разнообразие Шуберта
В алгебраической геометрии многообразие Шуберта — это некоторое подмногообразие грассманиана , обычно с особыми точками . Подобно грассманиану, это своего рода пространство модулей , точки которого соответствуют определенным видам подпространств V , определенных с помощью линейной алгебры , внутри фиксированного векторного подпространства W. Здесь W может быть векторным пространством над произвольным полем , хотя чаще всего над комплексными числами .
Типичным примером является множество X , точки которого соответствуют тем 2-мерным подпространствам V 4-мерного векторного пространства W , что V нетривиально пересекает фиксированное (опорное) 2-мерное подпространство W 2 :
Над полем вещественных чисел это можно изобразить в обычном xyz - пространстве следующим образом. Заменяя подпространства соответствующими им проективными пространствами и пересекаясь с аффинным координатным участком , мы получаем открытое подмножество X ° ⊂ X . Это изоморфно набору всех прямых L (не обязательно через начало координат), которые пересекают ось x . Каждая такая линия L соответствует точке X °, а непрерывно движущаяся L в пространстве (при сохранении контакта с осью x ) соответствует кривой в X °. Так как в движении есть три степени свободыL (перемещение точки по оси x , вращение и наклон), X — трехмерное вещественное алгебраическое многообразие . Однако, когда L равна оси x , его можно вращать или наклонять вокруг любой точки на оси, и этот избыток возможных движений делает L особой точкой X.
В более общем смысле многообразие Шуберта определяется указанием минимальной размерности пересечения между k -мерным V и каждым из пространств в фиксированном ссылочном флаге , где . (В приведенном выше примере это означало бы необходимость определенных пересечений линии L с осью x и плоскостью xy .)
В еще большей общности для полупростой алгебраической группы G с борелевской подгруппой B и стандартной параболической подгруппой P известно, что однородное пространство X = G / P , являющееся примером многообразия флагов , состоит из конечного числа B -орбиты, которые могут быть параметризованы некоторыми элементами группы Вейля W . Замыкание B -орбиты, связанной с элементом w группы Вейля, обозначается X w и называется многообразием Шуберта вГ / П . Классический случай соответствует G = SL n и P является k -й максимальной параболической подгруппой группы G .
Многообразия Шуберта образуют один из наиболее важных и наиболее изученных классов сингулярных алгебраических многообразий . Определенную меру сингулярности многообразий Шуберта обеспечивают полиномы Каждана–Люстига , которые кодируют их локальные когомологии пересечения Горески–Макферсона .