В физике , волновой вектор (также пишется волновой вектор ) представляет собой вектор , который помогает описать волну . Как и любой вектор, у него есть величина и направление , которые важны. Его величина - это либо волновое число, либо угловое волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление обычно является направлением распространения волны (но не всегда, см. Ниже ).
В контексте специальной теории относительности волновой вектор также можно определить как четырехвектор .
Определения [ править ]
Есть два общих определения волнового вектора, которые различаются по величине в 2π раз. Одно определение предпочтительнее в физике и родственных областях, в то время как другое определение предпочтительнее в кристаллографии и родственных областях. [1] В этой статье они будут называться «определение физики» и «определение кристаллографии» соответственно.
В обоих определениях, приведенных ниже, величина волнового вектора представлена как ; направление волнового вектора обсуждается в следующем разделе.
Определение физики [ править ]
Совершенная одномерная бегущая волна подчиняется уравнению:
где:
- x - позиция,
- т время,
- (функция х и т ) является нарушением , описывающее волны (например, для волны океана , будет избыток высоты воды, или для звуковой волны , будет избыточное давление воздуха ).
- A - амплитуда волны (максимальная амплитуда колебаний),
- является фазовый сдвиг , описывающая , как две волны могут быть синхронизированы друг с другом,
- - временная угловая частота волны, описывающая, сколько колебаний она совершает за единицу времени, и связанная с периодом уравнением ,
- - пространственная угловая частота ( волновое число ) волны, описывающая, сколько колебаний она совершает на единицу пространства, и связанная с длиной волны уравнением .
- величина волнового вектора. В этом одномерном примере направление волнового вектора тривиально: эта волна распространяется в направлении + x со скоростью (точнее, фазовой скоростью ) . В многомерной системе скаляр будет заменен векторным скалярным произведением , представляющим волновой вектор и вектор положения соответственно.
Определение кристаллографии [ править ]
В кристаллографии одни и те же волны описываются немного разными уравнениями. [2] В одном и трех измерениях соответственно:
Различия между двумя приведенными выше определениями заключаются в следующем:
- Угловая частота используется в определении физики, а частота используется в определении кристаллографии. Они связаны между собой . Эта замена не важна для данной статьи, но отражает общепринятую практику кристаллографии.
- Волновое число и волновой вектор k определяются по-разному: в приведенном выше определении физики, а в определении кристаллографии ниже .
Направление k обсуждается в следующем разделе .
Направление волнового вектора [ править ]
Направление, в котором указывает волновой вектор, необходимо отличать от «направления распространения волны ». «Направление распространения волны» - это направление потока энергии волны и направление, в котором будет двигаться небольшой волновой пакет , то есть направление групповой скорости . Для световых волн это также направление вектора Пойнтинга . С другой стороны, волновой вектор указывает в направлении фазовой скорости . Другими словами, волновой вектор направлен по нормали к поверхностям с постоянной фазой , также называемым волновыми фронтами .
В изотропной среде без потерь, такой как воздух, любой газ, любая жидкость, аморфные твердые тела (например, стекло ) и кубические кристаллы, направление волнового вектора точно такое же, как и направление распространения волны. Если среда анизотропна, волновой вектор в целом указывает в направлениях, отличных от направления распространения волны. Условие для того, чтобы волновой вектор указывал в том же направлении, в котором распространяется волна, состоит в том, что волна должна быть однородной, что не обязательно выполняется, когда среда анизотропна. В однородномволны поверхности постоянной фазы также являются поверхностями постоянной амплитуды. В случае неоднородных волн эти два вида поверхностей различаются по ориентации. Волновой вектор всегда перпендикулярен поверхностям постоянной фазы.
Например, когда волна проходит через анизотропную среду , например световые волны через асимметричный кристалл или звуковые волны через осадочную породу , волновой вектор может указывать не точно в направлении распространения волны. [3] [4]
В физике твердого тела [ править ]
В физике твердого тела «волновой вектор» (также называемый k-вектором ) электрона или дырки в кристалле является волновым вектором его квантово-механической волновой функции . Эти электронные волны не являются обычными синусоидальными волнами, но у них есть своего рода функция огибающей, которая является синусоидальной, а волновой вектор определяется через эту огибающую волну, обычно с использованием «физического определения». Подробнее см . Теорему Блоха . [5]
В специальной теории относительности [ править ]
Движущуюся волновую поверхность в специальной теории относительности можно рассматривать как гиперповерхность (трехмерное подпространство) в пространстве-времени, образованную всеми событиями, прошедшими через волновую поверхность. Цепь волн (обозначаемая некоторой переменной X) можно рассматривать как однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей в пространстве-времени. Эта переменная X является скалярной функцией положения в пространстве-времени. Производная этого скаляра - это вектор, который характеризует волну, четырехволновой вектор. [6]
Четырехволновой вектор - это четырехволновой волновой вектор, который определяется в координатах Минковского как:
где угловая частота - это временная составляющая, а вектор волнового числа - пространственная составляющая.
Альтернативно, волновое число можно записать как угловую частоту, деленную на фазовую скорость , или через обратный период и обратную длину волны .
В явном виде его контравариантная и ковариантная формы следующие:
В общем, скалярная величина Лоренца волнового четырехвектора равна:
Четырехволновой вектор равен нулю для безмассовых (фотонных) частиц, где масса покоя
Примером нулевого четырехволнового вектора может быть пучок когерентного монохроматического света, который имеет фазовую скорость
- {для подобного свету / null}
который имел бы следующее соотношение между частотой и величиной пространственной части четырехволнового вектора:
- {для подобного свету / null}
Четырехволновой вектор связан с четырехмерным импульсом следующим образом:
Четырехволновой вектор связан с четырехчастотным следующим образом:
Четырехволновой вектор связан с четырехмерной скоростью следующим образом:
Преобразование Лоренца [ править ]
Принимая преобразование Лоренца из четырех-волнового вектора является одним из способов для получения релятивистского эффекта Доплера . Матрица Лоренца определяется как
В ситуации, когда свет излучается быстро движущимся источником и кто-то хотел бы знать частоту света, обнаруженного в земном (лабораторном) кадре, мы применили бы преобразование Лоренца следующим образом. Обратите внимание, что источник находится в кадре S s, а Земля - в кадре наблюдения S obs . Применяя преобразование Лоренца к волновому вектору
и выбрав просто посмотреть на компонент, вы получите
где - направляющий косинус wrt
Так
Источник удаляется (красное смещение) [ править ]
В качестве примера, чтобы применить это к ситуации, когда источник движется прямо от наблюдателя ( ), это выглядит следующим образом:
Источник движется в сторону (синее смещение) [ править ]
Чтобы применить это к ситуации, когда источник движется прямо к наблюдателю ( ), это становится:
Источник движется по касательной (поперечный эффект Доплера) [ править ]
Чтобы применить это к ситуации, когда источник движется поперек наблюдателя ( ), это становится:
См. Также [ править ]
- Расширение плоской волны
- Самолет падения
Ссылки [ править ]
- ^ Пример определения физики: Харрис, Бененсон, Стёкер (2002). Справочник по физике . п. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.CS1 maint: multiple names: authors list (link). Пример определения кристаллографии: Vaĭnshten (1994). Современная кристаллография . п. 259. ISBN. 978-3-540-56558-1.
- ^ Вайнштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография . п. 259. ISBN. 978-3-540-56558-1.
- ^ Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.
- ^ "Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...", Звук волны в твердых телах , Поллард, 1977. ссылка
- ^ Дональд Х. Мензель (1960). «§10.5 Волна Блоха» . Фундаментальные формулы физики, том 2 (Перепечатка Прентис-Холла, 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ISBN 978-0486605968.
- ↑ Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 60–65 . ISBN 978-0-19-853952-0.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-514665-3.