В теории групп , области математики , двойной класс смежности - это набор элементов группы, которые эквивалентны симметриям, исходящим от двух подгрупп . [1] [2] Точнее, пусть G - группа, а H и K - подгруппы. Пусть H действует на G левым умножением, а K действует на G правым умножением. Для каждого х в G , то ( Н , К )-двойной смежный класс x - это множество
Когда H = K , это называется H -двойным смежным классом x . Эквивалентно, HxK является классом эквивалентности из й под отношением эквивалентности
- x ~ y тогда и только тогда, когда существуют h в H и k в K такие, что hxk = y .
Множество всех двойных смежных классов обозначается через
Характеристики
Предположим, что G - группа с подгруппами H и K, действующими посредством левого и правого умножения соответственно. ( Н , К ) -двойные смежные классы G может быть эквивалентным образом описан как орбиты для группы продуктов Н × K , действующей на G с помощью ( ч , к ) ⋅ х = hxk -1 . Многие из основных свойств двойных классов смежности непосредственно следуют из того факта, что они являются орбитами. Однако, поскольку G - группа, а H и K - подгруппы, действующие путем умножения, двойные смежные классы более структурированы, чем орбиты произвольных групповых действий , и у них есть дополнительные свойства, которые ложны для более общих действий.
- Два двойных смежных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо идентичны.
- G - несвязное объединение своих двойных смежных классов.
- Существует соответствие один к одному между двумя двойными смежными классами пространств Н \ G / K и K \ G / H , данными идентификации HxK с Kx -1 H .
- Если Н = {1} , то Н \ G / K = G / K . Если K = {1} , то Н \ С / К = Н \ С .
- Двойной смежный класс HxK - это объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K ; конкретно,
- Множество ( H , K ) -двойных смежных классов находится в биекции с орбитами H \ ( G / K ) , а также с орбитами ( H \ G ) / K при отображениях а также соответственно.
- Если H является нормальным , то H \ G является группой, а правое действие K на этой группе факторов через правое действие Н \ HK . Отсюда следует, что H \ G / K = G / HK . Аналогично, если К нормально, то Н \ G / K = HK \ G .
- Если H - нормальная подгруппа группы G , то H -двойные классы смежности находятся во взаимно однозначном соответствии с левыми (и правыми) H- смежными классами.
- Рассмотрим HxK как объединение K -орбиты правых H- смежных классов. Стабилизатором правого H- класса Hxk ∈ H \ HxK относительно правого действия группы K является K ∩ ( xk ) −1 Hxk . Аналогично, стабилизатор левого K- класса hxK ∈ HxK / K относительно левого действия H равен H ∩ hxK ( hx ) −1 .
- Отсюда следует, что количество правых смежных классов H, содержащихся в HxK, является индексом [ K : K ∩ x −1 Hx ], а количество левых смежных классов K, содержащихся в HxK, является индексом [ H : H ∩ xKx −1 ] . Следовательно
- Если G , H и K конечны, то также следует, что
- Зафиксируем x в G , и пусть ( H × K ) x обозначает двойной стабилизатор {( h , k ): hxk = x }. Затем двойной стабилизатор является подгруппой H × K .
- Поскольку G - группа, для каждого h в H существует ровно один g в G такой, что hxg = x , а именно g = x −1 h −1 x ; Однако, г не может быть в K . Аналогичным образом , для каждого к в K существует ровно один г ' в G таким образом, что г ' хк = х , но г ' не может быть в H . Поэтому двойной стабилизатор имеет описание
- ( Теорема об орбите – стабилизаторе ) Существует биекция между HxK и ( H × K ) / ( H × K ) x, при которой hxk соответствует ( h , k −1 ) ( H × K ) x . Отсюда следует, что если G , H и K конечны, то
- ( Лемма Коши – Фробениуса ) Обозначим через G ( h , k ) элементы, фиксированные действием ( h , k ) . потом
- В частности, если G , H и K конечны, то количество двойных смежных классов равно среднему количеству точек, фиксируемых на пару элементов группы.
Существует эквивалентное описание двойных смежных классов в терминах одинарных классов смежности. Пусть H и K оба действуют путем умножения справа на G . Тогда G действует левым умножением на произведение смежных классов пространств G / H × G / K . Орбиты этого действия находятся во взаимно однозначное соответствие с H \ G / K . Это соответствие отождествляет ( xH , yK ) с двойным смежным классом Hx −1 yK . Вкратце, это происходит потому , что каждый G -орбите допускает представителей вида ( Н , Xk ) , и представитель х определяется только до левого умножения на элемент из H . Аналогичным образом , G действует правым умножением на Н \ G × K \ G , и орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с двойными классами Н \ G / K . Концептуально это отождествляет двойное смежное пространство H \ G / K с пространством относительных конфигураций H- смежного класса и K- смежного класса. Кроме того, эта конструкция обобщается на случай любого числа подгрупп. Для подгрупп H 1 , ..., H n пространство ( H 1 , ..., H n ) -многомножеств - это множество G -орбит группы G / H 1 × ... × G / H n .
Аналог теоремы Лагранжа для двойных смежных классов неверен. Это означает , что размер двойной потребности косает не делит порядок G . Например, пусть G = S 3 - симметрическая группа из трех букв, а H и K - циклические подгруппы, порожденные транспозициями (1 2) и (1 3) соответственно. Если e обозначает тождественную перестановку, то
У него четыре элемента, и четыре не делят шесть, порядок S 3 . Также неверно, что разные двойные смежные классы имеют одинаковый размер. Продолжая тот же пример,
который имеет два элемента, а не четыре.
Однако предположим, что H нормальный. Как отмечалось ранее, в этом случае двойное смежное пространство равно левому смежному пространству G / HK . Аналогично, если K нормален, то H \ G / K является правым смежным класс пространства HK \ G . Из стандартных результатов о левом и правом смежных пространствах вытекают следующие факты.
- | HxK | = | HK | для всех х в G . То есть все двойные классы смежности имеют одинаковую мощность.
- Если G конечно, то | G | = | HK | ⋅ | H \ G / K | . В частности, | HK | и | H \ G / K | разделить | G | .
Примеры
- Пусть G = S n - симметрическая группа, рассматриваемая как перестановки множества {1, ..., n }. Рассмотрим подгруппу H = S n −1, стабилизирующую n . Тогда S n −1 \ S n / S n −1 состоит из двух двойных смежных классов. Один из них - H = S n −1 . Если γ - перестановка, которая не фиксирует n , то другой смежный класс представлен как S n −1 γ S n −1 .
- Пусть G - группа GL n ( R ) , а B - подгруппа верхнетреугольных матриц . Пространство двойных смежных классов B \ G / B является разложение Брюа в G . Каждый двойной смежный класс имеет репрезентативный BwB , где w - матрица перестановок . Например, если n = 2 , то
Произведения в свободной абелевой группе на множестве двойных классов смежности
Предположим, что G группа, а H , K и L подгруппы. При определенных условиях конечности существует произведение на свободной абелевой группе, порожденное ( H , K ) - и ( K , L ) -двойными смежными классами, со значениями в свободной абелевой группе, порожденной ( H , L ) -двойными смежными классами . Это означает, что существует билинейная функция
Предположим для простоты, что G конечна. Чтобы определить произведение, переинтерпретируйте эти свободные абелевы группы в терминах групповой алгебры группы G следующим образом. Каждый элемент Z [ H \ G / K ] имеет вид
где { F HxK } представляет собой набор целых чисел , индексированных элементами Н \ G / K . Этот элемент можно интерпретировать как Z -значную функцию на H \ G / K , в частности, HxK ↦ f HxK . Эта функция может быть возвращена по проекции G → H \ G / K, которая отправляет x двойному классу смежности HxK . Это приводит к функции x ↦ f HxK . Кстати , в которой была построена эта функция, то левый инвариантна относительно Н и правоинвариантно при K . Соответствующий элемент групповой алгебры Z [ G ] равен
и этот элемент инвариантен относительно левого умножения на Н и правого умножения на K . Концептуально этот элемент получается заменой HxK элементами, которые он содержит, а конечность G гарантирует, что сумма все еще конечна. Наоборот, каждый элемент Z [ G ], который инвариантен слева относительно H и инвариантен справа относительно K, является обратным образом функции на Z [ H \ G / K ] . Параллельные утверждения верны для Z [ K \ G / L ] и Z [ H \ G / L ] .
Когда элементы Z [ H \ G / K ] , Z [ K \ G / L ] и Z [ H \ G / L ] интерпретируются как инвариантные элементы Z [ G ] , то произведение, существование которого утверждалось выше, является в точности умножение в Z [ G ] . В самом деле, легко проверить, что произведение лево- H -инвариантного элемента и правого- L- инвариантного элемента остается лево- H -инвариантным и право- L -инвариантным. Билинейность произведения немедленно следует из билинейности умножения в Z [ G ] . Отсюда также следует, что если M - четвертая подгруппа группы G , то произведение ( H , K ) -, ( K , L ) - и ( L , M ) -двойных смежных классов ассоциативно. Поскольку произведение в Z [ G ] соответствует свертке функций на G , это произведение иногда называют произведением свертки.
Важный частный случай , когда Н = К = л . В этом случае произведение представляет собой билинейную функцию
Это произведение превращает Z [ H \ G / H ] в ассоциативное кольцо , единичным элементом которого является класс тривиального двойного смежного класса [ H ] . В общем случае это кольцо некоммутативно . Например, если H = {1} , то кольцо является групповой алгеброй Z [ G ] , а групповая алгебра является коммутативным кольцом тогда и только тогда, когда основная группа абелева .
Если H нормален, так что H -двойные классы смежности совпадают с элементами фактор-группы G / H , то произведение на Z [ H \ G / H ] является произведением в групповой алгебре Z [ G / H ] . В частности, это обычная свертка функций на G / H . В этом случае кольцо является коммутативным тогда и только тогда , когда G / H абелева, или , что эквивалентно, тогда и только тогда , когда Н содержит коммутант из G .
Если Н не является нормальным, то Z [ H \ G / H ] может быть коммутативным , даже если G является неабелев . Классический пример - произведение двух операторов Гекке . Это произведение в алгебре Гекке, которая является коммутативной, даже если группа G является модулярной группой , которая неабелева, а подгруппа является арифметической подгруппой и, в частности, не содержит коммутаторной подгруппы. Коммутативность продукта свертки тесно связана с парами Гельфанда .
Когда группа G является топологической группой , можно ослабить предположение, что число левых и правых смежных классов в каждом двойном смежном классе конечно. Групповая алгебра Z [ G ] заменяется алгеброй функций, таких как L 2 ( G ) или C ∞ ( G ) , а суммы заменяются интегралами . Изделие по-прежнему соответствует свертке. Например, это происходит для алгебры Гекке локально компактной группы .
Приложения
Когда группа имеет транзитивное групповое действие на множестве, вычисляя некоторые двойные разложения смежных классов раскрывает дополнительную информацию о структуре действия на . В частности, если стабилизирующая подгруппа некоторого элемента , тогда разлагается как ровно два двойных смежных класса по если и только если действует транзитивно на множестве различных пар . См. 2-транзитивные группы для получения дополнительной информации об этом действии.
Двойные классы смежности имеют важное значение в связи с теорией представлений , когда представление H используется для построения индуцированного представления о G , который затем запретной для K . Соответствующая двойная структура смежного класса несет информацию о том, как разлагается полученное представление. В случае конечных групп это теорема Макки о разложении .
Они также важны в функциональном анализе , где в некоторых важных случаях функции, левоинвариантные и правоинвариантные по подгруппе K, могут образовывать коммутативное кольцо при свертке : см. Пару Гельфанда .
В геометрии форма Клиффорда – Клейна - это двойное пространство смежных классов Γ \ G / H , где G - редуктивная группа Ли , H - замкнутая подгруппа, а Γ - дискретная подгруппа (группы G ), которая действует должным образом разрывно на однородной пространство G / Н .
В теории чисел , то алгебра Гекка соответствующей конгруэнцпроблем Г из модулярной группы натянута на элементах двойного пространства косает; структура алгебры получена в результате умножения двойных смежных классов, описанных выше. Особое значение имеют операторы Гекке соответствующие двойным классам смежности или же , где (они имеют разные свойства в зависимости от того, являются ли m и N взаимно простыми или нет), а алмазные операторы заданные двойными смежными классами где и мы требуем (выбор a , b , c не влияет на ответ).
Рекомендации
- Перейти ↑ Hall, Jr., Marshall (1959), Theory of Groups , New York: Macmillan, pp. 14-15
- ^ Бехтелл, Гомер (1971), Теория групп , Аддисон-Уэсли, стр. 101