дирака, когда выражается на языке искривленного пространства-времени , см. Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени . В частности, существуют проблемы связи гравитации со спинорными полями: не существует конечномерных спинорных представлений общей группы ковариаций . Однако спинорные представления группы Лоренца, конечно, существуют . Этот факт используется с помощью тетрадных полей, описывающих плоское касательное пространство в каждой точке пространства-времени. Эти матрицы Дирака сжимаются на vierbiens,${\displaystyle \gamma ^{a}}$

${\displaystyle \gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)}$.

Мы хотим построить общековариантное уравнение Дирака. При использовании преобразования Лоренца в плоском касательном пространстве спинор преобразуется как

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{ab}(x)\sigma _{ab}}\psi }$

Мы ввели локальные преобразования Лоренца на плоском касательном пространстве, порожденном символами 's, таким образом, что это функция пространства-времени. Это означает, что частная производная спинора больше не является истинным тензором. Как обычно, вводится поле связности, которое позволяет нам калибровать группу Лоренца. Ковариантная производная, определенная с помощью спиновой связи, равна,${\displaystyle \sigma _{ab}}$${\displaystyle \epsilon _{ab}}$${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-{i \over 4}{\omega _{\mu }}^{ab}\sigma _{ab})\psi =(\partial _{\mu }-{i \over 4}e^{\nu a}\partial _{;\mu }{e_{\nu }}^{b}\sigma _{ab})\psi }$,

и является настоящим тензором, а уравнение Дирака переписывается в виде

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0}$.

Общековариантное действие фермионов связывает фермионы с гравитацией при добавлении к тетрадному действию Палатини первого порядка ,

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 2\kappa ^{2}}e\,{e^{\mu }}_{a}{e^{\nu }}_{b}{\Omega _{\mu \nu }}^{ab}[\omega ]+e{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi }$

где и - кривизна спиновой связи.${\displaystyle e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\Omega _{\mu \nu }}^{ab}}$

Тетрадическая формулировка общей теории относительности Палатини, которая является формулировкой первого порядка действия Эйнштейна – Гильберта, где тетрада и спиновая связь являются основными независимыми переменными. В версии 3 + 1 формулировки Палатини информация о пространственной метрике ,, закодирована в триаде (трехмерная, пространственная версия тетрады). Здесь мы расширяем условие совместимости метрики на , то есть, и получаем формулу, аналогичную приведенной выше, но для пространственной спиновой связи .${\displaystyle q_{ab}(x)}$${\displaystyle e_{a}^{i}}$${\displaystyle D_{a}q_{bc}=0}$${\displaystyle e_{a}^{i}}$${\displaystyle D_{a}e_{b}^{i}=0}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{ij}}$

Пространственная спиновая связь появляется в определении переменных Аштекара-Барберо, которое позволяет переписать общую теорию относительности 3 + 1 как специальный тип калибровочной теории Янга-Миллса . Один определяет . Переменная соединения Аштекар-Барберо затем определяется как где и является внешней кривизной и является параметром Иммирзи . В качестве переменной конфигурации сопряженный импульс представляет собой уплотненную триаду . Общая теория относительности 3 + 1, переписанная как специальный тип калибровочной теории Янга – Миллса , позволяет импортировать непертурбативные методы, используемые в квантовой хромодинамике.${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}}$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta c_{a}^{i}}$${\displaystyle c_{a}^{i}=c_{ab}e^{bi}}$${\displaystyle c_{ab}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle E_{a}^{i}=|\det(e)|e_{a}^{i}}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ канонической квантовой общей теории относительности.

См. Также [ править ]

• Аштекарские переменные
• Оператор Дирака
• Картановое соединение
• Леви-Чивита связь
• Исчисление Риччи
• Супергравитация
• Тензор кручения
• Конторсионный тензор
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Ссылки [ править ]

• Hehl, FW; von der Heyde, P .; Kerlick, GD; Нестер, JM (1976), "Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы" , Rev. Mod. Phys. 48 , 393.
• Киббл, TWB (1961), "Лоренц-инвариантность и гравитационное поле" , J. Math. Phys. 2 , 212.
• Поплавски, Нью-Джерси (2009), "Пространство-время и поля", arXiv: 0911.0334
• Sciama, DW (1964), "Физическая структура общей теории относительности" , Rev. Mod. Phys. 36 , 463.