Кластерные алгебры - это класс коммутативных колец, введенный Фоминым и Зелевинским ( 2002 , 2003 , 2007 ). Кластерная алгебра ранга n - это область целостности A вместе с некоторыми подмножествами размера n, называемыми кластерами, объединение которых порождает алгебру A и которые удовлетворяют различным условиям.
Определения
Предположим , что F является областью целостности , такие как поле Q ( х 1 , ..., х п ) от рациональных функций в п переменных над рациональными числами Q .
Кластер из ранга п состоит из множества п элементов { х , у , ...} из F , как правило , предполагается , чтобы быть алгебраически независимы множество образующих расширения поля F .
Семена состоят из кластера { х , у , ...} из F , вместе с обменом матрицей B с целыми записями Ь х , у индексируется паром элементов х , у кластера. Иногда предполагается, что матрица кососимметрична , так что b x , y = - b y , x для всех x и y . В более общем смысле матрица может быть кососимметризуемой, то есть существуют положительные целые числа d x, связанные с элементами кластера, такие, что d x b x , y = - d y b y , x для всех x и y . Обычно семя представляет собой колчан с вершинами, образующими набор, путем рисования b x , y стрелок от x к y, если это число положительно. Когда b x , y кососимметризуемы, колчан не имеет петель или 2-циклов.
Мутация семени, в зависимости от выбора вершин у кластера, является новым семенем дается обобщение наклона следующим образом . Поменяйте местами значения b x , y и b y , x для всех x в кластере. Если b x , y > 0 и b y , z > 0, то замените b x , z на b x , y b y , z + b x , z . Если b x , y <0 и b y , z <0, замените b x , z на - b x , y b y , z + b x , z . Если b x , y b y , z ≤ 0, то не меняйте b x , z . Наконец, замените y новым образующим w , где
где продукты проходят через элементы t в кластере начального числа, так что b t , y положительны или отрицательны соответственно. Обратная мутация также мутация, т.е. если является мутацией B , то B является мутацией A .
Алгебра кластера строится из исходного семени следующим образом . Если мы неоднократно изменяем семя всеми возможными способами, мы получаем конечный или бесконечный граф семян, где два семени соединены ребром, если одно можно получить путем изменения другого. Основная алгебра кластерной алгебры - это алгебра, порожденная всеми кластерами всех начальных чисел в этом графе. Кластерная алгебра также имеет дополнительную структуру начальных чисел этого графа.
Кластерная алгебра называется конечным типом, если у нее есть только конечное число начальных чисел. Фомин и Зелевинский (2003) показали, что кластерные алгебры конечного типа могут быть классифицированы в терминах диаграмм Дынкина конечномерных простых алгебр Ли .
Примеры
Кластерные алгебры ранга 1
Если { x } - это кластер начального числа ранга 1, то единственная мутация приводит его к {2 x −1 }. Таким образом, кластерная алгебра ранга 1 - это просто кольцо k [ x , x −1 ] многочленов Лорана , и в нем всего два кластера: { x } и {2 x −1 }. В частности, он имеет конечный тип и связан с диаграммой Дынкина A 1 .
Кластерные алгебры ранга 2
Предположим, что мы начинаем с кластера { x 1 , x 2 } и берем матрицу обмена с b 12 = –b 21 = 1. Тогда мутация дает последовательность переменных x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , .. .. такие, что кластеры заданы смежными парами { x n , x n +1 }. Переменные связаны соотношением
так даются последовательностью
который повторяется с периодом 5. Таким образом, эта кластерная алгебра имеет ровно 5 кластеров и, в частности, имеет конечный тип. Ему соответствует диаграмма Дынкина A 2 .
Есть аналогичные примеры с b 12 = 1, - b 21 = 2 или 3, где аналогичная последовательность кластерных переменных повторяется с периодом 6 или 8. Они также имеют конечный тип и связаны с диаграммами Дынкина B 2 и G. 2 . Однако если | b 12 b 21 | ≥ 4, то последовательность кластерных переменных непериодична и кластерная алгебра имеет бесконечный тип.
Кластерные алгебры ранга 3
Предположим, мы начали с колчана x 1 → x 2 → x 3 . Тогда 14 кластеров:
Есть 6 переменных кластера, кроме 3 исходных x 1 , x 2 , x 3, заданных формулой
- .
Они соответствуют 6 положительным корням диаграммы Дынкина A 3 : точнее, знаменатели - это мономы от x 1 , x 2 , x 3 , соответствующие выражению положительных корней в виде суммы простых корней. Кластерные переменные 3 + 6 порождают кластерную алгебру конечного типа, связанную с диаграммой Дынкина A 3 . 14 кластеров - это вершины графа кластеров, который является ассоциэдром .
Грассманианы
Простые примеры дают алгебры однородных функций на грассманианах . Эти координаты Плюккеровых обеспечивают некоторые из отмеченных элементов.
Для грассманиана плоскостей в ℂ n ситуация еще проще. В этом случае координата Плюккеровы обеспечить все отличительные элементы и кластеры могут быть полностью описаны с использованием триангуляции из более правильного многоугольника с п вершинами. Точнее, кластеры находятся во взаимно однозначном соответствии с триангуляциями, а выделенные элементы находятся во взаимно однозначном соответствии с диагоналями (отрезками прямых, соединяющих две вершины многоугольника). Можно различать диагонали на границе, принадлежащие каждому кластеру, и диагонали внутри. Это соответствует общему различию между переменными коэффициентов и переменными кластера.
Кластерные алгебры, возникающие из поверхностей
Предположим, что S - компактная связная ориентированная риманова поверхность, а M - непустое конечное множество точек в S, которое содержит хотя бы одну точку из каждой граничной компоненты S (граница S не считается ни пустой, ни непустой. ). Пару ( S , M ) часто называют окаймленной поверхностью с отмеченными точками . Фомин-Шапиро-Терстон показал, что если S не является замкнутой поверхностью или если M имеет более одной точки, то (помеченные) дуги на ( S , M ) параметризуют набор кластерных переменных определенной кластерной алгебры. A ( S , M ), который зависит только от ( S , M ) и выбора некоторой системы коэффициентов, таким образом, что множество (помеченных) триангуляций ( S , M ) находится во взаимно однозначном соответствии с набором кластеров A ( S , M ), две (помеченные) триангуляции связаны переворотом тогда и только тогда, когда кластеры, которым они соответствуют, связаны мутацией кластера.
Двойные клетки Брюа
Для G такая редуктивная группа , какс борелевскими подгруппами Затем на (где u и v находятся в группе Вейля ) есть карты координат кластера, зависящие от сокращенных разложений слов u и v . Они называются параметрами факторизации, и их структура закодирована на монтажной схеме. Только с или только , это разложение Брюа .
Рекомендации
- Беренштейн, Аркадий; Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2005), "Кластерные алгебры. III. Верхние границы и двойные ячейки Брюа", Duke Mathematical Journal , 126 (1): 1–52, arXiv : math / 0305434 , doi : 10.1215 / S0012-7094-04- 12611-9 , Руководство по ремонту 2110627
- Фомин, Сергей; Шапиро, Майкл; Терстон, Дилан (2008), «Кластерные алгебры и триангулированные поверхности, часть I: кластерные комплексы», Acta Mathematica , 201 : 83–146, arXiv : math / 0608367 , doi : 10.1007 / s11511-008-0030-7
- Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2002), «Кластерные алгебры. I. Основы», Журнал Американского математического общества , 15 (2): 497–529, arXiv : math / 0104151 , doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00385- X , MR 1887642
- Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2003), «Кластерные алгебры. II. Классификация конечных типов», Inventiones Mathematicae , 154 (1): 63–121, arXiv : math / 0208229 , Bibcode : 2003InMat.154 ... 63F , doi : 10.1007 / s00222-003-0302-у , MR 2004457
- Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2007), "Кластерные алгебры. IV. Коэффициенты", Compositio Mathematica , 143 (1): 112–164, arXiv : math / 0602259 , doi : 10.1112 / S0010437X06002521 , MR 2295199
- Фомин, Сергей; Ридинг, Натан (2007), «Корневые системы и обобщенные ассоциаэдры», Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд (ред.), Геометрическая комбинаторика , IAS / Park City Math. Сер., 13 , Провиденс, РИ: амер. Математика. Soc., ArXiv : math / 0505518 , Bibcode : 2005math ...... 5518F , ISBN 978-0-8218-3736-8, Руководство MR 2383126
- Марш, Роберт Дж. (2013), Конспекты лекций по кластерным алгебрам. , Цюрихские лекции по высшей математике, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), DOI : 10.4171 / 130 , ISBN 978-3-03719-130-9, Руководство по ремонту 3155783
- Reiten, Idun (2010), Теория наклона и кластерные алгебры , Trieste Proceedings of Workshop, arXiv : 1012.6014 , Bibcode : 2010arXiv1012.6014R
- Зелевинский, Андрей (2007), "Что такое ... кластерная алгебра?" (PDF) , Уведомления AMS , 54 (11): 1494–1495..
Внешние ссылки
- Портал кластерной алгебры Фомина
- Работы Фомина по кластерным алгебрам
- Работы Зелевинского по кластерным алгебрам