C-симметрия

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «C-симметрия»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В физике , зарядовое сопряжение является трансформация , которая переключает все частицы с соответствующими им античастиц , тем самым изменяя знак всех зарядов : не только электрический заряд , но и сборов , имеющих отношение к другим силам. Термин C-симметрия является сокращением фразы «симметрия зарядового сопряжения» и используется при обсуждении симметрии физических законов при зарядовом сопряжении. Другими важными дискретными симметриями являются P-симметрия (четность) и T-симметрия (обращение времени).

Эти дискретные симметрии, C, P и T, представляют собой симметрии уравнений, описывающих известные фундаментальные силы природы: электромагнетизм , гравитацию , сильные и слабые взаимодействия . Проверка того, правильно ли какое-то математическое уравнение моделирует природу, требует физической интерпретации не только непрерывных симметрий , таких как движение во времени, но и их дискретных симметрий., а затем определить, соблюдает ли природа эти симметрии. В отличие от непрерывных симметрий, интерпретация дискретных симметрий немного более интеллектуально требовательна и запутана. Ранний сюрприз появился в 1950-х годах, когда Чиен Шиунг У продемонстрировал, что слабое взаимодействие нарушает P (и, следовательно, C) симметрию. В течение нескольких десятилетий казалось, что комбинированная симметрия CP сохраняется, пока не были обнаружены CP-нарушающие взаимодействия. Оба открытия привели к получению Нобелевских премий .

C-симметрия вызывает особые проблемы с физической точки зрения , поскольку Вселенная в основном заполнена материей , а не антиматерией , тогда как наивная C-симметрия физических законов предполагает, что должно быть равное количество того и другого. В настоящее время считается, что CP-нарушение в ранней Вселенной может объяснить «избыточную» материю, хотя споры еще не окончены. Более ранние учебники по космологии , выпущенные до 1970-х годов ^{[ какие? ]} обычно предполагал, что, возможно, далекие галактики полностью состоят из антивещества, таким образом поддерживая чистый баланс во Вселенной на уровне нуля.

В этой статье основное внимание уделяется раскрытию и формулированию C-симметрии различных важных уравнений и теоретических систем, включая уравнение Дирака и структуру квантовой теории поля . Различные фундаментальные частицы можно классифицировать по поведению при зарядовом сопряжении; это описано в статье о C-четности .

Неофициальный обзор [ править ]

Заряд конъюгация происходит в симметрии в трех различных , но тесно связанных с параметрами: а симметрии (классических неквантованной,) решений нескольких известных дифференциальных уравнений, в том числе уравнения Клейна-Гордона и уравнения Дирака , симметрии соответствующих квантовых полей и, в общем, симметрия в (псевдо) римановой геометрии . Во всех трех случаях симметрия в конечном итоге оказывается симметрией комплексного сопряжения , хотя именно то, что сопрягается, иногда может быть запутано, в зависимости от обозначений, выбора координат и других факторов.

В классических полях [ править ]

Симметрия зарядового сопряжения интерпретируется как симметрия электрического заряда , потому что во всех трех случаях (классический, квантовый и геометрический) можно построить токи Нётер, которые напоминают токи классической электродинамики . Это происходит потому, что сама электродинамика с помощью уравнений Максвелла может быть интерпретирована как структура на пучке волокон U (1) , так называемом круговом пучке . Это обеспечивает геометрическую интерпретацию электромагнетизма: электромагнитный потенциал интерпретируется как соединение датчика ( соединение Эресмана ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$) на расслоении кругов. Эта геометрическая интерпретация затем позволяет (буквально почти) всему, что имеет структуру с комплексными числами, быть связано с электромагнитным полем, при условии, что эта связь осуществляется калибровочно-инвариантным способом. Калибровочная симметрия в этой геометрической настройке - это утверждение, что при движении по окружности связанный объект также должен трансформироваться «круговым путем», отслеживая его соответствующим образом. Более формально говорят, что уравнения должны быть калибровочно инвариантными относительно замены локальных систем координат на окружности. Для U (1) это просто утверждение, что система инвариантна относительно умножения на фазовый множитель, который зависит от (пространственно-временной) координаты${\ Displaystyle е ^ {я \ фи (х)}}$${\ displaystyle x.}$ В этой геометрической обстановке зарядовое сопряжение можно понимать как дискретную симметрию, которая выполняет комплексное сопряжение, которое меняет направление на противоположное по кругу.${\ Displaystyle Z = (х + iy) \ mapsto {\ overline {z}} = (x-iy)}$

В квантовой теории [ править ]

В квантовой теории поля , заряд конъюгация может быть понята как обмен частиц с анти-частицами . Чтобы понять это утверждение, нужно иметь минимальное представление о том, что такое квантовая теория поля. Выражаясь (значительно) упрощенно, это метод выполнения вычислений для получения решений системы связанных дифференциальных уравнений с помощью теории возмущений . Ключевым ингредиентом этого процесса является квантовое поле , по одному на каждое из (свободных, несвязанных) дифференциальных уравнений в системе. Квантовое поле условно записывается как

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

где - импульс, - метка спина, - вспомогательная метка для других состояний в системе. И являются операторами рождения и уничтожения ( лестничные операторы ) и${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle u,v}$являются решениями рассматриваемого дифференциального уравнения (свободного, невзаимодействующего, несвязанного). Квантовое поле играет центральную роль, поскольку, как правило, неизвестно, как получить точные решения системы связанных дифференциальных вопросов. Однако с помощью теории возмущений приближенные решения могут быть построены как комбинации решений в свободном поле. Чтобы выполнить это построение, нужно иметь возможность извлекать и работать с любым заданным свободным полевым решением по запросу, когда это необходимо. Квантовое поле обеспечивает именно это: оно перечисляет все возможные решения свободного поля в векторном пространстве, так что любое из них может быть выделено в любой момент времени с помощью операторов создания и уничтожения.

Операторы создания и уничтожения подчиняются каноническим соотношениям коммутации , в том смысле, что один оператор «отменяет» то, что «создает» другой. Это означает, что любое данное решение должно быть связано со своим «анти-решением», чтобы одно отменяло или отменяло другое. Спаривание должно выполняться так, чтобы все симметрии сохранялись. Поскольку обычно интересует лоренц-инвариантность , квантовое поле содержит интеграл по всем возможным системам координат Лоренца, записанный выше как интеграл по всем возможным импульсам (это интеграл по слою связки реперов ). Сопряжение требует, чтобы данное было связано с${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}$противоположного импульса и энергии. Квантовое поле также является суммой всех возможных спиновых состояний; двойное спаривание снова соответствует противоположным спинам. Как и для любых других квантовых чисел, они также объединяются в пары как противоположности. Существует техническая трудность в выполнении этого двойного спаривания: нужно описать, что означает, что какое-то данное решение «двойственно» другому решению, и описать его таким образом, чтобы оно оставалось последовательно двойственным при интегрировании по волокну расслоение реперов при интегрировании (суммировании) по слою, описывающему спин, и при интегрировании (суммировании) по любым другим слоям, которые встречаются в теории. ${\displaystyle u}$${\displaystyle v,}$

Когда интегрируемое волокно представляет собой U (1) волокно электромагнетизма, двойное спаривание таково, что направление (ориентация) волокна меняется на противоположное. Когда объединяемое волокно является волокном SU (3) цветного заряда , двойное спаривание снова меняет ориентацию. Это «просто работает» для SU (3) , поскольку она имеет две двойные основные представления и которые могут быть , естественно , спаренные. Этот рецепт для квантового поля естественным образом обобщается на любую ситуацию, когда можно перечислить непрерывные симметрии системы и определить двойственные пары согласованным и непротиворечивым образом. Спаривание связывает вместе противоположные обвинения${\displaystyle \mathbf {3} }$${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$в полностью абстрактном смысле. В физике заряд связан с генератором непрерывной симметрии. Различные расходы связаны с различными собственными подпространствами инвариантов Казимира в универсальном обертывающем для этих симметрий. Это справедливо как для лоренц-симметрии лежащего в основе пространственно-временного многообразия , так и для симметрий любых слоев в пучке слоев, расположенном над пространственно-временным многообразием. Двойственность заменяет генератор симметрии минусом. Таким образом, зарядовое сопряжение связано с отражением вдоль линейного расслоения или детерминантного расслоения пространства симметрий.

Вышеизложенное представляет собой набросок общей идеи квантового поля в квантовой теории поля. Физическая интерпретация состоит в том, что решения соответствуют частицам, а решения соответствуют античастицам, и поэтому зарядовое сопряжение - это их сочетание. Этот эскиз также дает достаточно подсказок, чтобы указать, как может выглядеть зарядовое сопряжение в общей геометрической обстановке. Нет особого принудительного требования использовать теорию возмущений для построения квантовых полей, которые будут действовать как посредники в пертурбативном расширении. Зарядовое сопряжение можно задать в общих условиях.${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

В геометрии [ править ]

Для общих римановых и псевдоримановых многообразий есть касательное расслоение , кокасательное расслоение и метрика , связывающая их вместе. В этой ситуации можно сделать несколько интересных вещей. Во-первых, гладкая структура позволяет ставить дифференциальные уравнения на многообразие; в касательных и кокасательных пространствах обеспечивают достаточную структуру для выполнения исчисления на многообразиях . Ключевой интерес представляет лапласиан и, с постоянным членом, то, что составляет оператор Клейна – Гордона. Котангенсные расслоения по своей основной конструкции всегдасимплектические многообразия . Симплектические многообразия имеют канонические координаты, интерпретируемые как положение и импульс, подчиняющиеся каноническим коммутационным соотношениям . Это обеспечивает базовую инфраструктуру для расширения двойственности и, таким образом, зарядового сопряжения в этой общей обстановке. ${\displaystyle x,p}$

Вторая интересная вещь, которую можно сделать, - это построить спиновую структуру . Возможно, самое примечательное в этом то, что это очень узнаваемое обобщение на -мерное псевдориманово многообразие традиционной физической концепции спиноров, живущих в (1,3) -мерном пространстве-времени Минковского . Конструкция проходит через комплексифицированную алгебру Клиффорда, чтобы построить расслоение Клиффорда и спиновое многообразие . В конце этой конструкции мы получаем систему, которая очень хорошо знакома, если уже знакомы со спинорами Дирака и уравнением Дирака. В этом общем случае можно провести несколько аналогий. Во-первых, спиноры${\displaystyle (p,q)}$являются спинорами Вейля , и они входят в комплексно-сопряженные пары. Они естественно антикоммутируют (это следует из алгебры Клиффорда), и это именно то, что нужно, чтобы вступить в контакт с принципом исключения Паули . Другой - существование кирального элемента , аналогичного гамма-матрице, которая сортирует эти спиноры на левое и правое подпространства. Комплексификация - ключевой ингредиент, и он обеспечивает «электромагнетизм» в этом обобщенном контексте. Спиновое расслоение не «просто» преобразуется под обобщением группы Лоренца , но под большей группой, комплексной спиновой группой. Оно больше, поскольку имеет двойное покрытие.${\displaystyle \gamma _{5}}$${\displaystyle SO(p,q)}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$ к ${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

Часть может быть идентифицирована с электромагнетизмом несколько различных способами. Одним из способов является то , что операторы Дирака на спин многообразии, когда в квадрате, содержат часть с вытекающими из этой части соединения , связанное с куском. Это полностью аналогично тому, что происходит, когда квадрат обычного уравнения Дирака возводится в обычное пространство-время Минковского. Вторая подсказка состоит в том, что эта часть связана с детерминантным пучком спиновой структуры, эффективно связывая вместе левый и правый спиноры посредством комплексного сопряжения.${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle F=dA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)}$

Осталось проработать дискретные симметрии вышеупомянутой конструкции. Есть несколько, которые, по-видимому, обобщают P-симметрию и T-симметрию . Отождествляя измерения со временем, а измерения с пространством, можно перевернуть касательные векторы в размерном подпространстве, чтобы получить обращение времени, и изменение направления измерений соответствует четности. C-симметрию можно отождествить с отражением на линейном расслоении. Чтобы связать все это вместе в узел, наконец-то появилась концепция транспозиции.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$, в том, что элементы алгебры Клиффорда могут быть записаны в обратном (транспонированном) порядке. Конечный результат состоит в том, что в общую риманову постановку переходят не только идеи традиционной физики полей, но и идеи дискретных симметрий.

На это можно отреагировать двумя способами. Один - относиться к этому как к интересному курьеру. Другой - осознать, что в малых измерениях (в низкоразмерном пространстве-времени) существует множество «случайных» изоморфизмов между различными группами Ли и другими разнообразными структурами. Возможность исследовать их в общем контексте позволяет распутать эти отношения, более четко показывая, «откуда все».

Сопряжение заряда для полей Дирака [ править ]

Законы электромагнетизма (как классические, так и квантовые ) инвариантны относительно обмена электрическими зарядами с их отрицаниями. В случае электронов и кварков , оба из которых являются фермионными полями фундаментальных частиц , одночастичные полевые возбуждения описываются уравнением Дирака

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Хочется найти зарядово-сопряженное решение

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

Достаточно нескольких алгебраических манипуляций, чтобы получить второе из первого. ^{[1] [2] [3]} Стандартные описания уравнения Дирака демонстрируют сопряженное поле, интерпретируемое как поле античастиц, удовлетворяющее комплексно-транспонированному уравнению Дирака${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

Обратите внимание, что некоторые, но не все признаки изменились. Повторное транспонирование этого обратно дает почти желаемую форму при условии, что можно найти матрицу 4 × 4, которая транспонирует гамма-матрицы для вставки требуемого изменения знака:${\displaystyle C}$

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}$

Зарядово-сопряженное решение тогда дается инволюцией

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

Матрица 4 × 4, называемая матрицей зарядового сопряжения, имеет явный вид, указанный в статье о гамма-матрицах . Любопытно, что эта форма не является независимой от представления, но зависит от конкретного матричного представления, выбранного для гамма-группы (подгруппа алгебры Клиффорда, охватывающей алгебраические свойства гамма-матриц ). Эта матрица зависит от представления из-за тонкого взаимодействия, включающего комплексификацию спиновой группы, описывающей лоренцеву ковариацию заряженных частиц. Комплексное число - это произвольный фазовый множитель, обычно принимаемый равным${\displaystyle C,}$${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

Зарядовое сопряжение, хиральность, спиральность [ править ]

Взаимодействие между хиральностью и зарядовым сопряжением немного тонкое и требует артикуляции. Часто говорят, что зарядовое сопряжение не изменяет хиральность частиц. Это не относится к полям , разница возникает в интерпретации частиц "теории дыр", где античастица интерпретируется как отсутствие частицы. Об этом говорится ниже.

Обычно используется как оператор хиральности. При зарядовом сопряжении он преобразуется как${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}$

и то, равно или нет, зависит от выбранного представления для гамма-матриц. В базисе Дирака и киральном он есть , а в базисе Майорана получается. Ниже приводится рабочий пример.${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \gamma _{5}}$${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}$${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}$

Спиноры Вейля [ править ]

В случае безмассовых спинорных полей Дирака киральность равна спиральности для решений с положительной энергией (и минус спиральность для решений с отрицательной энергией). ^[a] Это можно получить, записав безмассовое уравнение Дирака в виде

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

Умножение на единицу дает${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

где есть оператор углового момента , и является полностью антисимметричным тензором . Это можно привести к немного более узнаваемой форме, определив оператор трехмерного вращения, принимающий состояние плоской волны , применив ограничение на оболочке, которое и нормализуя импульс как трехмерный единичный вектор: чтобы написать${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}$${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$${\displaystyle k\cdot k=0}$${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$

${\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

Изучая вышесказанное, можно сделать вывод, что собственные состояния углового момента ( собственные состояния спиральности ) соответствуют собственным состояниям кирального оператора . Это позволяет безмассовое поле Дирака , чтобы быть чисто разделить на пару вейлевских спиноров и каждая в отдельности , удовлетворяющая уравнению Вейля , но с противоположной энергией:${\displaystyle \psi _{\text{L}}}$${\displaystyle \psi _{\text{R}},}$

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}$

и

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}$

Обратите внимание на свободу приравнивать отрицательную спиральность к отрицательной энергии, а значит, и античастицу к частице противоположной спиральности. Для ясности, вот матрицы Паули , а - оператор импульса.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$

Зарядовое сопряжение в киральном базисе [ править ]

Взяв представление Вейля для гамма-матриц, можно записать спинор Дирака (теперь считающийся массивным) как

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Соответствующее дуальное (античастичное) поле равно

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Зарядово-сопряженные спиноры:

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

где, как и раньше, - фазовый коэффициент, который можно принять равным. Обратите внимание, что левое и правое состояния меняются местами. Это можно восстановить с помощью преобразования четности. При четности спинор Дирака преобразуется как${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

При комбинированном начислении и паритете тогда

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}$

Условно берется глобально. Однако см. Примечание ниже.${\displaystyle \eta _{c}=1}$

Состояние Майораны [ править ]

Условие майорановского накладывает ограничение между полем и его зарядом конъюгат, а именно , что они должны быть равны: Это, пожалуй , лучше всего формулируется как требование о том , что спинорная майорановском должен быть собственным состоянием заряда сопряжения инволюции.${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$

Это требует некоторой осторожности с обозначениями. Во многих текстах, обсуждающих зарядовое сопряжение, инволюции не дается явное символическое имя, когда оно применяется к одночастичным решениям уравнения Дирака. Это контрастирует со случаем, когда обсуждается квантованное поле , где определяется унитарный оператор (как это делается в следующем разделе ниже). В данном разделе пусть инволюция будет называться так, чтобы, приняв это за линейный оператор, можно было рассматривать его собственные состояния. Условие Майорана выделяет одно из таких: Однако существует два таких собственных состояния: Продолжая в базисе Вейля, как указано выше, эти собственные состояния${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

Спинор Майорана обычно рассматривается как просто положительное собственное состояние, а именно, киральный оператор меняет местами эти два, в том смысле, что${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

Это легко проверить прямой заменой. Имейте в виду , что это не имеет 4 × 4 матричное представление а! Точнее, не существует комплексной матрицы 4 × 4, которая могла бы преобразовать комплексное число в его комплексное сопряжение; для этой инверсии потребуется вещественная матрица 8 × 8. Физическая интерпретация комплексного сопряжения как зарядового сопряжения становится ясной при рассмотрении комплексного сопряжения скалярных полей, описанного в следующем разделе ниже.${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Эти проекторы на хиральных собственные состояния могут быть записаны в виде и поэтому указанные выше переводится${\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}$${\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}$

${\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}$

Это напрямую демонстрирует, что зарядовое сопряжение, примененное к одночастичным комплексным числам решений уравнения Дирака, меняет киральность решения. Проекторы на собственные подпространства зарядового сопряжения есть и${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}$${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}$

Геометрическая интерпретация [ править ]

Фазовому фактору можно дать геометрическую интерпретацию. Было замечено, что для массивных спиноров Дирака «произвольный» фазовый множитель может зависеть как от импульса, так и от спиральности (но не от хиральности). ^[b] Это можно интерпретировать как указание на то, что эта фаза может изменяться вдоль волокна спинорного пучка в зависимости от локального выбора системы координат. Другими словами, спинорное поле является локальным участком спинорного пучка, а лоренцевы бусты и повороты соответствуют движениям вдоль волокон соответствующего пучка кадров.${\displaystyle \eta _{c}}$${\displaystyle \eta _{c}}$(опять же, просто выбор локальной системы координат). Таким образом, эта дополнительная фазовая свобода может быть интерпретирована как фаза, возникающая из-за электромагнитного поля. Для спиноров Майораны фаза не должна изменяться при повышении и вращении.

Сопряжение заряда для квантованных полей [ править ]

Вышеупомянутое описывает зарядовое сопряжение только для одночастичных растворов. Когда поле Дирака подвергается вторичному квантованию , как в квантовой теории поля , спинорные и электромагнитные поля описываются операторами. Затем инволюция зарядового сопряжения проявляется как унитарный оператор, действующий на поля частиц, который выражается как ^{[c] [d]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\psi {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}{\overline {\psi }}{\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\,\psi ^{\textsf {T}}C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}A_{\mu }{\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }}$

где некаллиграфическая матрица - это та же матрица 4x4, которая указана ранее.${\displaystyle C}$

Инверсия заряда в теории электрослабого взаимодействия [ править ]

Зарядовое сопряжение не изменяет хиральность частиц. Левое нейтрино будет преобразовано зарядовым сопряжением в левое антинейтрино , которое не взаимодействует в Стандартной модели. Это свойство и подразумевается под «максимальным нарушением» C-симметрии в слабом взаимодействии.

Некоторые постулируемые расширения Стандартной модели , такие как модели слева направо , восстанавливают эту C-симметрию.

Скалярные поля [ править ]

Поле Дирака имеет «скрытую» калибровочную свободу, что позволяет ему напрямую взаимодействовать с электромагнитным полем без каких-либо дополнительных модификаций уравнения Дирака или самого поля. ^[e] Это не относится к скалярным полям , которые должны быть явно «комплексифицированы» для связи с электромагнетизмом. Это делается с помощью «натяжения» дополнительного множителя комплексной плоскости в поле или построения декартова произведения с .${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle U(1)}$

Один очень известный способ просто начать с двумя вещественными скалярными полей, а и создать линейную комбинацию${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \psi \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

Зарядовое сопряжение инволюция является тем отображением , так как это достаточно , чтобы изменить знак на электромагнитном потенциале (так как это комплексное число в настоящее время используется для соединения с ней). Для реальных скалярных полей зарядовое сопряжение - это просто карта идентичности: и поэтому для комплексного поля зарядовое сопряжение - это просто стрелка «mapsto» удобна для отслеживания того, «что и куда идет»; эквивалентная старая запись - просто написать и и${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

Выше описано обычное построение заряженного скалярного поля. Также возможно ввести дополнительную алгебраическую структуру в поля другими способами. В частности, можно определить «реальное» поле, ведущее себя как . Поскольку она реальна, она не может соединяться с электромагнетизмом сама по себе, но, будучи комплексной, может привести к заряженному полю, которое трансформируется так, как поскольку C-симметрия является дискретной симметрией , у человека есть некоторая свобода играть в такие виды алгебраических игр в поисках. для теории, которая правильно моделирует некоторую данную физическую реальность.${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$

В физической литературе такое преобразование может быть написано без каких-либо дополнительных объяснений. Формальная математическая интерпретация этого заключается в том, что поле является элементом, где. Таким образом, собственно говоря, поле должно быть записано так, как оно ведет себя при зарядовом сопряжении, поскольку очень заманчиво, но не совсем формально правильно просто умножить их, чтобы переместить вокруг расположения этого знака минус; в основном это «просто работает», но неспособность правильно отследить это приведет к путанице.${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$${\displaystyle \phi =(r,c)}$${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

Комбинация заряда и разворота паритета [ править ]

Некоторое время считалось, что C-симметрия может быть объединена с преобразованием инверсии четности (см. P-симметрию ), чтобы сохранить комбинированную CP-симметрию . Однако нарушения этой симметрии были обнаружены в слабых взаимодействиях (особенно в каонах и B- мезонах ). В Стандартной модели это CP-нарушение связано с одной фазой в матрице CKM . Если CP сочетается с обращением времени ( T-симметрия ), результирующая CPT-симметрия может быть показана с использованием только аксиом Вайтмана, которые должны соблюдаться повсеместно.

Общие настройки [ править ]

Аналог зарядового сопряжения может быть определен для гамма-матриц более высокой размерности с явной конструкцией спиноров Вейля, приведенной в статье о матрицах Вейля – Брауэра . Отметим, однако, что спиноры, как они определены абстрактно в теории представлений алгебр Клиффорда , не являются полями; скорее, их следует рассматривать как существующие в нульмерном пространстве-времени.

Аналог T-симметрии следует как оператор T-сопряжения для спиноров Дирака. Спинорам также присуща P-симметрия , полученная путем изменения направления всех базисных векторов алгебры Клиффорда, из которой построены спиноры. Связь с P- и T-симметриями для фермионного поля на пространственно-временном многообразии немного тонка, но ее можно примерно охарактеризовать следующим образом. Когда спинор строится с помощью алгебры Клиффорда, для построения требуется векторное пространство. По соглашению, это векторное пространство является касательным пространством пространственно -временного многообразия в данной фиксированной точке пространства-времени (единственный слой в касательном многообразии${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$). Операции P и T, применяемые к пространственно-временному многообразию, можно понимать как также переворачивание координат касательного пространства; таким образом, оба склеиваются. Изменение четности или направления времени в одном из них также изменяет его в другом. Это условность. Можно потерять связь, если не распространить эту связь.

Это делается путем использования касательного пространства в качестве векторного пространства , расширения его до тензорной алгебры , а затем использования внутреннего произведения в векторном пространстве для определения алгебры Клиффорда . Рассматривая каждую такую ​​алгебру как слой, мы получаем расслоение, называемое расслоением Клиффорда . При изменении базиса касательного пространства элементы алгебры Клиффорда преобразуются в соответствии со спиновой группой . Создание основного пучка волокон с помощью спиновой группы, поскольку волокно приводит к спиновой структуре .

Все, что отсутствует в вышеприведенных абзацах, - это сами спиноры . Для этого требуется «комплексификация» касательного многообразия: тензорирование его с помощью комплексной плоскости. Как только это будет сделано, можно построить спиноры Вейля . Они имеют вид

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

где - базисные векторы для векторного пространства , касательного пространства в точке на пространственно-временном многообразии Спиноры Вейля вместе с их комплексно сопряженными элементами покрывают касательное пространство в том смысле, что${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle M.}$

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

Альтернативная алгебра называется спинорным пространством , в ней живут спиноры, а также продукты спиноров (таким образом, объекты с более высокими значениями спина, включая векторы и тензоры).${\displaystyle \wedge W}$

Взять перерыв; в этом разделе следует расширить следующие утверждения:

• Препятствие для строительства спиновых структур относится к классу Штифеля-Уитни c_2
• Комплексное сопряжение меняет два спинора
• Операторы Дирака могут быть определены таким образом, чтобы квадрат лапласиана, т.е. квадрат связности Леви-Чивиты (плюс скалярная кривизна плюс кривизна линейного расслоения)
• кривизна линейного пучка явно равна F = dA, следовательно, она должна быть E&M

См. Также [ править ]

• C паритет
• Античастица
• Антивещество
• Действительно нейтральная частица

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Соцци, MS (2008). Дискретные симметрии и нарушение CP . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-929666-8.