Гамма-матрицы более высокой размерности

В математической физике , многомерная гамма - матрицы обобщаются произвольная размерность четырехмерных гамма - матриц из Дирака , которые являются опорой релятивистской квантовой механики. Они используются в релятивистски инвариантных волновых уравнениях для фермионов (таких как спиноры) в произвольных пространственно-временных измерениях, особенно в теории струн и супергравитации. В матрицах Вейля-Брауэр обеспечивают явную конструкцию многомерных гамма - матрицы для вейлевских спиноров . Гамма-матрицы также появляются в общих параметрах римановой геометрии , особенно когда может быть определена спиновая структура .

Введение [ править ]

Рассмотрим пространство-время размерности d с плоской метрикой Минковского ,

${\ displaystyle \ eta = \ parallel \ eta _ {ab} \ parallel = {\ text {diag}} (+ 1, \ dots, + 1, -1, \ dots, -1) ~,}$

с положительными элементами, отрицательными элементами и a, b = 0,1, ..., d −1 . Установите N = 2 ^{⌊ d / 2⌋} . Стандартные матрицы Дирака соответствуют принятию d = N = 4 и p, q = 1,3 или 3,1 . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p + q = d}$

В более высоких (и более низких) измерениях можно определить группу , гамма-группу , ведущую себя так же, как матрицы Дирака. ^[1] Более точно, если один Выбирает базис для (комплексифицированной) алгебры Клиффорда , то гамма - группа порождается это изоморфна к мультипликативной подгруппе , порожденной базисными элементами (игнорируя аддитивный аспект алгебры Клиффорда). ${\ Displaystyle \ {е_ {а} \}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} _ {p, q} (\ mathbb {C}) \ cong \ mathrm {Cl} ^ {\ mathbb {C}} (p, q)}$ ${\ Displaystyle \ {\ Gamma _ {а} \}}$${\ displaystyle e_ {a}}$

По соглашению гамма-группа реализуется как набор матриц, гамма-матриц, хотя определение группы этого не требует. В частности, многие важные свойства, включая симметрии C , P и T , не требуют специального матричного представления, и таким образом можно получить более четкое определение хиральности . ^[1] Возможны несколько матричных представлений, некоторые из которых приведены ниже, а другие - в статье о матрицах Вейля – Брауэра . В матричном представлении спиноры являются -мерными, причем на спиноры действуют гамма-матрицы. Подробное построение спиноров дано в статье по алгебре Клиффорда.${\ displaystyle N}$. Йост является стандартным справочником по спинорам в общих условиях римановой геометрии. ^[2]

Гамма-группа [ править ]

Большинство свойств гамма-матриц может быть захвачено группой , гамма-группой . Эта группа может быть определена без ссылки на действительные числа, комплексные числа или даже без прямого обращения к алгебре Клиффорда . ^[1] Матричные представления этой группы затем обеспечивают конкретную реализацию, которую можно использовать для определения действия гамма-матриц на спиноры . Для размеров матричные произведения ведут себя так же, как обычные матрицы Дирака . Группа Паули является представлением гамма-группы, хотя у группы Паули больше связей (${\ displaystyle (p, q) = (1,3)}$${\ displaystyle (p, q) = (3,0)}$меньше бесплатно ); см. примечание о хиральном элементе ниже для примера. В кватернионах дают представление для${\displaystyle (p,q)=(0,3).}$

Представление о гамма - группы выглядит следующим образом .${\displaystyle G=G_{p,q}}$

• Нейтральный элемент обозначается как .${\displaystyle I}$
• Элемент с заменяет комплексное число ; он коммутирует со всеми другими элементами ,${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{4}=I}$${\displaystyle i}$
• Есть набор генераторов, проиндексированных с помощью${\displaystyle \Gamma _{a}}$${\displaystyle a=0,\ldots ,p-1}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{2}=I~,}$
• Остальные генераторы подчиняются${\displaystyle \Gamma _{a},\ a=p,\ldots ,p+q-1}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{2}=i^{2}~,}$
• Антикоммутатор определяется как для${\displaystyle \Gamma _{a}\Gamma _{b}=i^{2}\Gamma _{b}\Gamma _{a}}$${\displaystyle a\neq b~.}$

Эти генераторы полностью определяют гамма-группу. Можно показать, что при всем этом и так каждый элемент может быть однозначно записан как произведение конечного числа образующих, расположенных в каноническом порядке как${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle x^{4}=I}$${\displaystyle x^{-1}=x^{3}~.}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=i^{n}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}}$

с индексами в порядке возрастания

${\displaystyle a<b<\cdots <c}$

и Гамма-группа конечна и содержит не более чем элементы. ${\displaystyle 0\leq n\leq 3.}$${\displaystyle 2^{p+q+2}}$

Гамма-группа - это 2-группа, но не регулярная p-группа . Коммутант (производный подгруппа) является , следовательно , он не является мощным р-группа . В общем, 2-группы имеют большое количество инволюций ; гамма-группа делает то же самое. Три конкретных из них выделены ниже, поскольку они имеют определенную интерпретацию в контексте алгебр Клиффорда , в контексте представлений гамма-группы (где транспонирование и эрмитово сопряжение буквально соответствуют этим действиям на матрицах) и в физике , где «основная инволюция» соответствует комбинированной P-симметрии и${\displaystyle [G,G]=\{I,i^{2}\}~,}$${\displaystyle \alpha }$Т-симметрия .

Транспонирование [ править ]

Для заданных элементов порождающего набора гамма-группы транспонирование или разворот задается формулой${\displaystyle \Gamma _{i}}$

${\displaystyle (\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{t}=\Gamma _{c}\cdots \Gamma _{b}\Gamma _{a}}$

Если есть все различные элементы , то${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$

${\displaystyle (\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{t}=(i^{2})^{k(k-1)/2}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}}$

Эрмитово спряжение [ править ]

Другой автоморфизм гамма-группы задается сопряжением, определяемым на образующих как

${\displaystyle \Gamma _{a}^{\dagger }={\begin{cases}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}0\leq a<p\\i^{2}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}p\leq a<p+q\\\end{cases}}}$

дополнено и для общих элементов в группе, один принимает транспонирование: Из свойств транспозиции, отсюда следует , что для всех элементов , которые либо или что то есть, все элементы являются либо эрмитовым или унитарным. ${\displaystyle i^{\dagger }=i^{3}}$${\displaystyle I^{\dagger }=I.}$${\displaystyle (ab)^{\dagger }=b^{\dagger }a^{\dagger }~.}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=I}$${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=i^{2}~,}$

Если интерпретировать измерения как «подобные времени», а измерения как «пространственные», то это соответствует P-симметрии в физике. То, что это «правильная» идентификация, следует из обычных матриц Дирака, где они связаны с временным направлением, а пространственные направления - с «традиционной» (+ ---) метрикой. Выбор других показателей и представлений предполагает другие интерпретации.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$

Основная инволюция [ править ]

Основная инволюцией является картой «щелкает» генераторы: но оставляет в покое: Эта карта соответствует комбинированной P-симметрии и Т-симметрии в физике; все направления меняются местами.${\displaystyle \alpha (\Gamma _{a})=i^{2}\Gamma _{a}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha (i)=i~.}$

Хиральный элемент [ править ]

Определите киральный элемент как${\displaystyle \omega \equiv \Gamma _{\mathrm {chir} }}$

${\displaystyle \omega =\Gamma _{\mathrm {chir} }=\Gamma _{0}\Gamma _{1}\cdots \Gamma _{d-1}}$

где . Киральный элемент коммутирует с образующими как${\displaystyle d=p+q}$

${\displaystyle \Gamma _{a}\omega =(i^{2})^{d-1}\omega \Gamma _{a}}$

Это квадраты к

${\displaystyle \omega ^{2}=(i^{2})^{q+d(d-1)/2}}$

Для матриц Дирака киральный элемент соответствует своему названию, так как он играет важную роль в различении киральности спиноров.${\displaystyle \gamma _{5}~,}$

Для группы Паули хиральным элементом является, тогда как для гамма-группы нельзя вывести какое-либо такое отношение, кроме того, что оно квадратов. Это пример того, где у репрезентации может быть больше идентичностей, чем у представленной группы. Для кватернионов , которые обеспечивают представление кирального элемента, есть${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i}$${\displaystyle G_{3,0}}$${\displaystyle \Gamma _{1}\Gamma _{2}\Gamma _{3}}$${\displaystyle i^{2}~.}$${\displaystyle G_{0,3}}$${\displaystyle ijk=i^{2}~.}$

Спряжение зарядов [ править ]

Ни один из перечисленных выше автоморфизмов (транспонирование, сопряжение, основная инволюция) не является внутренним автоморфизмом ; то есть они не могут быть представлены в форме для какого-либо существующего элемента в гамма-группе, как представлено выше. Зарядовое сопряжение требует расширения гамма-группы двумя новыми элементами; по условию это${\displaystyle CxC^{-1}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{+}\Gamma _{a}C_{+}^{-1}=\Gamma _{a}^{t}}$

и

${\displaystyle C_{-}\Gamma _{a}C_{-}^{-1}=i^{2}\Gamma _{a}^{t}}$

Приведенных выше отношений недостаточно для определения группы; и другие продукты не определены.${\displaystyle C^{2}}$

Матричное представление [ править ]

Гамма - группа имеет матричное представление , данное комплексных матриц с и и с функцией пола , наибольшее целое число меньше , чем группы представления для матриц можно записать компактно в терминах антикоммутатора связи от алгебры Клиффорда Cℓ _{р, д} ( R )${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N=2^{\lfloor d/2\rfloor }}$${\displaystyle d=p+q}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \{\Gamma _{a}~,~\Gamma _{b}\}=\Gamma _{a}\Gamma _{b}+\Gamma _{b}\Gamma _{a}=2\eta _{ab}I_{N}~,}$

где матрица I _N - это единичная матрица в N измерениях. Транспонирование и эрмитово сопряжение соответствуют своему обычному значению на матрицах.

Спряжение зарядов [ править ]

В оставшейся части статьи предполагается, что и так . То есть предполагается алгебра Клиффорда Cℓ _{1, d − 1} ( R ) . ^[a] В этом случае гамма-матрицы обладают следующим свойством при эрмитовом сопряжении :${\displaystyle p=1}$${\displaystyle q=d-1}$

${\displaystyle \Gamma _{0}^{\dagger }=+\Gamma _{0}~,~\Gamma _{a}^{\dagger }=-\Gamma _{a}~(a=1,\dots ,d-1)~.}$

Транспонирование будет обозначаться с незначительным изменением обозначений, отображением, где элемент слева является элементом абстрактной группы, а элемент справа - буквальным транспонированием матрицы .${\displaystyle \Gamma _{a}^{t}\mapsto \Gamma _{a}^{T}}$

Как и раньше, порождающие Γ _a , −Γ _a ^T , Γ _a ^T порождают одну и ту же группу (все порожденные группы изоморфны ; операции по-прежнему являются инволюциями ). Однако, поскольку Γ _a теперь являются матрицами, становится правдоподобным вопрос, существует ли матрица, которая может действовать как преобразование подобия , воплощающее автоморфизмы. В общем, такую ​​матрицу можно найти. Условно есть два интересных объекта; в физической литературе обе называются матрицами зарядового сопряжения . В явном виде это

${\displaystyle C_{(+)}\Gamma _{a}C_{(+)}^{-1}=+\Gamma _{a}^{T}}$

${\displaystyle C_{(-)}\Gamma _{a}C_{(-)}^{-1}=-\Gamma _{a}^{T}~.}$

Они могут быть построены как реальные матрицы в различных измерениях, как показано в следующей таблице. В четном измерении существуют оба , в нечетном - только один.${\displaystyle C_{\pm }}$

d	${\displaystyle C_{(+)}^{*}=C_{(+)}}$	${\displaystyle C_{(-)}^{*}=C_{(-)}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle C_{(+)}^{T}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{T}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 3}$		${\displaystyle C_{(-)}^{T}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{(+)}^{T}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{T}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{(+)}^{T}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{(+)}^{T}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{T}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 7}$		${\displaystyle C_{(-)}^{T}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{(+)}^{T}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{T}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{(+)}^{T}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{(+)}^{T}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{T}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 11}$		${\displaystyle C_{(-)}^{T}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$

Обратите внимание, что это выбор основы.${\displaystyle C_{(\pm )}^{*}=C_{(\pm )}}$

Свойства симметрии [ править ]

Обозначим произведение гамма-матриц через

${\displaystyle \Gamma _{abc\ldots }=\Gamma _{a}\cdot \Gamma _{b}\cdot \Gamma _{c}\cdots \ }$

и обратите внимание, что свойство антикоммутации позволяет нам упростить любую такую ​​последовательность до той, в которой индексы различны и увеличиваются. Поскольку четкая антикоммутация мотивирует введение антисимметричного «среднего». Введем антисимметризованные произведения различных n -наборов из 0, ..., d −1:${\displaystyle \Gamma _{a}}$

${\displaystyle \Gamma _{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}\epsilon (\pi )\Gamma _{a_{\pi (1)}}\cdots \Gamma _{a_{\pi (n)}}~,}$

где π пробегает все перестановки из n символов, а ϵ - знакопеременный символ . Таких произведений 2 ^d , но только N ² являются независимыми, охватывая пространство матриц размера N × N.

Как правило, Γ _AB обеспечивает (би) спинорное представление й (Д-1) / 2 образующих многомерной группы Лоренца , SO ⁺ (1, д -1) , обобщающее 6 матриц сг μν от спинового представления группы Лоренца в четырех измерениях.

Для четного d можно дополнительно определить эрмитову киральную матрицу

${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}=i^{d/2-1}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dots \Gamma _{d-1}~,}$

такие, что { Γ _chir , Γ _a } = 0 и Γ _chir ² = 1. (В нечетных размерах такая матрица коммутировала бы со всеми Γ _a s и, таким образом, была бы пропорциональна единице, поэтому она не рассматривается.)

Γ матрица называется симметричным , если

${\displaystyle (C\Gamma _{a_{1}\dots a_{n}})^{T}=+(C\Gamma _{a_{1}\dots a_{n}})~;}$

в противном случае для знака - он называется антисимметричным. В предыдущем выражении C может быть либо или . В нечетной размерности, нет никакой двусмысленности, но в четной размерности лучше выбрать , какой бы ни один из или позволяет майорановских спинорами. При d = 6 такого критерия нет, поэтому мы рассматриваем оба.${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$

d	C	Симметричный	Антисимметричный
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \gamma _{a}}$	${\displaystyle I_{2}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \gamma _{a}~,~\gamma _{a_{1}a_{2}}}$	${\displaystyle I_{4}~,~\gamma _{\text{chir}}~,~\gamma _{\text{chir}}\gamma _{a}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a_{1}a_{2}}}$	${\displaystyle I_{4}~,~\Gamma _{a}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle I_{8}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle I_{8}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}}$	${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{5}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{5}}}$	${\displaystyle I_{32}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{5}}}$	${\displaystyle I_{32}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}}$

Личности [ править ]

Доказательство тождеств следов для гамма-матриц не зависит от размерности. Поэтому нужно только вспомнить случай 4D и затем изменить общий коэффициент 4 на . Для других тождеств (тех, которые включают сокращение) появятся явные функции от .${\displaystyle \operatorname {tr} (I_{N})}$${\displaystyle d}$

Даже когда количество физических измерений равно четырем, эти более общие тождества повсеместно используются в циклических вычислениях из-за размерной регуляризации .

Пример явного построения в киральном базисе [ править ]

В Г матрицы могут быть построены рекурсивно, сначала во всех четных размерностей, d = 2 к , а оттуда в нечетных, 2 к + 1.

d = 2 [ редактировать ]

Используя матрицы Паули , возьмем

${\displaystyle \gamma _{0}=\sigma _{1}~,~\gamma _{1}=-i\sigma _{2}}$

и легко проверить, что матрицы зарядового сопряжения

${\displaystyle C_{(+)}=\sigma _{1}=C_{(+)}^{*}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{T}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{-1}\qquad s_{(2,+)}=+1}$

${\displaystyle C_{(-)}=i\sigma _{2}=C_{(-)}^{*}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{T}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{-1}\qquad s_{(2,-)}=-1~.}$

Наконец, можно определить эрмитов киральный γ- _хир как

${\displaystyle \gamma _{\text{chir}}=\gamma _{0}\gamma _{1}=\sigma _{3}=\gamma _{\text{chir}}^{\dagger }~.}$

Общий четный d = 2 k [ править ]

Теперь можно построить Γ _a , ( a = 0, ..., d +1) , матрицы и зарядовые сопряжения C _(±) в d +2 измерениях, начиная с γ _{a '} , ( a' = 0, ..., d −1 ) и c _(±) -матрицы в d- измерениях.

Явно,

${\displaystyle \Gamma _{a'}=\gamma _{a'}\otimes \sigma _{3}~~~(a'=0,\dots ,d-1)~,~~~\Gamma _{d}=I\otimes (i\sigma _{1})~,~~~\Gamma _{d+1}=I\otimes (i\sigma _{2})~.}$

Затем можно построить матрицы зарядового сопряжения,

${\displaystyle C_{(+)}=c_{(-)}\otimes \sigma _{1}~,\qquad C_{(-)}=c_{(+)}\otimes (i\sigma _{2})~,}$

со следующими свойствами,

${\displaystyle C_{(+)}=C_{(+)}^{*}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{T}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{-1}\qquad s_{(d+2,+)}=s_{(d,-)}}$

${\displaystyle C_{(-)}=C_{(-)}^{*}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{T}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{-1}\qquad s_{(d+2,-)}=-s_{(d,+)}~.}$

Начиная со значений знаков для d = 2, s _{(2, +)} = + 1 и s _{(2, -)} = −1, можно зафиксировать все последующие знаки s _{( d , ±),} имеющие периодичность 8; явно, можно найти

	${\displaystyle d=8k}$	${\displaystyle d=8k+2}$	${\displaystyle d=8k+4}$	${\displaystyle d=8k+6}$
${\displaystyle s_{(d,+)}}$	+1	+1	−1	−1
${\displaystyle s_{(d,-)}}$	+1	−1	−1	+1

Опять же, можно определить эрмитову киральную матрицу в d +2 измерениях как

${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}=\alpha _{d+2}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dots \Gamma _{d+1}=\gamma _{\text{chir}}\otimes \sigma _{3}~,~~~~~~\alpha _{d}=i^{d/2-1}~,}$

которая диагональна по построению и преобразуется при зарядовом сопряжении как

${\displaystyle C_{(\pm )}\Gamma _{\text{chir}}C_{(\pm )}^{-1}=\beta _{d+2}\Gamma _{\text{chir}}^{T}~~~~~~~~\beta _{d}=(-)^{d(d-1)/2}~.}$

Таким образом, очевидно, что { Γ _chir , Γ _a } = 0.

Общий нечетный d = 2 k + 1 [ править ]

Рассмотрим предыдущую конструкцию для D -1 (что даже) и просто принимать все Г ( = 0, ..., d -2) матрицы, добавляемых к которому его iΓ _чир ≡ Г _d-1 . ( I требуется для получения антиэрмитовой матрицы и расширения в пространственноподобную метрику).

Наконец, вычислите матрицу зарядового сопряжения: выберите между и таким образом, чтобы Γ _{d − 1} преобразовывалась, как и все другие Γ- матрицы. Явно требовать${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$

${\displaystyle C_{(s)}\Gamma _{\text{chir}}C_{(s)}^{-1}=\beta _{d}\Gamma _{\text{chir}}^{T}=s\Gamma _{\text{chir}}^{T}~.}$

Поскольку размерность d изменяется, паттерны обычно повторяются с периодом 8. (ср. Часы алгебры Клиффорда ).

См. Также [ править ]

• Матрицы Вейля – Брауэра
• Биспинор
• Модуль Клиффорда

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Общее чтение [ править ]

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Являюсь. J. Math . 57 : 425–449. DOI : 10.2307 / 2371218 . JFM  61.1025.06 . JSTOR  2371218 . Zbl  0011.24401 .
• Паис, Авраам (1962). «О спинорах в n измерениях». Журнал математической физики . 3 (6): 1135. Bibcode : 1962JMP ..... 3.1135P . DOI : 10.1063 / 1.1703856 .
• Gliozzi, F .; Шерк, Джоэл; Олив, Д. (1977). «Суперсимметрия, теории супергравитации и двойственная спинорная модель» (PDF) . Ядерная физика Б . 122 (2): 253. Bibcode : 1977NuPhB.122..253G . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (77) 90206-1 .
• Кеннеди, AD (1981). «Алгебры Клиффорда в 2ω измерениях». Журнал математической физики . 22 (7): 1330. Bibcode : 1981JMP .... 22.1330K . DOI : 10.1063 / 1.525069 .
• де Вит, Брайс и Смит, Дж. (1986). Теория поля в физике элементарных частиц (личная библиотека Северной Голландии), том 1, мягкая обложка, приложение E ( заархивировано из оригинала ), ISBN 978-0444869999 
• Мураяма, Х. (2007). "Заметки об алгебре Клиффорда и представлениях Spin (N)"
• Пьетро Джузеппе Фре (2012). «Гравитация, геометрический курс: Том 1: Развитие теории и основных физических приложений». Springer-Verlag. ISBN 9400753608 . См. Стр. 315 и далее.