Спинор

Спинор визуализируется как вектор, указывающий вдоль ленты Мебиуса , демонстрирующий инверсию знака, когда круг («физическая система») непрерывно вращается на полный оборот на 360 °. ^[а]

В геометрии и физике спиноры / s p ɪ n ər / являются элементами комплексного векторного пространства, которое может быть связано с евклидовым пространством . ^[b] Подобно геометрическим векторам и более общим тензорам , спиноры трансформируются линейно, когда евклидово пространство подвергается небольшому ( бесконечно малому ) вращению. ^[c] Однако, когда последовательность таких небольших вращений составлена ​​( интегрированная), чтобы сформировать полное окончательное вращение, результирующее спинорное преобразование зависит от того, какая последовательность малых вращений была использована. В отличие от векторов и тензоров, спинор превращается в свой отрицательный, когда пространство непрерывно вращается на полный оборот от 0 ° до 360 ° (см. Рисунок). Это свойство характеризует спиноры: спиноры можно рассматривать как "квадратные корни" векторов (хотя это неточно и может вводить в заблуждение; их лучше рассматривать как "квадратные корни" сечений векторных расслоений - в случае расслоения внешней алгебры кокасательного расслоения они, таким образом, становятся «квадратными корнями» дифференциальных форм).

Кроме того , можно связать по существу аналогичное понятие спинора в пространство Минковского , в этом случае преобразование Лоренца из специальной теории относительности играть роль вращений. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. ^{[1] [d]} В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания собственного углового момента или «спина» электрона и других субатомных частиц. ^[e]

Для спиноров характерно особое поведение при вращении. Они меняются по-разному, в зависимости не только от общего окончательного поворота, но и от деталей того, как это вращение было достигнуто (непрерывным путем в группе вращения ). Есть два топологически различимых класса ( гомотопические классы ) путей через вращения, которые приводят к одному и тому же общему вращению, как показано на головоломке с поясом . Эти два неэквивалентных класса дают спинорные преобразования противоположного знака. Группа вращений - это группа всех вращений, отслеживающих класс. ^[f]Он вдвойне покрывает группу вращений, поскольку каждое вращение может быть получено двумя неэквивалентными способами в качестве конечной точки пути. Пространство спиноров по определению оснащено (комплексным) линейным представлением спиновой группы, что означает, что элементы спинорной группы действуют как линейные преобразования в пространстве спиноров таким образом, который действительно зависит от гомотопического класса. ^[g] С математической точки зрения спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращений SO (3).

Хотя спиноры можно определить исключительно как элементы пространства представления спиновой группы (или ее алгебры Ли бесконечно малых вращений), они обычно определяются как элементы векторного пространства, несущего линейное представление алгебры Клиффорда . Алгебра Клиффорда - это ассоциативная алгебра, которая может быть построена из евклидова пространства и его внутреннего продукта независимо от базиса. И спиновая группа, и ее алгебра Ли естественным образом вкладываются в алгебру Клиффорда, и в приложениях с алгеброй Клиффорда часто проще всего работать. ^[h] Пространство Клиффорда действует на спинорном пространстве, а элементами спинорного пространства являются спиноры. ^[3]После выбора ортонормированного базиса евклидова пространства представление алгебры Клиффорда генерируется гамма-матрицами , матрицами, которые удовлетворяют набору канонических антикоммутационных соотношений. Спиноры - это векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы. В трех евклидовом измерении, например, спиновые матрицы Паули представляют собой набор гамма-матриц ^[i], а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда, а следовательно, и то, что именно составляет «вектор-столбец» (или спинор), в значительной степени включает выбор базисной и гамма-матриц. Как представление спиновой группы, эта реализация спиноров как (комплексная^[j] ) векторы-столбцы будут либо неприводимыми, если размерность нечетная, либо распадутся на пару так называемых «полуспиновых» или представлений Вейля, если размерность четная. ^[k]

Введение [ править ]

То, что характеризует спиноры и отличает их от геометрических векторов и других тензоров, очень тонко. Рассмотрите возможность вращения координат системы. Ни один объект в самой системе не переместился, только координаты, поэтому всегда будет компенсирующее изменение этих значений координат при применении к любому объекту системы. Например, геометрические векторы имеют компоненты, которые будут вращаться так же, как и координаты. В более широком смысле, любой тензор, связанный с системой (например, напряжение некоторой среды), также имеет описания координат, которые корректируются для компенсации изменений самой системы координат.

Спиноры не появляются на этом уровне описания физической системы, когда речь идет только о свойствах одного изолированного вращения координат. Скорее, спиноры появляются, когда мы представляем, что вместо одного вращения система координат постепенно ( непрерывно ) вращается между некоторой начальной и конечной конфигурациями. Для любой из знакомых и интуитивно понятных («тензорных») величин, связанных с системой, закон преобразования не зависит от точных деталей того, как координаты пришли к своей окончательной конфигурации. С другой стороны, спиноры устроены таким образом, что делают их чувствительными.о том, как туда пришло постепенное вращение координат: они демонстрируют зависимость от пути. Оказывается, что для любой окончательной конфигурации координат на самом деле есть два (« топологически ») неэквивалентных постепенных (непрерывных) поворота системы координат, которые приводят к такой же конфигурации. Эта неоднозначность называется гомотопическим классом постепенного вращения. Ремень трик - головоломка (показан) демонстрирует два различных поворотов, один на угол 2 П , а другой на угол 4 П, имеющих одинаковые окончательные конфигурации, но разные классы. Спиноры на самом деле демонстрируют смену знака, которая действительно зависит от этого гомотопического класса. Это отличает их от векторов и других тензоров, ни один из которых не может почувствовать класс.

Спиноры могут быть представлены как конкретные объекты с использованием выбора декартовых координат . В трех евклидовом измерении, например, спиноры могут быть сконструированы путем выбора матриц спинов Паули, соответствующих ( угловым моментам ) трем координатным осям. Это матрицы 2 × 2 с комплексными элементами, а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы, на которые эти матрицы действуют посредством умножения матриц, являются спинорами. В этом случае спиновая группа изоморфна группе унитарных матриц 2 × 2 с определителемодин, который, естественно, находится внутри матричной алгебры. Эта группа действует путем сопряжения в вещественном векторном пространстве, натянутом на сами матрицы Паули, ^[m] реализуя его как группу вращений между ними, ^[n], но также действует на векторы-столбцы (то есть спиноры).

В более общем смысле, алгебра Клиффорда может быть построена из любого векторного пространства V, снабженного (невырожденной) квадратичной формой , например евклидова пространства с его стандартным точечным произведением или пространства Минковского со стандартной метрикой Лоренца. Пространство спинорами это пространство векторов - столбцов с компонентами. Ортогональная алгебра Ли (т.е. бесконечно малые «вращения») и спиновая группа, связанная с квадратичной формой, обе (канонически) содержатся в алгебре Клиффорда, поэтому каждое представление алгебры Клиффорда также определяет представление алгебры Ли и спиновой группы . ^[o] В зависимости от параметра и подписи показателя${\ Displaystyle 2 ^ {\ lfloor \ dim V / 2 \ rfloor}}$эта реализация спиноров в виде векторов-столбцов может быть неприводимой или может распадаться на пару так называемых «полуспиновых» или представлений Вейля. ^[p] Когда векторное пространство V четырехмерно, алгебра описывается гамма-матрицами .

Математическое определение [ править ]

Пространство спинорами формально определяется как фундаментальное представление о алгебры Клиффорда . (Это может быть или не разлагается на неприводимые.) Пространство спиноров также может быть определенно как спина представление в ортогональной алгебре Ли . Эти спиновые представления также характеризуются как конечномерные проективные представления специальной ортогональной группы, которые не факторизуются через линейные представления. Эквивалентно, спинорный является элементом конечномерного представления группы по спиновой группе , на которой центр действует нетривиально.

Обзор [ править ]

По сути, существует две основы для рассмотрения понятия спинора.

Из представления теоретической точки зрения, один знает заранее , что есть некоторые представления алгебры Ли в ортогональных группы , которые не могут быть сформированы с помощью обычных тензорных конструкций. Эти недостающие представления затем обозначаются как спиновые представления , а составляющие их спиноры . С этой точки зрения, спинор должен принадлежать к представлению о двойной крышке из группы вращений SO ( п ,  ℝ ) , или в более общем случае двойного чехла обобщенной специальной ортогональной группы SO ⁺ ( р,  Д ,  ℝ ) на пространствах с метрикой сигнатуры из ( р ,  д ) . Эти двойные покрытия представляют собой группы Ли , называемые спиновыми группами Spin ( n ) или Spin ( p ,  q ) . Все свойства спиноров, их приложений и производных объектов сначала проявляются в спиновой группе. Представления двойных накрытий этих групп дают двузначные проективные представлениясамих групп. (Это означает, что действие определенного поворота на векторы в квантовом гильбертовом пространстве определено только с точностью до знака.)

С геометрической точки зрения можно явно сконструировать спиноры, а затем изучить, как они ведут себя под действием соответствующих групп Ли. Этот последний подход имеет то преимущество, что дает конкретное и элементарное описание того, что такое спинор. Однако такое описание становится громоздким, когда требуются сложные свойства спиноров, такие как тождества Фирца .

Алгебры Клиффорда [ править ]

Язык алгебр Клиффорда ^[4] (иногда называемых геометрическими алгебрами ) дает полную картину спиновых представлений всех спиновых групп и различных отношений между этими представлениями посредством классификации алгебр Клиффорда . Это в значительной степени устраняет необходимость в специальных конструкциях.

Более подробно, пусть V - конечномерное комплексное векторное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой g . Алгебра Клиффорда Cℓ ( V ,  g ) - это алгебра, порожденная V вместе с антикоммутационным соотношением xy + yx = 2 g ( x ,  y ) . Это абстрактная версия алгебры, порожденной гамма- матрицей или матрицей Паули . Если V = ℂ ⁿ , в стандартной форме g ( x ,  y) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _n обозначим алгебру Клиффорда через Cℓ _n ( ℂ ). Поскольку по выбору ортонормированного базиса каждое комплексное векторное пространство с невырожденной формой изоморфно этому стандартному примеру, этим обозначением злоупотребляют в более общем случае, если dim _ℂ ( V ) = n . Если n = 2 k четно, Cℓ _n ( ℂ ) изоморфна как алгебра( неоднозначным образом) алгебре Mat (2 ^k ,  ℂ) От 2 ^к  × 2 ^к комплексных матриц ( в силу теоремы Артина- Веддербарна и легкий , чтобы доказать , что алгебра Клиффорда является центральной простой ). Если n = 2 k  + 1 нечетно, Cℓ _{2 k +1} ( ℂ ) изоморфна алгебре Mat (2 ^k ,  ℂ ) ⊕ Mat (2 ^k ,  ℂ ) двух копий комплексных матриц 2 ^k  × 2 ^k . Следовательно, в любом случае Cℓ ( V ,  g ) имеет единственное (с точностью до изоморфизма) неприводимое представление (также называемое простым модулем Клиффорда ), обычно обозначаемое Δ, размерности 2 ^{[ n / 2]} . Поскольку алгебра Ли so ( V ,  g ) вложена как подалгебра Ли в Cℓ ( V ,  g ), снабженная коммутатором алгебры Клиффорда в виде скобки Ли, пространство ∆ также является представлением алгебры Ли so ( V ,  g ), называемым представление вращения . Если пнечетно, это представление алгебры Ли неприводимо. Если n четно, оно распадается на два неприводимых представления Δ = Δ ₊  ⊕ Δ _- называемых представлениями Вейля или полеспиновыми представлениями .

Неприводимые представления над действительными числами в случае, когда V является вещественным векторным пространством, намного сложнее, и читатель отсылается к статье по алгебре Клиффорда для получения более подробной информации.

Группы вращений [ править ]

Спиноры образуют векторное пространство , обычно над комплексными числами , оснащенных линейной группы представления о спиновой группе , которая не пропускается через представление группы вращений (см схему). Группа спинов - это группа вращений, отслеживающая класс гомотопии. Спиноры необходимы для кодирования базовой информации о топологии группы вращений, потому что эта группа не односвязна , а односвязная спиновая группа является ее двойным покрытием . Таким образом, для каждого вращения есть два элемента спиновой группы, которые его представляют. Геометрические векторы и другие тензорыне могут почувствовать разницу между этими двумя элементами, но они производят противоположные знаки, когда влияют на любой спинор, находящийся в представлении. Если рассматривать элементы спиновой группы как гомотопические классы однопараметрических семейств поворотов, каждое вращение представляется двумя различными гомотопическими классами путей к единице. Если однопараметрическое семейство поворотов визуализируется в виде ленты в пространстве, причем параметр длины дуги этой ленты является параметром (ее касательная, нормальная, бинормальная рамка фактически дает вращение), то эти два различных гомотопических класса визуализируются в два состояния трюка с поясомголоволомка (вверху). Пространство спиноров - это вспомогательное векторное пространство, которое может быть явно построено в координатах, но в конечном итоге существует только с точностью до изоморфизма, поскольку не существует «естественного» их построения, которое не полагалось бы на произвольный выбор, такой как системы координат. Понятие спиноров может быть связано в качестве вспомогательного математического объекта с любым векторным пространством, снабженным квадратичной формой, таким как евклидово пространство с его стандартным скалярным произведением или пространство Минковского с его метрикой Лоренца . В последнем случае «вращения» включают в себя повышения Лоренца , но в остальном теория по существу аналогична.

Спинорные поля в физике [ править ]

Приведенные выше конструкции в терминах алгебры Клиффорда или теории представлений можно рассматривать как определение спиноров как геометрических объектов в нульмерном пространстве-времени . Чтобы получить спиноры физики, такие как спинор Дирака , можно расширить конструкцию, чтобы получить спиновую структуру в 4-мерном пространстве-времени ( пространстве Минковского ). Фактически, мы начинаем с касательного многообразия пространства-времени, каждая точка которого представляет собой 4-мерное векторное пространство с SO (3,1) -симметрией, а затем строим спиновую группу в каждой точке. Окрестности точек наделены понятиями гладкости и дифференцируемости: стандартная конструкция представляет собой расслоение, слои которых являются аффинными пространствами, трансформирующимися относительно спиновой группы. После построения расслоения можно рассмотреть дифференциальные уравнения, такие как уравнение Дирака или уравнение Вейля на расслоении. Эти уравнения (Дирака или Вейля) имеют решения, которые являются плоскими волнами , имеющими симметрии, характерные для волокон, то есть имеющие симметрии спиноров, как получено из (нульмерной) теории алгебры Клиффорда / спинового представления, описанной выше. Такие плоские волновые решения (или другие решения) дифференциальных уравнений в таком случае можно правильно назвать фермионами.; фермионы обладают алгебраическими качествами спиноров. По общему соглашению, термины «фермион» и «спинор» часто используются в физике взаимозаменяемо, как синонимы друг друга.

Похоже, что все элементарные частицы в природе со спином 1/2 описываются уравнением Дирака, за возможным исключением нейтрино . Кажется, что нет никаких априорных причин, по которым это могло бы иметь место. Совершенно верным выбором для спиноров была бы некомплексифицированная версия Cℓ _2,2 ( ℝ ) , спинора Майораны . ^[5] Также, похоже, нет какого-либо особого запрета на то, чтобы спиноры Вейля появлялись в природе как элементарные частицы.

Спиноры Дирака, Вейля и Майорана взаимосвязаны, и их связь может быть выяснена на основе реальной геометрической алгебры. ^[6] Спиноры Дирака и Вейля являются комплексными представлениями, в то время как спиноры Майорана являются действительными представлениями.

Спинора Вейля недостаточно для описания массивных частиц, таких как электроны , поскольку решения с плоскими волнами Вейля обязательно движутся со скоростью света; для массивных частиц необходимо уравнение Дирака . Первоначальное построение Стандартной модели физики элементарных частиц начинается с электронов и нейтрино как безмассовых спиноров Вейля; механизм Хиггса дает электроны массу; классическое нейтрино оставалось безмассовым и, таким образом, являлось примером спинора Вейля. ^[q] Однако, из-за наблюдаемой осцилляции нейтрино , теперь считается, что они не спиноры Вейля, а, возможно, спиноры Майораны. ^[7] Неизвестно, существуют ли в природе элементарные спинорные частицы Вейля.

Ситуация в физике конденсированного состояния иная: можно построить двух- и трехмерное «пространство-время» в большом количестве различных физических материалов, от полупроводников до гораздо более экзотических материалов. В 2015 году международная группа ученых под руководством ученых Принстонского университета объявила, что они обнаружили квазичастицу, которая ведет себя как фермион Вейля. ^[8]

Спиноры в теории представлений [ править ]

Одним из основного математического применения конструкции спиноров, чтобы сделать возможное явное построение линейных представлений этих алгебр Ли этих специальных ортогональных групп , и , следовательно , спинорных представлений самих групп. На более глубоком уровне спиноры оказались в основе подходов к теореме Атьи – Зингера об индексе и обеспечивают конструкции, в частности, для дискретных серий представлений полупростых групп .

Спиновые представления специальных ортогональных алгебр Ли отличаются от тензорных представлений, задаваемых конструкцией Вейля по весам . В то время как веса тензорных представлений являются целочисленными линейными комбинациями корней алгебры Ли, веса спиновых представлений являются их полуцелыми линейными комбинациями. Подробные подробности можно найти в статье о спин-представительстве .

Попытки интуитивного понимания [ править ]

Простыми словами, спинор можно описать как «векторы пространства, преобразования которых определенным образом связаны с вращениями в физическом пространстве». ^[9] Говорят иначе:

Спиноры ... обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым количеством измерений, каждый спинор имеет компоненты где или . ^[2]${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {\ nu}}$${\ Displaystyle п = 2 \ ню +1}$${\ displaystyle 2 \ nu}$

Было сформулировано несколько способов иллюстрации повседневных аналогий в терминах трюка с пластинами , танглоидов и других примеров ориентационной запутанности .

Тем не менее, эта концепция обычно считается заведомо сложной для понимания, о чем свидетельствует заявление Майкла Атьи , которое пересказывает биограф Дирака Грэм Фармело:

Никто до конца не понимает спиноров. Их алгебра формально понятна, но их общее значение загадочно. В некотором смысле они описывают «квадратный корень» из геометрии, и точно так же, как для понимания квадратного корня из −1 потребовались века, то же самое можно сказать и о спинорах. ^[10]

История [ править ]

Наиболее общая математическая форма спиноров была открыта Эли Картаном в 1913 году. ^[11] Слово «спинор» было придумано Полом Эренфестом в его работе по квантовой физике . ^[12]

Спиноры впервые были применены к математической физике по Вольфгангу Паули в 1927 году, когда он представил свои спиновые матрицы . ^[13] В следующем году Поль Дирак открыл полностью релятивистскую теорию электронного спина , показав связь между спинорами и группой Лоренца . ^[14] К 1930-м годам Дирак, Пит Хайн и другие из Института Нильса Бора (тогда известного как Институт теоретической физики Копенгагенского университета) создали игрушки, такие как Танглоиды, для обучения и моделирования спиноров.

Спинорные пространства были представлены как левые идеалы матричной алгебры в 1930 г. Ж. Жюве ^[15] и Фрицем Заутером . ^{[16] [17]} Более конкретно, вместо представления спиноров в виде комплексных двумерных векторов-столбцов, как это сделал Паули, они представили их в виде комплексных матриц 2 × 2, в которых только элементы левого столбца не равны нулю. Таким образом спинорное пространство стало минимальным левым идеал в Mat (2,   ℂ ) . ^{[r] [19]}

В 1947 году Марсель Рис построил спинорные пространства как элементы минимального левого идеала алгебр Клиффорда . В 1966/1967 году Дэвид Хестенес ^{[20] [21]} заменил спинорные пространства четной подалгеброй Cℓ ⁰ _1,3 ( ℝ ) алгебры пространства-времени Cℓ _1,3 ( ℝ ). ^{[17] [19]} В 1980 - х годах, теоретическая физика группа в Биркбекском колледже вокруг Дэвида Бома и Василий Hiley разрабатывают алгебраические подходы к квантовой теории которые основываются на отождествлении Заутера и Рисса спиноров с минимальными левыми идеалами.

Примеры [ править ]

Некоторые простые примеры спиноров в малых размерностях возникают из рассмотрения четных подалгебр алгебры Клиффорда Cℓ _{p ,  q} ( ℝ ) . Это алгебра, построенная из ортонормированного базиса n = p  +  q взаимно ортогональных векторов при сложении и умножении, p из которых имеют норму +1, а q имеют норму -1, с правилом произведения для базисных векторов

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}}$

Два измерения [ править ]

Алгебра Клиффорда Cℓ _2,0 ( ℝ ) построена на основе одного единичного скаляра, 1, двух ортогональных единичных векторов, σ ₁ и σ ₂ , и одного единичного псевдоскаляра i = σ ₁ σ ₂ . Из приведенных выше определений очевидно, что ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 и ( σ ₁ σ ₂ ) ( σ ₁ σ ₂ ) = - σ ₁ σ ₁ σ₂ σ ₂ = −1 .

Четная подалгебра Cℓ ⁰ _2,0 ( ℝ ), натянутая на четные градуированные базисные элементы в Cℓ _2,0 ( ℝ ), определяет пространство спиноров через свои представления. Он состоит из вещественных линейных комбинаций 1 и σ ₁ σ ₂ . Как вещественная алгебра Cℓ ⁰ _2,0 ( ℝ ) изоморфна полю комплексных чисел  ℂ . В результате он допускает операцию сопряжения (аналогичную комплексному сопряжению ), иногда называемую обратной стороной элемента Клиффорда, определяемой

${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.}$

что, согласно соотношениям Клиффорда, можно записать

${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$

Действие четного элемента Клиффорда γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( ℝ ) на векторы, рассматриваемые как 1-градуированные элементы Cℓ _2,0 ( ℝ ), определяется отображением общего вектора u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ к вектору

${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$

где γ ^∗ - сопряжение γ , а произведение - умножение Клиффорда. В этой ситуации спинор ^[s] - обычное комплексное число. Действие γ на спинор φ задается обычным комплексным умножением:

${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$.

Важной особенностью этого определения является различие между обычными векторами и спинорами, которое проявляется в том, как четные элементы действуют на каждый из них по-разному. В общем, быстрая проверка соотношений Клиффорда показывает, что четные элементы сопряжены-коммутируют с обычными векторами:

${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$

С другой стороны, по сравнению с действием на спиноры γ ( φ ) =  γφ , γ на обычные векторы действует как квадрат своего действия на спиноры.

Рассмотрим, например, значение этого для вращения плоскости. Поворот вектора на угол θ соответствует к γ ² = ехр ( θ σ ₁ сг ₂ ) , таким образом , что соответствующее действие на спинорах осуществляется через γ = ± ехр ( θ σ ₁ сг ₂ /2) . В общем, из-за логарифмического ветвления невозможно выбрать знак согласованным образом. Таким образом, представление плоских вращений на спинорах двузначно.

В приложениях спиноров в двух измерениях обычно используется тот факт, что алгебра четных элементов (то есть просто кольцо комплексных чисел) идентична пространству спиноров. Итак, злоупотребление языком часто объединяет эти два понятия. Тогда можно говорить о «действии спинора на вектор». В общем случае такие утверждения бессмысленны. Но в измерениях 2 и 3 (применительно, например, к компьютерной графике ) они имеют смысл.

Примеры

• Четный элемент

${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}$

соответствует повороту вектора на 90 ° от σ ₁ по направлению к σ ₂ , что можно проверить, подтвердив, что

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}$

Однако это соответствует вращению спинора всего на 45 °:

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}$

• Аналогично, четный элемент γ  = - σ ₁ σ ₂ соответствует повороту вектора на 180 °:

${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}$

но вращение спинора всего на 90 °:

${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}}$

• Продолжая далее, четный элемент γ  = −1 соответствует вращению вектора на 360 °:

${\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}}$

но вращение спинора на 180 °.

Три измерения [ править ]

Алгебра Клиффорда Cℓ _3,0 ( ℝ ) построена из базиса из одного единичного скаляра, 1, трех ортогональных единичных векторов, σ 1 , σ 2 и σ 3 , трех единичных бивекторов σ ₁ σ ₂ , σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и псевдоскаляр i = σ ₁ σ ₂ σ ₃ . Несложно показать, что ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 и ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² = ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1 .

Подалгебра четных элементов состоит из скалярных растяжений,

${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$

и векторные вращения

${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$

куда

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}\gamma &=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-iv\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}\right\}}$ (1)

соответствует повороту вектора на угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором v = a ₁ σ ₁  +  a ₂ σ ₂  +  a ₃ σ ₃ .

В качестве частного случая легко увидеть, что если v = σ ₃ , это воспроизводит вращение σ ₁ σ _2, рассмотренное в предыдущем разделе; и что такое вращение оставляет коэффициенты векторов в направлении σ ₃ инвариантными, поскольку

${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$

Бивекторы σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и σ ₁ σ ₂ на самом деле являются кватернионами Гамильтона i , j и k , обнаруженными в 1843 году:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$

При идентификации четного градуированных элементов с алгеброй ℍ кватернионов, как и в случае двух измерений только представление алгебры четно-градуированных элементов на себя. ^[t] Таким образом, (реальные ^[u] ) спиноры в трех измерениях являются кватернионами, а действие четно-градуированного элемента на спинор задается обычным кватернионным умножением.

Обратите внимание, что выражение (1) для поворота вектора на угол θ , угол, фигурирующий в γ, был уменьшен вдвое . Таким образом, вращение спинора γ ( ψ ) =  γψ (обычное кватернионное умножение) будет вращать спинор ψ на угол, составляющий половину меры угла поворота соответствующего вектора. Еще раз, задача преобразования векторного вращения в спинорное вращение двузначна: выражение (1) с (180 ° +  θ / 2) вместо θ / 2 даст такое же вращение вектора, но отрицательное значение вращение спинора.

Спинор / кватернионное представление вращений в 3D становится все более распространенным в компьютерной геометрии и других приложениях из-за заметной краткости соответствующей спиновой матрицы и простоты, с которой их можно перемножить, чтобы вычислить комбинированный эффект последовательных вращений вокруг. разные оси.

Явные конструкции [ править ]

Пространство спиноров можно явно построить с помощью конкретных и абстрактных конструкций. Эквивалентность этих конструкций является следствием единственности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда. Чтобы получить полный пример в трехмерном измерении, см. Спиноры в трех измерениях .

Компонентные спиноры [ править ]

Для векторного пространства V и квадратичной формы g явное матричное представление алгебры Клиффорда Cℓ ( V ,  g ) можно определить следующим образом. Выберите ортонормированный базис e ¹ … e ⁿ для V, т.е. g ( e ^μ e ^ν ) = η ^μν, где η ^μμ = ± 1 и η ^μν = 0 для μ ≠ ν . Пусть k = ⌊ n / 2⌋. Зафиксируем набор из 2 ^k  × 2 ^k матриц γ ¹ … γ ⁿ таких, что γ ^μ γ ^ν + γ ^ν γ ^μ = 2 η ^μν 1 (т.е. зафиксируем соглашение для гамма-матриц ). Тогда сопоставление e ^μ → γ ^μ однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр Cℓ ( V ,  g ) → Mat (2 ^k ,   ℂ ) , посылая моном e ^{μ ₁}⋅⋅⋅ e ^{µ _k} в алгебре Клиффорда до произведения матриц γ ^{µ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{µ _k} и линейного продолжения. Пространство Δ =  ℂ ^{2 k,} на котором действуют гамма-матрицы, теперь является пространством спиноров. Однако необходимо явно строить такие матрицы. В размерности 3 определение гамма-матриц как сигма-матриц Паули дает начало знакомым двухкомпонентным спинорам, используемым в нерелятивистской квантовой механике . Точно так же использование гамма-матриц Дирака 4 × 4 дает 4-компонентные спиноры Дирака, используемые в 3 + 1-мерных релятивистских системах.квантовая теория поля . Вообще говоря, для определения гамма-матриц требуемого типа можно использовать матрицы Вейля – Брауэра .

В этой конструкции представление алгебры Клиффорда Cℓ ( V ,  g ) , алгебры Ли so ( V ,  g ) и группы Spin Spin ( V ,  g ) - все зависит от выбора ортонормированного базиса и выбора гамма-матрицы. Это может вызвать путаницу в соглашениях, но инварианты, такие как трассировки, не зависят от выбора. В частности, все физически наблюдаемые величины не должны зависеть от такого выбора. В этой конструкции спинор может быть представлен как вектор из 2 ^k комплексных чисел и обозначается спинорными индексами (обычно α , β ,  γ ). В физической литературе абстрактные спинорные индексы часто используются для обозначения спиноров, даже если используется абстрактная спинорная конструкция.

Абстрактные спиноры [ править ]

Есть по крайней мере два разных, но по существу эквивалентных способа абстрактного определения спиноров. Один из подходов направлен на определение минимальных идеалов для левого действия C of ( V ,  g ) на самом себе. Это подпространства алгебры Клиффорда вида Cℓ ( V ,  g ) ω , допускающие очевидное действие Cℓ ( V ,  g ) левым умножением: c  : xω → cxω . Есть два варианта этой темы: можно найти примитивный элемент ω, который является нильпотентным.элемент алгебры Клиффорда или идемпотент . Конструкция с помощью нильпотентных элементов более фундаментальна в том смысле, что затем из нее может быть получен идемпотент. ^[22] Таким образом спинорные представления отождествляются с некоторыми подпространствами самой алгебры Клиффорда. Второй подход состоит в том, чтобы построить векторное пространство с использованием выделенного подпространства в V , а затем указать действие алгебры Клиффорда вне этого векторного пространства.

В любом подходе фундаментальное понятие является то , что из изотропного подпространства W . Каждая конструкция зависит от начальной свободы выбора этого подпространства. С физической точки зрения, это соответствует тому , что не существует протокола измерений , которые можно указать базис спинового пространства, даже если предпочтительный базис V даются.

Как и выше, пусть ( V ,  g ) - n -мерное комплексное векторное пространство, снабженное невырожденной билинейной формой. Если V - вещественное векторное пространство, то заменим V его комплексификацией V  ⊗ _ℝ  ℂ и обозначим через g индуцированную билинейную форму на V  ⊗ _ℝ  ℂ . Пусть W - максимальное изотропное подпространство, т. Е. Максимальное подпространство в V такое, что g | _W = 0 . Если n = 2 kдаже, то пусть W ' изотропное подпространство , комплементарный W . Если n = 2, k + 1 нечетно, пусть W ′ - максимальное изотропное подпространство с W ∩  W ′ = 0 , и пусть U - ортогональное дополнение к W  ⊕  W ′ . Как в четном, так и в нечетном случае W и W ' имеют размерность k . В нечетномерном случае U одномерно, натянуто на единичный вектор u .

Минимальные идеалы [ править ]

Так как W ' является изотропным, умножение элементов W ' внутри Cℓ ( V ,  г ) является перекос . Следовательно, векторы в W ′ антикоммутируют, и Cℓ ( W ′ ,  g | _{W ′} ) = Cℓ ( W ′ , 0) - это просто внешняя алгебра Λ ^∗ W ′ . Следовательно, k- кратное произведение W ′ на себя, W ′ ^k , одномерно. Позволятьω - образующая W ′ ^k . В терминах базиса w ′ ₁ ,…, w ′ _k в W ′ одна возможность состоит в том, чтобы установить

${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$

Заметим, что ω ² = 0 (т. Е. Ω нильпотентна порядка 2) и, более того, w ′ ω = 0 для всех w ′ ∈ W ′ . Легко доказать следующие факты:

1. Если n = 2 k , то левый идеал ∆ = Cℓ ( V ,  g ) ω является минимальным левым идеалом. Кроме того, это расщепляется на два спиновых пространства Δ ₊ = Cℓ ^четный ω и Δ _- = Cℓ ^{нечетный} ω при ограничении на действие четной алгебры Клиффорда.
2. Если n = 2 k + 1 , то действие единичного вектора u на левый идеал Cℓ ( V ,  g ) ω разбивает пространство на пару изоморфных неприводимых собственных подпространств (оба обозначены ∆), соответствующих собственным значениям + 1 и −1.

Подробно предположим, например, что n четное. Предположим, что I - ненулевой левый идеал, содержащийся в Cℓ ( V ,  g ) ω . Мы покажем, что I должен быть равен Cℓ ( V ,  g ) ω , доказав, что он содержит ненулевое скалярное кратное ω .

Зафиксируем базис w _i в W и дополнительный базис w _i ′ в W ′ так, чтобы

w _i w _j ′ + w _j ′ w _i = δ _ij , и

( w _i ) ² знак равно 0, ( w _i ′) ² = 0.

Заметим, что любой элемент I должен иметь вид αω в силу нашего предположения, что I ⊂ Cℓ ( V ,  g )  ω . Пусть αω ∈ I - любой такой элемент. Используя выбранный базис, мы можем написать

${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$

где a _{i 1 … i p} - скаляры, а B _j - вспомогательные элементы алгебры Клиффорда. Обратите внимание, что продукт

${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$

Выберем любой ненулевой моном a в разложении α с максимальной однородной степенью по элементам w _i :

${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$ (без суммирования),

тогда

${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$

является ненулевым скалярным кратным ω , что и требовалось.

Обратите внимание, что для четного n это вычисление также показывает, что

${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$.

как векторное пространство. В последнем равенстве мы снова использовали, что W изотропна. С точки зрения физики, это показывает, что Δ создается как пространство Фока путем создания спиноров с использованием антикоммутирующих операторов создания в W, действующих на вакуум ω .

Построение внешней алгебры [ править ]

Расчеты с минимальной идеальной конструкцией позволяет предположить , что представление спинорного также может быть определены непосредственно с помощью внешней алгебры Л ^* Ш = ⊕ _J Λ ^J W изотропного подпространства W . Пусть Δ = Λ ^∗ W обозначает внешнюю алгебру W, рассматриваемую только как векторное пространство. Это будет спиновое представление, и его элементы будем называть спинорами. ^{[23] [24]}

Действие алгебры Клиффорда на Δ определяется сначала путем задания действия элемента из V на Δ, а затем показа, что это действие уважает отношение Клиффорда и, таким образом, продолжается до гомоморфизма полной алгебры Клиффорда в кольцо эндоморфизмов End ( Δ) универсальным свойством алгебр Клиффорда . Детали немного отличаются в зависимости от того, четное или нечетное измерение V.

Когда dim ( V ) четно, V = W ⊕ W ′, где W ′ - выбранное изотропное дополнение. Следовательно, любой v ∈ V однозначно разлагается как v = w + w ′ с w ∈ W и w ′ ∈ W ′ . Действие v на спинор определяется выражением

${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$

где i ( w ′ ) - внутреннее произведение с w ′, использующее невырожденную квадратичную форму для отождествления V с V ^∗ , а ε ( w ) обозначает внешнее произведение . Это действие иногда называют продуктом Клиффорда . Можно проверить, что

${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$

и поэтому c соблюдает отношения Клиффорда и продолжается до гомоморфизма из алгебры Клиффорда в End (Δ).

Спиновое представление Δ далее распадается на пару неприводимых комплексных представлений группы Спина ^[25] (представления полеспина, или спиноры Вейля) через

${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W}$.

При тусклый ( V ) нечетно, V = W ⊕ U ⊕ W ' , где U натянуто на единичный вектор у ортогонален к W . Действие Клиффорда c определяется, как и раньше, на W ⊕ W ′ , в то время как действие Клиффорда (кратного) u определяется формулой

${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$

Как и раньше, проверяется, что c соблюдает отношения Клиффорда, и тем самым индуцируется гомоморфизм.

Эрмитовы векторные пространства и спиноры [ править ]

Если векторное пространство V имеет дополнительную структуру, которая обеспечивает разложение его комплексификации на два максимальных изотропных подпространства, то определение спиноров (любым методом) становится естественным.

Основным примером является случай, когда действительное векторное пространство V является эрмитово векторное пространство ( V ,  ч ) , т.е. V оснащен сложной структурой J , который представляет собой ортогональное преобразование по отношению к внутреннему продукта г на V . Тогда V  ⊗ _ℝ ℂ расщепляется в ± я подпространств J . Эти собственные подпространства изотропны для комплексификации g и могут быть отождествлены с комплексным векторным пространством ( V ,  J) и его комплексно сопряженное ( V , - J ) . Следовательно, для эрмитова векторного пространства ( V ,  h ) векторное пространство Λ^⋅
_ℂV (а также его комплексно сопряженное Λ^⋅
_ℂV ) является спинорным пространством для лежащего в основе реального евклидова векторного пространства.

С действием Клиффорд , как указаны выше , но с сокращением с использованием эрмитовски формами, эта конструкция дает спинорное пространство в каждой точке с почти эрмитово многообразием и является причиной , почему каждый почти комплексное многообразие (в частности каждого симплектического многообразия ) имеет спин гр структуру . Точно так же каждое комплексное векторное расслоение на многообразии несет структуру Spin ^c . ^[26]

Разложение Клебша – Гордана [ править ]

Возможен ряд разложений Клебша – Гордана на тензорном произведении одного спинового представления на другое. ^[27] Эти разложения выражают тензорное произведение в терминах альтернативных представлений ортогональной группы.

Для реального или сложного случая альтернативные представления

• Γ _r = Λ ^r V , представление ортогональной группы на косых тензорах ранга r .

Кроме того, для вещественных ортогональных групп есть три символа (одномерные представления)

• σ ₊  : О ( р ,  д ) → {-1, + 1} задается σ ₊ (R) = -1 , если R изменяет пространственную ориентацию V , +1, если R сохраняет пространственную ориентацию V . ( Пространственный характер .)
• σ _-  : О ( р ,  д ) → {-1, + 1} задается σ _- (R) = -1 , если R изменяет временную ориентацию V , +1, если R сохраняет временную ориентацию V . ( Временной персонаж .)
• σ = σ ₊ σ _-  . ( Ориентационный персонаж .)

Разложение Клебша – Гордана позволяет, среди прочего, определить:

• Действие спиноров на векторы.
• Эрмитова метрика на комплексных представлений реальных спиновых групп.
• Оператор Дирака на каждом представлении спина.

Четные размеры [ править ]

Если n  = 2 k четно, то тензорное произведение Δ с контрагредиентным представлением распадается как

${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$

что можно увидеть явно, рассматривая (в явной конструкции) действие алгебры Клиффорда на разложимых элементах αω  ⊗  βω ′ . Самая правая формулировка следует из свойств преобразования звездного оператора Ходжа . Заметим, что при ограничении на четную алгебру Клиффорда парные слагаемые Γ _p ⊕ σ Γ _p изоморфны, но под полной алгеброй Клиффорда - нет.

Существует естественное отождествление Δ с его контрагредиентным представлением через сопряжение в алгебре Клиффорда:

${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$

Таким образом, Δ ⊗ Δ также разлагается указанным выше образом. Кроме того, в четной алгебре Клиффорда представления полспина разлагаются

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$

Для комплексных представлений вещественных алгебр Клиффорда структура ассоциированной реальности на комплексной алгебре Клиффорда спускается в пространство спиноров (например, посредством явной конструкции в терминах минимальных идеалов). Таким образом, мы получаем комплексно сопряженное Δ представления Δ, и, как видно, выполняется следующий изоморфизм:

${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$

В частности, обратите внимание, что представление Δ ортохронной спиновой группы является унитарным представлением . В общем случае существуют разложения Клебша – Гордана

${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$

В метрической сигнатуре ( p ,  q ) для сопряженных полуспиновых представлений выполняются следующие изоморфизмы

• Если q четно, то и${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• Если q нечетное, то и${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

Используя эти изоморфизмы, можно вывести аналогичные разложения для тензорных произведений полуспиновых представлений Δ _± ⊗ Δ _± .

Нечетные размеры [ править ]

Если n  = 2 k + 1 нечетно, то

${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$

В реальном случае снова имеет место изоморфизм

${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$

Следовательно, существует разложение Клебша – Гордана (снова с использованием звезды Ходжа для дуализации), задаваемое формулой

${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$

Последствия [ править ]

Есть много далеко идущих последствий разложения Клебша – Гордана спинорных пространств. Наиболее фундаментальные из них относятся к теории электрона Дирака, среди основных требований которой:

• Способ рассмотрения произведения двух спиноров ϕ ψ как скаляра. В натуральном выражении спинор следует определить амплитуду вероятности для квантового состояния .
• Способ рассмотрения произведения ψ ϕ как вектора. Это существенная особенность теории Дирака, которая связывает спинорный формализм с геометрией физического пространства.
• Способ рассмотрения спинора как действующего на вектор с помощью такого выражения, как ψv ψ . С физической точки зрения это представляет собой электрический ток электромагнитной теории Максвелла или, в более общем смысле, ток вероятности .

Резюме в малых размерах [ править ]

• В одномерном измерении (тривиальный пример) единственное спинорное представление формально является Майораном, реальным одномерным представлением, которое не преобразуется.
• В двух евклидовых измерениях левый и правый спиноры Вейля являются однокомпонентными комплексными представлениями , то есть комплексными числами, которые умножаются на e ^{± iφ / 2} при повороте на угол φ .
• В 3-х евклидовом измерении единичное спинорное представление является 2-мерным и кватернионным . Существование спиноров в трехмерном пространстве следует из изоморфизма групп SU (2) ≅ Spin (3), который позволяет нам определить действие Spin (3) на сложном 2-компонентном столбце (спиноре); образующие SU (2) можно записать в виде матриц Паули .
• В 4-х евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм равен Spin (4) ≅ SU (2) × SU (2) . Существует два неэквивалентных кватернионных 2-компонентных спинора Вейля, каждый из которых преобразуется только под действием одного из факторов SU (2).
• В 5 евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм - Spin (5) ≅ USp (4) ≅ Sp (2), что означает, что единичное спинорное представление является 4-мерным и кватернионным.
• В 6 евклидовых измерениях изоморфизм Spin (6) ≅ SU (4) гарантирует, что существуют два 4-мерных комплексных представления Вейля, которые являются комплексно сопряженными друг с другом.
• В 7 евклидовых измерениях единственное спинорное представление 8-мерно и реально; изоморфизмов алгебры Ли из другой серии (A или C) не существует, начиная с этой размерности.
• В 8-ми евклидовом измерении есть два вещественных 8-мерных представления Вейля – Майорана, которые связаны с 8-мерным вещественным векторным представлением специальным свойством Spin (8), называемым тройственностью .
• В d  + 8 измерениях количество различных неприводимых спинорных репрезентаций и их реальность (реальные, псевдореальные или сложные) имитируют структуру в d измерениях, но их размеры в 16 раз больше; это позволяет разобраться во всех остальных случаях. См. Периодичность Ботта .
• В пространстве-времени с p пространственными и q временными направлениями, измерения, рассматриваемые как измерения над комплексными числами, совпадают со случаем ( p  +  q ) -мерного евклидова пространства, но проекции реальности имитируют структуру в | p  -  q | Евклидовы измерения. Например, в 3 + 1 измерениях есть два неэквивалентных комплекса Вейля (как в 2 измерениях) 2-компонентных (как в 4 измерениях) спинора, что следует из изоморфизма SL (2,   ℂ ) ≅ Spin (3,1 ) .

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Американский журнал математики . Издательство Университета Джона Хопкинса. 57 (2): 425–449. DOI : 10.2307 / 2371218 . JSTOR  2371218 .
• Картан, Эли (1913). "Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane" (PDF) . Бык. Soc. Математика. Пт . 41 : 53–96. DOI : 10,24033 / bsmf.916 .
• Картан, Эли (1981) [1966]. Теория спиноров (переиздание ред.). Париж, Франция: Герман (1966); Dover Publications (1981). ISBN 978-0-486-64070-9.
• Шевалле, Клод (1996) [1954]. Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда (переиздание). Издательство Колумбийского университета (1954); Спрингер (1996). ISBN 978-3-540-57063-9.
• Дирак, Поль М. (1928). «Квантовая теория электрона» . Труды Королевского общества Лондона . 117 (778): 610–624. Bibcode : 1928RSPSA.117..610D . DOI : 10.1098 / rspa.1928.0023 . JSTOR  94981 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 0-387-97495-4. Руководство по ремонту  1153249 .
• Гилки, Питер Б. (1984). Теория инвариантности: уравнение теплопроводности и теорема Атьи – Зингера об индексе . Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-20-9.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-329650-4.
• Хитчин, Найджел Дж. (1974). «Гармонические спиноры». Успехи в математике . 14 : 1–55. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (74) 90021-8 . Руководство по ремонту  0358873 .
• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08542-0.
• Паули, Вольфганг (1927). "Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik . 43 (9–10): 601–632. Bibcode : 1927ZPhy ... 43..601P . DOI : 10.1007 / BF01397326 . S2CID  128228729 .
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, В. (1988). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени . Спиноры и пространство-время. 2 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-34786-6.
• Томонага, Син-Итиро (1998). «Лекция 7: Величина, которая не является ни векторной, ни тензорной». История спина . Издательство Чикагского университета. п. 129. ISBN 0-226-80794-0.