Интеграл продукта

Интеграле продукта является любым продуктом , основанное аналог обычной суммы основанным интеграла от исчисления . Первый интеграл произведения ( тип I ниже) был разработан математиком Вито Вольтерра в 1887 году для решения систем линейных дифференциальных уравнений . ^[1]^[2] Другими примерами интегралов-произведений являются геометрический интеграл ( тип II ниже), бигеометрический интеграл ( тип III ниже) и некоторые другие интегралы неньютоновского исчисления. ^[3]^[4]^[5]

Интегралы-произведения нашли применение в областях от эпидемиологии ( оценка Каплана – Мейера ) до стохастической популяционной динамики с использованием интегралов умножения (мультигралы), анализа и квантовой механики . Геометрический интеграл , вместе с геометрической производной , является полезным в анализе изображений ^[6]^[7]^[8]^[9] и в исследовании роста / спад явление (например, в экономическом росте , рост бактерий , а также радиоактивный распад ) . ^[10]^[11]^[12]^[13]Бигеометрический интеграл вместе с бигеометрической производной полезен в некоторых приложениях фракталов , ^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^{[22] »} и в теории упругости по экономике. ^[3]^[23]^[5]^[24]^[25]

В этой статье для интеграции продуктов используется обозначение «продукт» вместо «интегрального» (обычно модифицированного наложенным символом «умножения» или буквой P), которое предпочитали Вольтерра и другие. Также принята произвольная классификация типов, чтобы навести некоторый порядок в поле. $\prod$ $\int$

Основные определения [ править ]

Классический интеграл Римана из функции может быть определен соотношением $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum f(x_{i})\,\Delta x,

где предел берется по всем разделам в интервале которого нормы стремятся к нулю. $[a,b]$

Грубо говоря, интегралы продукта похожи, но взять предел в виде продукта вместо предела в виде суммы . Их можно рассматривать как « непрерывные » версии « дискретных » продуктов .

Наиболее популярными интегралами продукта являются следующие:

Тип I: интеграл Вольтерра [ править ]

\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {\big (}1+f(x_{i})\,\Delta x{\big )}.

Интеграл продукта типа I соответствует первоначальному определению Вольтерры . ^[2]^[26]^[27] Для скалярных функций существует следующая связь : $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),

который не является мультипликативным оператором . (Таким образом, понятия интегрального продукта и мультипликативного интеграла не совпадают).

Интеграл произведения Вольтерра наиболее полезен при применении к матричнозначным функциям или функциям со значениями в банаховой алгебре , где последнее равенство больше не выполняется (см. Ссылки ниже).

Применительно к скалярам, принадлежащим некоммутативному полю, матрицам и операторам, т. Е. К математическим объектам, которые не коммутируют, интеграл Вольтерра распадается на два определения ^[28]

Интеграл левого произведения

P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})...(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})

С обозначением левых продуктов (т.е. нормальные продукты, нанесенные слева)

\prod _{a}^{b}(\mathbb {1} +A(t)dt)=\lim _{max\Delta t_{i}\to 0}P(A,D)

Правильная интеграция продукта

P(A,D)^{*}=\prod _{i=1}^{m}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})...(\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})

С обозначением правильных продуктов (т.е. нанесенных справа)

(\mathbb {1} +A(t)dt)\prod _{a}^{b}=\lim _{max\Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}

Где - единичная матрица, а D - разбиение интервала [a, b] в смысле Римана, т. Е. Предел лежит на максимальном интервале в разбиении. Обратите внимание, как в этом случае упорядочение по времени становится очевидным в определениях. $\mathbb {1}$

Для скалярных функций производная в системе Вольтерра является логарифмической производной , и поэтому система Вольтерра не является мультипликативным исчислением и не является неньютоновским исчислением. ^[2]

Тип II: геометрический интеграл [ править ]

\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right),

который называется геометрическим интегралом и является мультипликативным оператором .

Это определение интеграла произведения является непрерывным аналогом оператора дискретного произведения

\prod _{i=a}^{b}

(с ) и мультипликативный аналог (нормального / стандартного / аддитивного ) интеграла $i,a,b\in \mathbb {Z}$

\int _{a}^{b}dx

(с ): $x\in [a,b]$

	добавка	мультипликативный
дискретный	$\sum _{i=a}^{b}f(i)$	$\prod _{i=a}^{b}f(i)$
непрерывный	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$	$\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}$

Это очень полезно в стохастики , где логарифмическая функция правдоподобия (т.е. логарифм интегрального продукта независимых случайных величин ) равен интеграл от логарифма этих ( бесконечно много) случайных величин :

\ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.

Тип III: бигеометрический интеграл [ править ]

\prod _{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\exp \left(\int _{r}^{s}\ln f(e^{x})\,dx\right),

где r = ln  a , а s = ln  b .

Интеграл-произведение типа III называется бигеометрическим интегралом и является мультипликативным оператором .

Результаты [ править ]

Основные результаты

Следующие результаты относятся к продуктовому интегралу типа II (геометрическому интегралу) . Другие типы дают другие результаты.

\prod _{a}^{b}c^{dx}=c^{b-a},

\prod _{a}^{b}x^{dx}={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{a-b},

\prod _{0}^{b}x^{dx}=b^{b}{\rm {e}}^{-b},

\prod _{a}^{b}\left(f(x)^{k}\right)^{dx}=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},

\prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^{\int _{a}^{b}f(x)\,dx},

Геометрический интеграл (типа II выше) играет центральную роль в геометрическом исчислении , ^[3]^[29]^[30] , которая является мультипликативным исчислением.

Основная теорема

\prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},

где - геометрическая производная. $f^{*}(x)$

Правило продукта

(fg)^{*}=f^{*}g^{*}.

Правило частного

(f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.

Закон больших чисел

{\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x}X^{dF(x)},

где X - случайная величина с распределением вероятностей F ( x ).

Сравните со стандартным законом больших чисел :

{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\int X\,dF(x).

Интегралы-произведения типа Лебега [ править ]

Так же, как версия (классических) интегралов Лебега , можно вычислить интегралы-произведения, аппроксимируя их интегралами-произведениями простых функций . Каждый тип интеграла продукта имеет различную форму для простых функций .

Тип I: интеграл Вольтерра [ править ]

Поскольку простые функции обобщают ступенчатые функции , далее мы будем рассматривать только частный случай простых функций, которые являются ступенчатыми функциями. Это также упростит сравнение определения Лебега с определением Римана .

Учитывая ступенчатую функцию с соответствующим разделом и помеченный раздел $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $a=y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}$

a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{0}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{1}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n-1}\leq x_{n},

одно приближение к "определению Римана" интеграла произведения типа I дается формулой ^[31]

\prod _{k=0}^{n-1}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k+1}-x_{k})\right].

(Тип I) , интеграл продукт был определен как, грубо говоря, предел этих продуктов по Ludwig Schlesinger в статье 1931. ^{[ какой? ]}

Другое приближение "определения Римана" интеграла произведения типа I определяется как

\prod _{k=0}^{n-1}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k+1}-x_{k}){\big )}.

Когда - постоянная функция , предел первого типа приближения равен второму типу приближения. ^[32] Обратите внимание, что в общем случае для ступенчатой функции значение второго типа приближения не зависит от разбиения, если разбиение является уточнением разбиения, определяющего ступенчатую функцию, тогда как значение Первый тип приближения действительно зависит от точности разбиения, даже если он является уточнением разбиения, определяющего ступенчатую функцию. $f$

Оказывается ^[33], что для любой интегрируемой по произведению функции предел первого типа приближения равен пределу второго типа приближения. Поскольку для ступенчатых функций значение второго типа приближения не зависит от точности разбиения для разбиений «достаточно мелких», имеет смысл определить ^[34] «интеграл произведения Лебега (тип I)» для ступенчатая функция как $f$

\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k+1}-y_{k}){\big )},

где - раздел с тегами, и снова - раздел, соответствующий ступенчатой функции . (Напротив, соответствующая величина не может быть определена однозначно с использованием первого типа приближения.) $y_{0}<a=s_{0}<y_{1}<\dots <y_{n-1}<s_{n-1}<y_{n}=b$ $a=y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}$ $f$

Это легко обобщается на произвольные пространства с мерой . Если это мера пространство с мерой , то для любого продукта интегрируемого простой функции (т.е. конической комбинации из функций индикаторов для некоторых непересекающихся измеримых множеств ), его типа интеграл продукта определяется как $X$ $\mu$ $f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)$ $A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X$

\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )},

поскольку это значение в любой точке . В частном случае , когда , является мерой Лебега , и все измеримых множеств являются интервалами , можно убедиться , что это равно приведенному выше определению для этого особого случая. По аналогии с теорией (классических) интегралов Лебега, интеграл - произведение Вольтерра любой интегрируемой по произведению функции может быть записан как предел возрастающей последовательности интегралов-произведений Вольтерра для интегрируемых по произведению простых функций. $a_{k}$ $f$ $A_{k}$ $X=\mathbb {R}$ $\mu$ $A_{k}$ $f$

Принимая логарифмы обеих сторон приведенного выше определения, получаем , что для любого продукта интегрируемый простой функции : $f$

\ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\iff

\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right),

где мы использовали определение интеграла для простых функций . Более того, поскольку непрерывные функции, например, могут быть заменены пределами , а интеграл произведения любой интегрируемой по произведению функции равен пределу интегралов произведения простых функций, отсюда следует, что соотношение $\exp$ $f$

\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)

обычно выполняется для любого интегрируемого продукта . Это явно обобщает указанное выше свойство . $f$

Интеграле продукта вольтерров является мультипликативным как функции множества , ^[35] , которые можно показать , используя указанное свойство. Более конкретно, учитывая интегрируемую по продукту функцию, можно определить функцию множества , определив для каждого измеримого множества , $f$ ${\cal {V}}_{f}$ $B\subseteq X$

{\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},

где обозначает функцию индикатора из . Тогда для любых двух непересекающихся измеримых множеств один имеет $I_{B}(x)$ $B$ $B_{1},B_{2}$

{\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right)\exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d\mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1}){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}

Это свойство можно противопоставить мерам , которые являются аддитивными функциями множества .

Однако интеграл произведения Вольтерра не является мультипликативным как функционал . Учитывая две интегрируемые по продукту функции и измеримое множество , обычно бывает так, что $f,g$ $A$

\prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.

Тип II: геометрический интеграл [ править ]

Если это пространство с мерой с мерой , то для любого продукта интегрируемого простой функции (т.е. конической комбинация из функций индикаторов для некоторых непересекающихся измеримых множеств ), его неотъемлемая продукт типа II , определяются как $X$ $\mu$ $f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)$ $A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X$

\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}a_{k}^{\mu (A_{k})}.

Видно, что это обобщает данное выше определение.

Принимая логарифмы обеих сторон, мы видим , что для любого продукта интегрируемый простой функции : $f$

\ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=0}^{m-1}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),

где мы использовали определение интеграла Лебега для простых функций . Это наблюдение, аналогично тому, уже сделанные выше , позволяет полностью сократить « лебегову теорию о геометрических интегралах » к теории Лебега (классические) интегралов . Другими словами, поскольку непрерывные функции, такие как и, могут быть заменены пределами , а интеграл произведения любой интегрируемой по произведению функции равен пределу некоторой возрастающей последовательности интегралов произведений простых функций , отсюда следует, что соотношение $\exp$ $\ln$ $f$

\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)

обычно выполняется для любого интегрируемого продукта . Это обобщает упомянутое выше свойство геометрических интегралов . $f$

См. Также [ править ]

Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
Неопределенный продукт
Логарифмическая производная
Порядковый экспоненциальный
Фрактальная производная

Ссылки [ править ]

^ В. Вольтерра, Б. Хостинский, ОПЕРАЦИИ Infinitésimales Linéaires , Готье-Виллар, Париж (1938).
^ a b c А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , ISBN 80-7378-006-2 , Матфизпресс, Прага, 2007.
^ a b c М. Гроссман, Р. Кац, Неньютоновское исчисление , ISBN 0-912938-01-3 , Lee Press, 1972.
^ Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления , ISBN 0977117006 , 1979.
^ а б Майкл Гроссман. Бигеометрическое исчисление: система с безмасштабной производной , ISBN 0977117030 , 1983.
^ Люк Флорак и Ханс ван Ассен. "Multiplicative исчисление в анализе биомедицинских изображений" , Журнал математической обработки изображений и Vision, DOI : 10.1007 / s10851-011-0275-1 , 2011.
^ Люк Флорак. "Упорядочение положительно определенных матриц полей на основе мультипликативного исчисления" , Reference 9, Scale Space и Вариационные методы в Computer Vision, Lecture Notes вкомпьютерных наук, Том 6667/2012, страницы 786-796, DOI : 10.1007 / 978-3-642 -24785-9_66 , Springer, 2012.
^ Люк Флорак. «Регуляризация положительно определенных матричных полей на основе мультипликативного исчисления» , Третья международная конференция по масштабному пространству и вариационным методам компьютерного зрения, курорт Эйн-Геди, Мертвое море, Израиль, конспекты лекций по информатике: 6667, ISBN 978-3-642 -24784-2 , Springer, 2012.
^ Joachim Weickert и Лоран Hoeltgen. Университетский курс: «Анализ за пределами Ньютона и Лейбница» , Саарландский университет в Германии, группа математического анализа изображений, лето 2012 г.
^ Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Неньютоновское исследование теории экзогенного экономического роста» , CNCSIS - UEFISCSU архивация 2009-01-06 в Wayback Machine (номер проекта PNII Idei 2366/2008) и LEO архивации 2010-02-08 в Wayback Machine , 2010 г.
^ Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Обзор неньютоновского исчисления и его потенциальных приложений в экономике» , Прикладная математика - журнал китайских университетов, том 28, Китайское общество промышленной и прикладной математики, Springer, 2014.
^ Агамирза Е. Баширов, Эмине Misirli, Yucel Tandogdu, и Али Ozyapici. "О моделировании с мультипликативным дифференциальных уравнений" , Прикладная математика - Журнал китайских университетов, Том 26, № 4, стр 425-428, DOI : 10.1007 / s11766-011-2767-6 , Springer, 2011.
^ Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «В защиту неньютоновского экономического анализа» , http://www.univ-orleans.fr/leo/infer/PIATECKI.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , CNCSIS - UEFISCSU (Университет Бабеша-Бойяи в Клуж-Напока, Румыния) и LEO (Орлеанский университет, Франция), 2013 г.
^ Войбор Войчнски. «Неньютоновское исчисление для динамики случайных фрактальных структур: линейные и нелинейные» , семинар в Кливлендском государственном университете 2 мая 2012 г.
^ Войбор Войчнски. «Дробное исчисление для случайных фракталов» , семинар в Университете Кейс Вестерн Резерв 3 апреля 2013 г.
^ Martin Ostoja-Starzewski . «Внутренняя работа фрактальных материалов» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , Media-Upload, Университет штата Иллинойс в Урбана-Шампейн.
^ Marek Rybaczuk. «Критический рост фрактальных паттернов в биологических системах» , Acta of Bioengineering and Biomechanics, Volume 1, Number 1, Wroclaw University of Technology, 1999.
^ Марека Rybaczuk, Алиция Кедзя и Витольд Зелинский (2001) «Понятие физического и фрактальной размерности II. Дифференциальное исчисление в пространствах» , Хаос, солитоны, и Фракталы том 12, выпуск 13, октябрь 2001 г., стр 2537-2552.
^ Aniszewska, Дорота (октябрь 2007). «Мультипликативные методы Рунге – Кутты». Нелинейная динамика . 50 (1–2): 265–272. DOI : 10.1007 / s11071-006-9156-3 .
^ Дорота Aniszewska и Марек Rybaczuk (2005) «Анализ мультипликативной системы Лоренца» , Хаос, солитоны и фракталы том 25, выпуск 1, июль 2005, стр 79-90.
^ Анишевская, Дорота; Рыбачук, Марек (2008). «Устойчивость типа Ляпунова и показатель Ляпунова для примерных мультипликативных динамических систем». Нелинейная динамика . 54 (4): 345–354. DOI : 10.1007 / s11071-008-9333-7 ..
^ М. Рыбачук и П. Стоппель (2000) "Фрактальный рост усталостных дефектов в материалах" , Международный журнал разрушения, том 103, номер 1 / май 2000 г.
^ Фернандо Кордова-Лепе. «Мультипликативная производная как мера эластичности в экономике» , TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, Volume 2, Number 3, 2006.
^ Фернандо Кордова-Лепе. «От операции частного к пропорциональному исчислению» , Международный журнал математики, том 18, номер 6, страницы 527-536, 2009 г.
^ Мурат Кириши. «Топологические структуры неньютоновских метрических пространств» , Электронный журнал математического анализа и приложений, Том 5, номер 2, ISSN: 2090-729X (онлайн), 2017.
^ JD Dollard, CN Friedman, Интеграция продуктов с приложениями к дифференциальным уравнениям , Addison Wesley Publishing Company, 1979.
^ FR Gantmacher (1959) Теория матриц , тома 1 и 2.
^ Линии Вильсона в квантовой теории поля [1]
^ Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления , ISBN 0977117006 , 1979.
^ А. Е. Баширов, Е. Kurpınar, А. Özyapıcı. Мультипликативное исчисление и его приложения , Журнал математического анализа и приложений, 2008.
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 65. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 71. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 72. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 80. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2
^ Гилл, Ричард Д., Сорен Йохансен. «Обзор интеграции продуктов с точки зрения применения в анализе выживаемости» . Анналы статистики 18, вып. 4 (декабрь 1990 г.): 1501–555, с. 1503.

У.П. Дэвис, Дж. А. Чатфилд, Относительно интегралов и экспонент от произведения , Труды Американского математического общества, Vol. 25, № 4 (август, 1970), стр 743-747,. DOI : 10,2307 / 2036741 .
JD Dollard, CN Friedman, Интегралы-произведения и уравнение Шредингера , Journ. Математика. Phys. 18 № 8,1598–1607 (1977).
Дж. Д. Доллард, К. Н. Фридман, Интеграция продуктов с приложениями к дифференциальным уравнениям , издательство Addison Wesley Publishing Company, 1979.

Внешние ссылки [ править ]

Сайт неньютоновского исчисления
Ричард Гилл, Интеграция продуктов
Ричард Гилл, Product Integral Symbol
Дэвид Манура, Расчет продукта
Тайлер Нейлон, Легкие границы для n!
Введение в многогранный (продукт) исчисление без Dx
Примечания к уравнению Лакса
Антонин Славик, Введение в интеграцию продуктов
Антонин Славик, Хеншток – Курцвейл и интеграция продуктов McShane

[1] В. Вольтерра, Б. Хостинский, ОПЕРАЦИИ Infinitésimales Linéaires , Готье-Виллар, Париж (1938).

[slavik-2] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , ISBN 80-7378-006-2 , Матфизпресс, Прага, 2007.

[nnc-3] М. Гроссман, Р. Кац, Неньютоновское исчисление , ISBN 0-912938-01-3 , Lee Press, 1972.

[fnc1-4] Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления , ISBN 0977117006 , 1979.

[bc-5] а б Майкл Гроссман. Бигеометрическое исчисление: система с безмасштабной производной , ISBN 0977117030 , 1983.

[FvA-6] Люк Флорак и Ханс ван Ассен. "Multiplicative исчисление в анализе биомедицинских изображений" , Журнал математической обработки изображений и Vision, DOI : 10.1007 / s10851-011-0275-1 , 2011.

[reg-7] Люк Флорак. "Упорядочение положительно определенных матриц полей на основе мультипликативного исчисления" , Reference 9, Scale Space и Вариационные методы в Computer Vision, Lecture Notes вкомпьютерных наук, Том 6667/2012, страницы 786-796, DOI : 10.1007 / 978-3-642 -24785-9_66 , Springer, 2012.

[Israel-8] Люк Флорак. «Регуляризация положительно определенных матричных полей на основе мультипликативного исчисления» , Третья международная конференция по масштабному пространству и вариационным методам компьютерного зрения, курорт Эйн-Геди, Мертвое море, Израиль, конспекты лекций по информатике: 6667, ISBN 978-3-642 -24784-2 , Springer, 2012.

[JW-9] Joachim Weickert и Лоран Hoeltgen. Университетский курс: «Анализ за пределами Ньютона и Лейбница» , Саарландский университет в Германии, группа математического анализа изображений, лето 2012 г.

[filip-10] Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Неньютоновское исследование теории экзогенного экономического роста» , CNCSIS - UEFISCSU архивация 2009-01-06 в Wayback Machine (номер проекта PNII Idei 2366/2008) и LEO архивации 2010-02-08 в Wayback Machine , 2010 г.

[11] Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Обзор неньютоновского исчисления и его потенциальных приложений в экономике» , Прикладная математика - журнал китайских университетов, том 28, Китайское общество промышленной и прикладной математики, Springer, 2014.

[model-12] Агамирза Е. Баширов, Эмине Misirli, Yucel Tandogdu, и Али Ozyapici. "О моделировании с мультипликативным дифференциальных уравнений" , Прикладная математика - Журнал китайских университетов, Том 26, № 4, стр 425-428, DOI : 10.1007 / s11766-011-2767-6 , Springer, 2011.

[13] Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «В защиту неньютоновского экономического анализа» , http://www.univ-orleans.fr/leo/infer/PIATECKI.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , CNCSIS - UEFISCSU (Университет Бабеша-Бойяи в Клуж-Напока, Румыния) и LEO (Орлеанский университет, Франция), 2013 г.

[sites.google.com-14] Войбор Войчнски. «Неньютоновское исчисление для динамики случайных фрактальных структур: линейные и нелинейные» , семинар в Кливлендском государственном университете 2 мая 2012 г.

[arkq73u5d7.wordpress.tal.ki-15] Войбор Войчнски. «Дробное исчисление для случайных фракталов» , семинар в Университете Кейс Вестерн Резерв 3 апреля 2013 г.

[16] Martin Ostoja-Starzewski . «Внутренняя работа фрактальных материалов» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , Media-Upload, Университет штата Иллинойс в Урбана-Шампейн.

[17] Marek Rybaczuk. «Критический рост фрактальных паттернов в биологических системах» , Acta of Bioengineering and Biomechanics, Volume 1, Number 1, Wroclaw University of Technology, 1999.

[dimension-18] Марека Rybaczuk, Алиция Кедзя и Витольд Зелинский (2001) «Понятие физического и фрактальной размерности II. Дифференциальное исчисление в пространствах» , Хаос, солитоны, и Фракталы том 12, выпуск 13, октябрь 2001 г., стр 2537-2552.

[runge-19] Aniszewska, Дорота (октябрь 2007). «Мультипликативные методы Рунге – Кутты». Нелинейная динамика . 50 (1–2): 265–272. DOI : 10.1007 / s11071-006-9156-3 .

[20] Дорота Aniszewska и Марек Rybaczuk (2005) «Анализ мультипликативной системы Лоренца» , Хаос, солитоны и фракталы том 25, выпуск 1, июль 2005, стр 79-90.

[lyapunov-21] Анишевская, Дорота; Рыбачук, Марек (2008). «Устойчивость типа Ляпунова и показатель Ляпунова для примерных мультипликативных динамических систем». Нелинейная динамика . 54 (4): 345–354. DOI : 10.1007 / s11071-008-9333-7 ..

[22] М. Рыбачук и П. Стоппель (2000) "Фрактальный рост усталостных дефектов в материалах" , Международный журнал разрушения, том 103, номер 1 / май 2000 г.

[23] Фернандо Кордова-Лепе. «Мультипликативная производная как мера эластичности в экономике» , TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, Volume 2, Number 3, 2006.

[24] Фернандо Кордова-Лепе. «От операции частного к пропорциональному исчислению» , Международный журнал математики, том 18, номер 6, страницы 527-536, 2009 г.

[25] Мурат Кириши. «Топологические структуры неньютоновских метрических пространств» , Электронный журнал математического анализа и приложений, Том 5, номер 2, ISSN: 2090-729X (онлайн), 2017.

[dollardfriedman-26] JD Dollard, CN Friedman, Интеграция продуктов с приложениями к дифференциальным уравнениям , Addison Wesley Publishing Company, 1979.

[gantmacher-27] FR Gantmacher (1959) Теория матриц , тома 1 и 2.

[WilsonLines-28] Линии Вильсона в квантовой теории поля [1]

[fnc2-29] Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления , ISBN 0977117006 , 1979.

[30] А. Е. Баширов, Е. Kurpınar, А. Özyapıcı. Мультипликативное исчисление и его приложения , Журнал математического анализа и приложений, 2008.

[slavik2-31] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 65. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .

[slavik3-32] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 71. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .

[slavik4-33] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 72. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2 .

[slavik5-34] А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и приложения , стр. 80. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2

[35] Гилл, Ричард Д., Сорен Йохансен. «Обзор интеграции продуктов с точки зрения применения в анализе выживаемости» . Анналы статистики 18, вып. 4 (декабрь 1990 г.): 1501–555, с. 1503.

[1]