Гамма-матрицы

В математической физике , в гамма - матрицах , также известные как Дирак матрицы , представляют собой набор обычных матриц с конкретными антикоммутационными отношениями , которые обеспечивают их генерируют матрицу представление алгебры Клиффорд Cl _1,3 ( R ). Также возможно определить гамма-матрицы более высокой размерности . При интерпретации как матрицы действия набора ортогональных базисных векторов для контравариантных векторов в пространстве Минковского ${\ Displaystyle \ {\ gamma ^ {0}, \ gamma ^ {1}, \ gamma ^ {2}, \ gamma ^ {3} \}}$ , векторы-столбцы, на которых действуют матрицы, становятся пространством спиноров , на котором действует алгебра Клиффорда пространства-времени . Это, в свою очередь, позволяет представить бесконечно малые пространственные повороты и бусты Лоренца . Спиноры в целом облегчают вычисления пространства-времени и, в частности, являются фундаментальными для уравнения Дирака для релятивистских частиц со спином 1/2 .

В представлении Дирака четыре контравариантных гамма-матрицы равны

{\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

$\gamma ^{0}$ - временноподобная эрмитова матрица. Остальные три представляют собой пространственно-подобные антиэрмитовые матрицы. Более компактно, и , где обозначает произведение Кронекера, а (при j = 1, 2, 3) обозначают матрицы Паули . $\gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I$ $\gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}$ $\otimes$ $\sigma ^{j}$

Гамма-матрицы имеют групповую структуру, гамма-группу , которая является общей для всех матричных представлений группы в любом измерении для любой сигнатуры метрики. Например, матрицы Паули представляют собой набор «гамма» -матриц в размерности 3 с метрикой евклидовой сигнатуры (3, 0). В 5 измерениях пространства-времени 4 гамма выше вместе с пятой гамма-матрицей, которая будет представлена ниже, образуют алгебру Клиффорда.

Математическая структура [ править ]

Определяющим свойством гамма-матриц для генерации алгебры Клиффорда является антикоммутационное соотношение

\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},

где - антикоммутатор , - метрика Минковского с сигнатурой (+ - - -) , - единичная матрица 4 × 4 . $\{,\}$ $\eta ^{\mu \nu }$ $I_{4}$

Это определяющее свойство является более фундаментальным, чем числовые значения, используемые в конкретном представлении гамма-матриц. Ковариантные гамма-матрицы определяются формулами

\gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\},

и приняты обозначения Эйнштейна .

Обратите внимание, что другое соглашение о знаках для метрики (- + + +) требует либо изменения в определяющем уравнении:

\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}

или умножение всех гамма-матриц на , что, конечно, изменяет их свойства эрмитичности, подробно описанные ниже. В соответствии с альтернативным соглашением о знаках для метрики ковариантные гамма-матрицы затем определяются следующим образом: $i$

\gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}.

Физическая структура [ править ]

Алгебра Клиффорда $Cl 1,3 (ℝ)$ в пространстве-времени $V$ может рассматриваться как набор реальных линейных операторов из $V$ в себя, $End (V)$ или, в более общем смысле, при комплексировании до $Cl 1,3 (ℝ) ℂ$ , как набор линейных операторов из любого 4-мерного комплексного векторного пространства в себя. Проще говоря, учитывая базис для $V$ , $Cl 1,3 (ℝ) ℂ$ - это просто набор всех комплексных матриц $4 \times 4$ , но наделенный структурой алгебры Клиффорда. Предполагается, что пространство-время наделено метрикой Минковского $η μν$ . Пространство биспиноров, $U x$ , также предполагается в каждой точке пространства-времени, наделенноебиспинорным представлениемгруппыЛоренца. Биспинорные поля $Ψ$ уравнений Дирака, вычисленные в любой точке $x$ в пространстве-времени, являются элементами $U x$ , см. Ниже. Предполагается, что алгебра Клиффорда действует и на $U x$ (умножением матриц на векторы-столбцы $Ψ (x)$ в $U x$ для всех $x$ ). Это будет первичный вид элементов $Cl 1,3 (ℝ) ℂ$ в этой секции.

Для каждого линейного преобразования $S$ из $U х$ , есть преобразование $End (U х)$ задается $SES -1$ для $Е$ в $Cl 1,3 (ℝ) ℂ \approx Конец (U х)$ . Если $S$ принадлежит представлению группы Лоренца, то индуцированное действие $E \mapsto SES -1$ также будет принадлежать представлению группы Лоренца, см. Теорию представлений группы Лоренца .

Если $S (Λ)$ - биспинорное представление, действующее на $U x,$ произвольного преобразования Лоренца $Λ$ в стандартном (4-векторном) представлении, действующем на $V$ , то существует соответствующий оператор на $End (U x) = Cl 1,3 ( ℝ) ℂ$ задано

\gamma ^{\mu }\mapsto S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S(\Lambda )^{-1}={(\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }\gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\gamma ^{\nu },

показывая , что & $gamma ц$ можно рассматривать как основу из в пространстве представления на 4-векторного представления группы Лоренца , сидя внутри алгебры Клиффорда. Последняя идентичность может быть распознана как определяющее отношение для матриц, принадлежащих неопределенной ортогональной группе , которая записывается в индексированной нотации. Это означает, что количества вида $\eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1},$

a\!\!\!/:=a_{\mu }\gamma ^{\mu }

следует рассматривать как 4-векторы в манипуляциях. Это также означает, что индексы можно поднимать и опускать на $γ$ с помощью метрики $η μν,$ как и с любым 4-вектором. Обозначение называется косой чертой Фейнмана . Операция косой черты отображает базис $e μ$ в $V$ или любое 4-мерное векторное пространство в базисные векторы $γ μ$ . Правило преобразования для сокращенных величин просто

{a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }.

Следует отметить, что это отличается от правила преобразования для $γ μ$ , которые теперь рассматриваются как (фиксированные) базисные векторы. Таким образом, обозначение 4-кортежа $(γ μ) = (γ 0, γ 1, γ 2, γ 3)$ как 4-вектора, которое иногда встречается в литературе, является немного неправильным. Последнее преобразование соответствует активному преобразованию компонентов косой величины по базису $γ μ$ , а первое - пассивному преобразованию самого базиса $γ μ$ .

Элементы $σ μν = γ μ γ ν - γ ν γ μ$ образуют представление алгебры Ли группы Лоренца. Это представление вращения. Когда эти матрицы и их линейные комбинации возведены в степень, они являются биспинорными представлениями группы Лоренца, например, $S (Λ),$ приведенная выше, имеет такую форму. $Шестимерное$ пространство $σ μν$ span является пространством представления тензорного представления группы Лоренца. Об элементах высшего порядка алгебры Клиффорда в целом и правилах их преобразования см. Статью Алгебра Дирака. Спиновое представление группы Лоренца кодируется в спиновой группе Spin (1, 3) (для реальных незаряженных спиноров) и в комплексифицированной спиновой группе Spinc (1, 3) для заряженных (дираковских) спиноров.

Выражение уравнения Дирака [ править ]

В натуральных единицах измерения уравнение Дирака можно записать как

(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0

где спинор Дирака. $\psi$

Переходя к обозначениям Фейнмана , уравнение Дирака имеет вид

(i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0.

Пятая «гамма» матрица, `γ` ⁵[ править ]

Полезно определить произведение четырех гамма-матриц как , чтобы $\gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I$

\gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}

(в базисе Дирака).

Несмотря на то, использует букву гамма, это не является одним из самых гамма - матриц Cl _1,3 ( R ). Цифра 5 - это пережиток старых обозначений, в которых называлось " ". $\gamma ^{5}$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{4}$

$\gamma ^{5}$ имеет также альтернативную форму:

\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }

используя соглашение , или $\varepsilon _{0123}=1$

\gamma ^{5}=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }

используя соглашение . $\varepsilon ^{0123}=1$

Доказательство

Это можно увидеть, используя тот факт, что все четыре гамма-матрицы антикоммутируют, поэтому

\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\frac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }

,

где - обобщенная дельта Кронекера типа (4,4) в четырех измерениях в полной антисимметричности . Если обозначает символ Леви-Чивита в n измерениях, мы можем использовать тождество . Тогда мы получаем, используя соглашение , $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }$ $\varepsilon _{\alpha \dots \beta }$ $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }$ $\varepsilon ^{0123}=1$

\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }

Эта матрица полезна при обсуждении квантово-механической киральности . Например, поле Дирака можно спроецировать на его левую и правую составляющие:

\psi _{\rm {L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{\rm {R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi

.

Некоторые свойства:

Это отшельник:
$(\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.$
Его собственные значения равны ± 1, потому что:
$(\gamma ^{5})^{2}=I_{4}.$
Он антикоммутируется с четырьмя гамма-матрицами:
$\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.$

Фактически, и являются собственными векторами так как $\psi _{\rm {L}}$ $\psi _{\rm {R}}$ $\gamma ^{5}$

\gamma ^{5}\psi _{\rm {L}}={\frac {\gamma ^{5}-(\gamma ^{5})^{2}}{2}}\psi =-\psi _{\rm {L}}

, а также

\gamma ^{5}\psi _{\rm {R}}={\frac {\gamma ^{5}+(\gamma ^{5})^{2}}{2}}\psi =\psi _{\rm {R}}.

Пять измерений [ править ]

Алгебра Клиффорда в нечетных размеров ведет себя как двух экземпляров алгебры Клиффорда одной меньшей размерности, в левой копии и правой копии. ^[1] Таким образом, можно использовать небольшой трюк, чтобы перепрофилировать $i γ 5 в$ качестве одного из генераторов алгебры Клиффорда в пяти измерениях. В этом случае множество ${γ 0, γ 1, γ 2, γ 3, iγ 5},$ следовательно, по двум последним свойствам (с учетом того, что $i 2 = -1$ ) и те из старых гамм, формирует основу алгебры Клиффорда в $5$ измерениях пространства-времени для метрической сигнатуры $(1,4)$ . ^[2] В метрической сигнатуре $(4,1)$ используется набор ${γ 0, γ 1, γ 2, γ 3, γ 5}$ , где $γ μ$ являются подходящими для сигнатуры $(3,1)$ . ^[3] Этот шаблон повторяется для четного измерения пространства-времени $2 n$ и следующего нечетного измерения $2 n. +1$ для всех $n \geq 1$ . ^[4] Подробнее см. Гамма-матрицы более высокой размерности .

Личности [ править ]

Следующие тождества следуют из фундаментального антикоммутационного отношения, поэтому они верны в любом базисе (хотя последнее зависит от выбора знака ). $\gamma ^{5}$

Разные личности [ править ]

\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}

Доказательство

Возьмем стандартное антикоммутационное отношение:

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.

Можно сделать эту ситуацию похожей, используя метрику : $\eta$

${\begin{aligned}&\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\\={}&\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\end{aligned}}$
$={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$	( симметричный) $\eta$
$={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)$	(расширяется)
$={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)$	(термин переназначение справа)
$={\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}$
$={\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$
Доказательство
Аналогично доказательству 1, снова начиная со стандартного коммутационного соотношения:
${\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }.\end{aligned}}$

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}

Доказательство

Показывать

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.

Используйте антикоммутатор для перехода вправо $\gamma ^{\mu }$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$
	$=2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }.$

Используя соотношение, мы можем сжать последние две гаммы и получить $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }2\eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$
	$=2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\left\{\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\right\}.$

Наконец, используя антикоммутаторное тождество, получаем

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }

Доказательство

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }$	$=(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (антикоммутаторная идентичность)
	$=2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,$ (используя удостоверение 3)
	$=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (поднятие индекса)
	$=2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (антикоммутаторная идентичность)
	$=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$ (2 условия отменить)

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}$
Доказательство
Если тогда и удостоверение личности проверить несложно. То же самое происходит, когда , или . $\mu =\nu =\rho$ $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0$ $\mu =\nu \neq \rho$ $\mu =\rho \neq \nu$ $\nu =\rho \neq \mu$
С другой стороны, если все три индекса различны, , и обе стороны полностью антисимметричен; в левой части из-за антикоммутативности матриц, а в правой части из-за антисимметрии . Таким образом, достаточно проверить тождества для случаев , , и . $\eta ^{\mu \nu }=0$ $\eta ^{\mu \rho }=0$ $\eta ^{\nu \rho }=0$ $\gamma$ $\epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }$ $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}$ $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}$ $\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ $\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$
${\begin{aligned}-i\epsilon ^{\sigma 012}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{3012}\left(-\gamma ^{3}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{3012}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\\-i\epsilon ^{\sigma 013}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{2013}\left(-\gamma ^{2}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{2013}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 023}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{1023}\left(-\gamma ^{1}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{1023}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 123}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{0123}\left(\gamma ^{0}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{0123}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\end{aligned}}$
$\gamma ^{5}\gamma ^{\nu \rho }={\frac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma \mu }$

Идентификаторы трассировки [ править ]

Гамма-матрицы подчиняются следующим тождествам трасс :

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0$
След любого продукта нечетного числа равен нулю $\gamma ^{\mu }$
Следы того, как произведение нечетного числа все еще равно нулю $\gamma ^{5}$ $\gamma ^{\mu }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)$

Доказательство вышеизложенного предполагает использование трех основных свойств оператора трассировки :

tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B )
tr ( rA ) = r tr ( A )
tr ( ABC ) = tr ( CAB ) = tr ( BCA )

Доказательство 0

Из определения гамма-матриц,

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I

Мы получили

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I

или, что эквивалентно,

{\frac {\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }}{\eta ^{\mu \mu }}}=I

где - число, а - матрица. $\eta ^{\mu \mu }$ $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }$

\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })

(вставив тождество и используя tr (rA) = r tr (A))

=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })

(из антикоммутационного отношения и с учетом того, что мы можем выбирать )

\mu \neq \nu

=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })

(используя tr (ABC) = tr (BCA))

=-\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })

(удаление личности)

Из этого следует $\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })=0$

Доказательство 1

Показывать

\operatorname {tr} (\mathrm {odd\ num\ of\ } \gamma )=0

Во-первых, обратите внимание, что

\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0.

Мы также будем использовать два факта о пятой гамма-матрице, которые говорят: $\gamma ^{5}$

\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }

Итак, давайте используем эти два факта, чтобы доказать это тождество для первого нетривиального случая: след трех гамма-матриц. Первый шаг - поставить одну пару перед тремя исходными , второй шаг - вернуть матрицу в исходное положение после использования цикличности трассы. $\gamma ^{5}$ $\gamma$ $\gamma ^{5}$

$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho })$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ (используя tr (ABC) = tr (BCA))
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$

Это может быть выполнено только в том случае, если

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0

Расширение до 2n + 1 (n целых) гамма-матриц можно найти, поместив две гамма-5 после (скажем) 2-й гамма-матрицы на трассе, переместив одну вправо (со знаком минус) и переместив другая гамма-5 2n выходит влево [с изменением знака (-1) ^ 2n = 1]. Затем мы используем циклическую идентичность, чтобы собрать две гамма-5 вместе, и, следовательно, они равняются единице, оставляя нам след, равный самому минусу, то есть 0.

Доказательство 2

Если на трассе появляется нечетное количество гамма-матриц, за которым следует , наша цель - переместиться с правой стороны на левую. Это оставит след инвариантным благодаря свойству цикличности. Чтобы сделать этот ход, мы должны антикоммутировать его со всеми другими гамма-матрицами. Это означает, что мы антикоммутируем его нечетное количество раз и получаем знак минус. След, равный самому себе отрицательному, должен быть нулевым. $\gamma ^{5}$ $\gamma ^{5}$

Доказательство 3

Показывать

\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }

Начинать с,

$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })$	$={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })+\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\right)$
	$={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)$
	$={\frac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }$

Доказательство 4

$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho })\right)$
	$=2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)$

Для члена справа мы продолжим схему обмена с его соседом слева, $\gamma ^{\sigma }$

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }(2\eta ^{\nu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu })\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)$

Опять же, для члена справа поменяйте местами с его соседом слева, $\gamma ^{\sigma }$

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$	$=\operatorname {tr} \left((2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$
	$=2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)$

Уравнение (3) - это член справа от уравнения (2), а уравнение (2) - это член справа от уравнения (1). Мы также будем использовать идентификационный номер 3, чтобы упростить такие термины:

2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }(4\eta ^{\mu \nu })=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.

Итак, наконец, уравнение (1), когда вы вставляете всю эту информацию, дает

\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }

-\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)

Члены внутри трассы можно циклически перебирать, поэтому

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }).

Так что на самом деле (4) - это

2\ \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }

или же

\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)

Доказательство 5

Показывать

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0

,

начинать с

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(потому что ) $\gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)$	(анти-коммутируют с ) $\gamma ^{5}$ $\gamma ^{0}$
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$	(чередовать термины внутри трассировки)
	$=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$	(удалить ) $\gamma ^{0}$

Добавьте к обеим сторонам вышеупомянутого, чтобы увидеть $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$

2\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0

.

Теперь этот шаблон также можно использовать для отображения

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0

.

Просто добавьте два фактора , отличные от и . Антикоммутируйте три раза вместо одного, выбирая три знака минус, и выполняйте цикл, используя циклическое свойство трассировки. $\gamma ^{\alpha }$ $\alpha$ $\mu$ $\nu$

Так,

\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0

.

Доказательство 6

Для доказательства тождества 6 тот же трюк все еще работает, если не выполняется некоторая перестановка (0123), так что появляются все 4 гаммы. Правила антикоммутации подразумевают, что перестановка двух индексов меняет знак следа, поэтому он должен быть пропорционален . Константа пропорциональности равна , что можно проверить, подключив , записав и запомнив, что след идентичности равен 4. $\left(\mu \nu \rho \sigma \right)$ $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)$ $\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ $\left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}=-1\right)$ $4i$ $(\mu \nu \rho \sigma )=(0123)$ $\gamma ^{5}$

Доказательство 7

Обозначим произведение гамма-матриц через Рассмотрим эрмитово сопряжение : $n$ $\Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.$ $\Gamma$

$\Gamma ^{\dagger }$	$=\gamma ^{\mu n\dagger }\dots \gamma ^{\mu 2\dagger }\gamma ^{\mu 1\dagger }$
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	(поскольку сопряжение гамма-матрицы с дает ее эрмитово сопряжение, как описано ниже) $\gamma ^{0}$
	$=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$	( выпали все, кроме первого и последнего) $\gamma ^{0}$

Спрягая еще раз, чтобы избавиться от двух s, мы видим, что это обратное . Сейчас, $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}$ $\Gamma$

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)$	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\dagger }\right)$	(поскольку след инвариантен относительно преобразований подобия)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)$	(поскольку след инвариантен относительно транспонирования)
	$=\operatorname {tr} \left(\Gamma \right)$	(поскольку след произведения гамма-матриц реален)

Нормализация [ править ]

Гамма-матрицы могут быть выбраны с условиями экстраэрмитовости, которые, однако, ограничены указанными выше антикоммутационными соотношениями. Мы можем навязать

\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}

, совместим с

\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}

а для остальных гамма-матриц (для k = 1, 2, 3 )

\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}

, совместим с

\left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.

Сразу проверяется, справедливы ли эти отношения отшельничества для представления Дирака.

Указанные выше условия можно объединить в соотношении

\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.

Условия эрмитичности не инвариантны относительно действия преобразования Лоренца, поскольку не обязательно являются унитарным преобразованием из-за некомпактности группы Лоренца. $\gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}$ $\Lambda$ $S(\Lambda )$

Спряжение зарядов [ править ]

Оператор зарядового сопряжения в любом базисе может быть определен как

C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{T}

где обозначает транспонированную матрицу . Явная форма, которая принимает, зависит от конкретного представления, выбранного для гамма-матриц (его форма, выраженная как произведение гамма-матриц, не зависит от представления, но сами гамма-матрицы имеют разные формы в разном представлении). Это потому , что , хотя плата сопряжения представляет собой автоморфизм из гамма - группы , это не внутренний автоморфизм (группы). Сопрягающие матрицы могут быть найдены, но они зависят от представления. $(\cdot )^{T}$ $C$

Независимые от представления идентичности включают:

{\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{T}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{T}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{T}\\\end{aligned}}

Кроме того, для всех четырех представлений, приведенных ниже (Дирака, Майорана и обоих киральных вариантов), одно имеет

C^{-1}=C^{\dagger }=C^{T}=-C.

Обозначение Фейнмана слэш, используемое в квантовой теории поля [ править ]

Слэш обозначения Фейнмана определяется

{a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }

для любого 4-вектора $a$ .

Вот некоторые идентичности, аналогичные приведенным выше, но с использованием косой черты:

${a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }$
${a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\frac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }=a^{2}$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}$
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)$
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}$
где - символ Леви-Чивиты, а на самом деле следы продуктов нечетного числа равны нулю и, следовательно, $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ $\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right].$ $\gamma$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}\right)=\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\right)=\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}{e\!\!\!/}\right)=0$ ^[5]

Другие представления [ править ]

Матрицы также иногда записываются с использованием единичной матрицы 2 × 2 , и $I_{2}$

\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}

где k принимает значения от 1 до 3, а σ ^k - матрицы Паули .

Основание Дирака [ править ]

Гамма-матрицы, которые мы написали до сих пор, подходят для действия на спиноры Дирака, записанные в базисе Дирака ; фактически базис Дирака определяется этими матрицами. Подводя итог, в базисе Дирака:

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

В базисе Дирака оператор зарядового сопряжения имеет вид ^[6]

C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}.

Вейлевский (хиральный) базис [ править ]

Другой распространенный выбор - это базис Вейля или киральный базис , в котором он остается тем же, но другим, и поэтому тоже отличается, и диагональный, $\gamma ^{k}$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{5}$

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},

или в более компактной записи:

\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\bar {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\bar {\sigma }}^{\mu }\equiv (1,-\sigma ^{i}).

Преимущество базиса Вейля в том, что его киральные проекции имеют простую форму:

\psi _{\rm {L}}={\frac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\rm {R}}={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .

Идемпотентность киральных проекций очевидна. Немного злоупотребляя обозначениями и повторно используя символы, мы можем идентифицировать $\psi _{\rm {L/R}}$

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}},

где теперь и находятся левый и правый двухкомпонентные спиноры Вейля. $\psi _{\rm {L}}$ $\psi _{\rm {R}}$

Оператор зарядового сопряжения в этом базисе есть

C={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}

Базис Дирака может быть получен из базиса Вейля как

\gamma _{\rm {W}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\rm {W}}=U\psi _{\rm {D}}

через унитарное преобразование

U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.

Вейлевский (хиральный) базис (альтернативная форма) [ править ]

Другой возможный выбор ^[6]^[7] базиса Вейля имеет

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.

В хиральных проекции принимает несколько иной форму от другого выбора вейлевского

\psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\rm {L}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .

Другими словами,

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {R}}\\\psi _{\rm {L}}\end{pmatrix}},

где и - левый и правый двухкомпонентные спиноры Вейля, как и ранее. $\psi _{\rm {L}}$ $\psi _{\rm {R}}$

Оператор зарядового сопряжения в этом базисе есть

C=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}

Этот базис может быть получен из базиса Дирака выше, как с помощью унитарного преобразования $\gamma _{\rm {W}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\rm {W}}=U\psi _{\rm {D}}$

U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.

Основа Майораны [ править ]

Существует также базис Майорана , в котором все матрицы Дирака мнимые, а спиноры и уравнение Дирака действительны. Относительно матриц Паули базис можно записать в виде ^[6]

{\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}},&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}},&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}

где - матрица зарядового сопряжения, как определено выше. $C$

(Причина, по которой все гамма-матрицы являются мнимыми, состоит исключительно в том, чтобы получить метрику физики элементарных частиц (+, -, -, -) , в которой квадраты масс положительны. Представление Майорана, однако, является реальным. Можно разложить $i$ на получить другое представление с четырьмя компонентными вещественными спинорами и вещественными гамма-матрицами. Следствием удаления является то, что единственная возможная метрика с вещественными гамма-матрицами - это (-, +, +, +) .) $i$

Базис Майорана может быть получен из базиса Дирака выше, как с помощью унитарного преобразования $\gamma _{\rm {M}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\rm {M}}=U\psi _{\rm {D}}$

U=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}.

Cl _1,3 (C) и Cl _1,3 (R) [ редактировать ]

Алгебра Дирака можно рассматривать как усложнению вещественной алгебры Cl _1,3 ( R ), называется пространственно - временной алгебре :

\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C}

Cl _1,3 ( R ) отличается от Cl _1,3 ( C ): в Cl _1,3 ( R ) разрешены только реальные линейные комбинации гамма-матриц и их произведений.

Следует отметить две вещи. Поскольку алгебры Клиффорда , Cl _1,3 ( C ) и Cl ₄ ( C ) изоморфны, см. Классификацию алгебр Клиффорда . Причина в том, что основная сигнатура метрики пространства-времени теряет свою сигнатуру (1,3) при переходе к комплексификации. Однако преобразование, необходимое для приведения билинейной формы к комплексной канонической форме, не является преобразованием Лоренца и, следовательно, не является «допустимым» (по крайней мере, непрактичным), поскольку вся физика тесно связана с симметрией Лоренца, и желательно сохранить ее. манифест.

Сторонники геометрической алгебры стремятся работать с действительными алгебрами везде, где это возможно. Они утверждают, что обычно возможно (и обычно поучительно) идентифицировать присутствие воображаемой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре Клиффорда, квадратов к -1, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. Некоторые из этих сторонников также задаются вопросом, нужно ли или даже полезно ли вводить дополнительную мнимую единицу в контексте уравнения Дирака. ^[8]

В математике римановой геометрии принято определять алгебру Клиффорда Cl _{p, q} ( $ℝ$ ) для произвольных размерностей $p, q$ ; антикоммутация спиноров Вейля естественным образом возникает из алгебры Клиффорда. ^[9] Спиноры Вейля преобразуются под действием спиновой группы . Комплексификация спиновой группы, называемой Spinc группой , является продуктом спиновой группы с окружностью продукта просто Notational устройства , чтобы определить , с геометрической точкой этого является то , что она распутывает реальный спинор, который является ковариантным относительно преобразований Лоренца , от $\mathrm {Spin} (n)$ $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$ $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ $S^{1}\cong U(1).$ $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ $(-a,-u).$ $U(1)$ компонент, который можно отождествить с волокном электромагнитного взаимодействия. Это перепутывание четности и зарядового сопряжения способом, подходящим для установления связи между дираковскими частицами и античастицами (эквивалентно хиральным состояниям в базисе Вейля). Биспинор , постольку , поскольку он имеет линейно независимые левые и правые компоненты, могут взаимодействовать с электромагнитным полем. Это отличается от спинора Майораны и спинора ELKO, которые не могут ( т.е. они электрически нейтральны), поскольку они явно ограничивают спинор так, чтобы не взаимодействовать с частью, возникающей в результате комплексообразования. $\mathrm {U} (1)$ $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ $S^{1}$

Поскольку представление заряда и четности может быть запутанной темой в обычных учебниках квантовой теории поля, более тщательное рассмотрение этих тем в общей геометрической обстановке может прояснить ситуацию. Стандартные изложения алгебры Клиффорда строят спиноры Вейля из первых принципов; то, что они «автоматически» антикоммутируют, является элегантным геометрическим побочным продуктом конструкции, полностью игнорируя любые аргументы, апеллирующие к принципу исключения Паули (или иногда распространенное ощущение, что переменные Грассмана были введены посредством специальной аргументации).

Однако в современной практике физики алгебра Дирака, а не алгебра пространства-времени, продолжает оставаться стандартной средой, в которой «живут» спиноры уравнения Дирака.

Евклидовы матрицы Дирака [ править ]

В квантовой теории поля Вик может повернуть ось времени, чтобы перейти из пространства Минковского в евклидово пространство . Это особенно полезно в некоторых процедурах перенормировки , а также в решеточной калибровочной теории . В евклидовом пространстве обычно используются два представления матриц Дирака:

Хиральное представление [ править ]

\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}

Обратите внимание, что множители были вставлены в пространственные гамма-матрицы, так что евклидова алгебра Клиффорда $i$

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}

появится. Также стоит отметить, что существуют варианты этого, которые вставляются вместо одной из матриц, например, в решеточных кодах КХД, которые используют киральный базис. $-i$

В евклидовом пространстве

\gamma _{\rm {M}}^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\rm {M}}={\frac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\rm {E}}=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\rm {E}}=\gamma _{\rm {E}}^{5}.

Используя антикоммутатор и отмечая, что в евклидовом пространстве , можно показать, что $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }$

\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}

В киральном базисе в евклидовом пространстве

\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}

который не изменился по сравнению с версией Минковского.

Нерелятивистское представление [ править ]

\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}

См. Также [ править ]

Матрицы Паули
Матрицы Гелл-Манна
Гамма-матрицы более высокой размерности
Фирц идентичность

Ссылки [ править ]

^ Юрген Йост (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)» Springer Universitext (см. Следствие 1.8.1, стр. 68)
^ Набор матриц $(Γ A) = (γ μ, iγ 5)$ с $A = (0, 1, 2, 3, 4)$ удовлетворяет пятимерной алгебре Клиффорда ${Γ A, Γ B} = 2 η AB$ . См. Тонг 2007 , стр. 93.
^ Вайнберг 2002 Раздел 5.5.
^ de Wit & Smith 1996 , стр. 679.
^ Лекция банкнота из Техасского университета в Остине
^ a b c Клод Ициксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», MacGraw-Hill (см. приложение A)
^ Мичио Каку , квантовая теория поля , ISBN 0-19-509158-2 , приложение A
^ См., Например, Hestenes 1996 .
^ Юрген Йост (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)", Springer Universitext. См. Раздел 1.8

Хальзен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-88741-2.
А. Зи, Квантовая теория поля в двух словах (2003), Издательство Принстонского университета: Принстон, Нью-Джерси. ISBN 0-691-01019-6 . См. Главу II.1 .
М. Пескин, Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2 См. Главу 3.2 .
В. Паули (1936). "Вклад в математику теории матриц Дирака" . Annales de l'Institut Анри Пуанкаре . 6 : 109.
Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , 1 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
Тонг, Дэвид (2007). «Квантовая теория поля» . Дэвид Тонг из Кембриджского университета . п. 93 . Проверено 7 марта 2015 .
de Wit, B .; Смит, Дж. (1986). Теория поля в физике элементарных частиц . Личная библиотека Северной Голландии. 1 . Северная Голландия. ISBN 978-0444869999.Приложение E
Дэвид Хестенес , Настоящая теория Дирака , в J. Keller и Z. Oziewicz (ред.), Theory of the Electron , UNAM, Facultad de Estudios Superiores, Куаутитлан, Мексика (1996), стр. 1–50.

Внешние ссылки [ править ]

Матрицы Дирака в mathworld, включая их групповые свойства
Матрицы Дирака как абстрактная группа на GroupNames
"Матрицы Дирака" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Юрген Йост (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)» Springer Universitext (см. Следствие 1.8.1, стр. 68)

[2] Набор матриц $(Γ A) = (γ μ, iγ 5)$ с $A = (0, 1, 2, 3, 4)$ удовлетворяет пятимерной алгебре Клиффорда ${Γ A, Γ B} = 2 η AB$ . См. Тонг 2007 , стр. 93.

[3] Вайнберг 2002 Раздел 5.5.

[4] Wit & Smith 1996 , стр. 679.

[5] Лекция банкнота из Техасского университета в Остине

[iz-6] Клод Ициксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», MacGraw-Hill (см. приложение A)

[7] Мичио Каку , квантовая теория поля , ISBN 0-19-509158-2 , приложение A

[Hestenes1-8] См., Например, Hestenes 1996 .

[9] Юрген Йост (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)", Springer Universitext. См. Раздел 1.8

Гамма-матрицы

Математическая структура [ править ]

Физическая структура [ править ]

Выражение уравнения Дирака [ править ]

Пятая «гамма» матрица, γ 5 [ править ]

Пять измерений [ править ]

Личности [ править ]

Разные личности [ править ]

Идентификаторы трассировки [ править ]

Нормализация [ править ]

Спряжение зарядов [ править ]

Обозначение Фейнмана слэш, используемое в квантовой теории поля [ править ]

Другие представления [ править ]

Основание Дирака [ править ]

Вейлевский (хиральный) базис [ править ]

Вейлевский (хиральный) базис (альтернативная форма) [ править ]

Основа Майораны [ править ]

Cl 1,3 (C) и Cl 1,3 (R) [ редактировать ]

Евклидовы матрицы Дирака [ править ]

Хиральное представление [ править ]

Нерелятивистское представление [ править ]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Пятая «гамма» матрица, `γ` ⁵[ править ]

Cl _1,3 (C) и Cl _1,3 (R) [ редактировать ]