В математике , А пара Гельфанд является парой (G, K) , состоящий из группы G и подгруппы K ( так называемого Эйлер подгруппа из G ) , которая удовлетворяет некоторому собственности на ограниченных представлениях . Теория пар Гельфанда тесно связана с темой сферических функций в классической теории специальных функций и с теорией римановых симметрических пространств в дифференциальной геометрии . Вообще говоря, теория существует для того, чтобы абстрагироваться от этих теорий, их содержание с точки зрениягармонический анализ и теория представлений .
Когда G - конечная группа, простейшее определение, грубо говоря, состоит в том, что (K, K) -двойные классы смежности в G коммутируют. Точнее говоря, алгебра Гекке , алгебра функций на G , инвариантных относительно сдвига с обеих сторон К , должна быть коммутативной для свертки на G .
В целом, определение Гельфанд пара не грубо , что ограничение на K любого неприводимого представления из G содержит тривиальное представление о K с кратностью не более 1. В каждом случае следует указать класс рассматриваемых представлений и значение содержит .
Определения
В каждой области класс представлений и определение включения представлений немного различаются. Здесь даны явные определения для нескольких таких случаев.
Конечный групповой случай
Когда G - конечная группа, следующие утверждения эквивалентны
- (G, K) пара Гельфанда.
- Алгебра (K, K) -двойных инвариантных функций на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
- Для любого неприводимого представления П о G , пространство П К о К - инвариантные векторы в П нет-больше, чем 1-мерный.
- Для любого неприводимого представления π группы G размерность Hom K ( π , C ) меньше или равна 1, где C обозначает тривиальное представление .
- Подстановочное представление о G на смежных классах K является кратностью свободной, то есть, он разлагается в прямую сумму четких абсолютно неприводимых представлений в характеристике нуля.
- Центратор алгебра ( Щур алгебра ) представления перестановок является коммутативной .
- ( G / Н , К / Н ) представляет собой пару Гельфанд, где Н является нормальная подгруппа из G , содержащаяся в K .
Компактный групповой корпус
Когда G - компактная топологическая группа, следующие условия эквивалентны:
- (G, K) пара Гельфанда.
- Алгебра (K, K) -двойных инвариантных непрерывных мер с компактным носителем на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
- Для любого непрерывного , локально выпуклого , неприводимого представления П о G , пространства П К о К - инвариантные векторы в П нет-больше, чем 1-мерный.
- Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π группы G размерность Hom K ( π , C ) меньше или равна 1.
- Представление L 2 (G / K) группы G не имеет кратностей, т. Е. Представляет собой прямую сумму различных унитарных неприводимых представлений.
Группа Ли с компактной подгруппой
Когда G - группа Ли, а K - компактная подгруппа, следующие утверждения эквивалентны:
- (G, K) пара Гельфанда.
- Алгебра (K, K) -двойных инвариантных непрерывных мер с компактным носителем на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
- Алгебра D (G / K) K из K -инвариантных дифференциальных операторов на G / K коммутативности.
- Для любого непрерывного , локально выпуклого , неприводимого представления П о G , пространства П К о К - инвариантные векторы в П нет-больше, чем 1-мерный.
- Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π группы G размерность Hom K ( π , C ) меньше или равна 1.
- Представление L 2 (G / K) группы G не имеет кратностей, т. Е. Является прямым интегралом различных унитарных неприводимых представлений.
Для классификации таких пар Гельфанда см. [1]
Классическими примерами таких пар Гельфанда являются (G, K) , где G - редуктивная группа Ли, а K - максимальная компактная подгруппа .
Локально компактная топологическая группа с компактной подгруппой
Когда G - локально компактная топологическая группа, а K - компактная подгруппа, следующие утверждения эквивалентны:
- (G, K) пара Гельфанда.
- Алгебра (K, K) -двойных инвариантных непрерывных мер с компактным носителем на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
- Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимых представлений П о G , пространства П К о К - инвариантные векторы в П нет-больше, чем 1-мерный.
- Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π группы G размерность Hom K ( π , C ) меньше или равна 1.
- Представление L 2 (G / K) группы G не имеет кратностей, т. Е. Является прямым интегралом различных унитарных неприводимых представлений.
В этой установке, G имеет Ивасав - Моно разложение, а именно G = KP для некоторых аменабельной подгруппы P из G . [2] Это абстрактный аналог разложения Ивасавов из полупростых групп Ли .
Группа Ли с замкнутой подгруппой
Когда G - группа Ли, а K - замкнутая подгруппа , пара (G, K) называется обобщенной парой Гельфанда, если для любого неприводимого унитарного представления π группы G в гильбертовом пространстве размерность Hom K ( π , C ) равна меньше или равно 1, где π ∞ обозначает подпредставление гладких векторов .
Редуктивная группа над локальным полем с замкнутой подгруппой
Когда G - редуктивная группа над локальным полем, а K - замкнутая подгруппа, в литературе появляются три (возможно, неэквивалентные) понятия пары Гельфанда. Мы назовем их здесь GP1, GP2 и GP3.
GP1) Для любого неприводимого допустимого представления π группы G размерность Hom K ( π , C ) меньше или равна 1.
GP2) Для любого неприводимого допустимого представления π группы G имеем, где обозначает гладкое двойственное .
GP3) Для любого неприводимого унитарного представления π группы G в гильбертовом пространстве размерность Hom K ( π , C ) меньше или равна 1.
Здесь допустимое представление - это обычное понятие допустимого представления, когда локальное поле неархимедово. Когда локальное поле архимедово, допустимое представление вместо этого означает гладкое представление Фреше умеренного роста, такое что соответствующий модуль Хариш-Чандры допустим .
Если локальное поле архимедово, то GP3 совпадает с обобщенным свойством Гельфанда, определенным в предыдущем случае.
Ясно, что GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3.
Сильные пары Гельфанда
Пара (G, K) называется сильной парой Гельфанда, если пара ( G × K , Δ K ) является парой Гельфанда, где Δ K ≤ G × K - диагональная подгруппа: { (k, k) в G × K : k в K }. Иногда это свойство также называют свойством кратности один .
В каждом из перечисленных случаев можно адаптировать к сильным парам Гельфанда. Например, пусть G - конечная группа. Тогда следующие эквивалентны.
- (G, K) - сильная пара Гельфанда.
- Алгебра функций на G, инвариантная относительно сопряжения с помощью K (с умножением, определяемым сверткой), коммутативна.
- Для любого неприводимого представления π группы G и τ группы K пространство Hom K ( τ , π ) не более чем 1-мерно.
- Для любого неприводимого представления π группы G и τ группы K пространство Hom K ( π , τ ) не более чем 1-мерно.
Критерии собственности Гельфанда
Локально компактная топологическая группа с компактной подгруппой
В этом случае существует классический критерий Гельфанда для того, чтобы пара (G, K) была Гельфандом: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G st, любой (K, K) двойной смежный класс является σ- инвариантным. Тогда пара (G, K) - пара Гельфанда.
Этот критерий эквивалентен следующему: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G такой, что любая функция на G, инвариантная как относительно правого, так и левого сдвигов на K, является σ- инвариантной. Тогда пара (G, K) - пара Гельфанда.
Редуктивная группа над локальным полем с замкнутой подгруппой
В этом случае существует критерий Гельфанда и Каждана, согласно которому пара (G, K) удовлетворяет GP2. Предположим , что существует инволютивную анти - автоморфизм сг из G такой , что любая (K, K) -double инвариантное распределение на G является σ -инвариантным. Тогда пара (G, K) удовлетворяет GP2. Видеть. [3] [4] [5]
Если приведенное выше утверждение верно только для положительно определенных распределений, то пара удовлетворяет GP3 (см. Следующий случай).
Свойство GP1 часто следует из GP2. Например, это имеет место , если существует инволютивный анти - автоморфизм из G , сохраняющая K и сохраняет каждый замкнутый класс сопряженности. При G = GL ( n ) такой инволюцией может служить транспозиция.
Группа Ли с замкнутой подгруппой
В этом случае существует следующий критерий того, что пара (G, K) является обобщенной парой Гельфанда. Предположим , что существует инволютивную анти - автоморфизм сг из G - го любого K × K инвариантное положительно определенная распределение на G является σ -инвариантным. Тогда пара (G, K) является обобщенной парой Гельфанда. Видеть. [6]
Критерии сильной собственности Гельфанда
Все вышеперечисленные критерии могут быть превращены в критерий для сильных пар Гельфанда путем замены двусторонний действия K × K с помощью конъюгации действия K .
Скрученные пары Гельфанда
Обобщением понятия пары Гельфанда является понятие скрученной пары Гельфанда. А именно пара (G, K) называется скрученной парой Гельфанда относительно характера χ группы K , если свойство Гельфанда выполняется при замене тривиального представления на характер χ. Например, в случае, когда K компактно, это означает, что размерность Hom K (π, χ)) меньше или равна 1. Критерий для пар Гельфанда можно адаптировать к случаю скрученных пар Гельфанда.
Симметричные пары
Свойству Гельфанда часто удовлетворяют симметричные пары .
Пара (G, K) называется симметричной парой, если существует инволютивный автоморфизм θ группы G такой, что K является объединением компонент связности группы θ -инвариантных элементов: G θ .
Если G - связная редуктивная группа над R и K = G θ - компактная подгруппа, то (G, K) пара Гельфанда. Пример: G = GL ( n , R ) и K = O ( n , R ), подгруппа ортогональных матриц.
Вообще, это интересный вопрос, когда симметрическая пара редуктивной группы над локальным полем обладает свойством Гельфанда. Для симметричных пар ранга один этот вопрос был исследован в [7] и [8]
Примером симметричной пары Гельфанда высокого ранга является (GL ( n + k ), GL ( n ) × GL ( k )). Это было доказано в [9] над неархимедовыми локальными полями, а затем в [10] для всех локальных полей нулевой характеристики .
Подробнее об этом вопросе для симметричных пар высокого ранга см. [11]
Сферические пары
В контексте алгебраических групп аналоги пар Гельфанда называются сферическими парами . А именно, пара (G, K) алгебраических групп называется сферической парой, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий.
- Там существует открытый (В, К) -двойный смежный класс в G , где В является подгруппой Борель из G .
- В G существует конечное число (B, K) -двойных смежных классов.
- Для любого алгебраического представления π группы G имеем dim.
В этом случае пространство G / H называется сферическим .
Предполагается, что любая сферическая пара (G, K) над локальным полем удовлетворяет следующей слабой версии свойства Гельфанда: для любого допустимого представления π группы G пространство Hom K ( π , C ) конечномерно. Более того, оценка этой размерности не зависит от π . Эта гипотеза доказана для большого класса сферических пар, включая все симметричные пары . [12]
Приложения
Классификация
Пары Гельфанда часто используются для классификации неприводимых представлений следующим образом: Пусть (G, K) пара Гельфанда. Неприводимое представление группы G, называемое K -различимым, если Hom K ( π , C ) одномерно. Представление IndG
K( C ) является моделью для всех K -различимых представлений, т.е. любое K -различимое представление появляется там с кратностью ровно 1. Аналогичное понятие существует для скрученных пар Гельфанда.
Пример: если G - редуктивная группа над локальным полем, а K - ее максимальная компактная подгруппа, то K выделенных представлений называются сферическими , такие представления могут быть классифицированы через соответствие Сатаке . Понятие сферического представления лежит в основе понятия модуля Хариш-Чандры .
Пример: если G - расщепляемая редуктивная группа над локальным полем, а K - ее максимальная унипотентная подгруппа, то пара (G, K) является скрученной парой Гельфанда относительно любого невырожденного характера ψ (см. [3] [13] ). В этом случае K -различные представления называются генерическими (или невырожденными), и их легко классифицировать. Почти любое неприводимое представление является общим. Единственное (с точностью до скаляра) вложение общего представления в IndG
K(ψ) называется моделью Уиттекера .
В случае G = GL ( n ) существует более тонкая версия приведенного выше результата, а именно, существует конечная последовательность подгрупп K i и характеровst ( G , K i ) - скрученная пара Гельфанда относительнои любое неприводимое унитарное представление K i выделено ровно для одного i (см. [14] [15] )
Конструкция Гельфанда – Цейтлина.
Можно также использовать пары Гельфанда для построения базисов неприводимых представлений: предположим, что у нас есть последовательность {1} ⊂ G 1 ⊂ ... ⊂ G n st (G i , G i-1 ) - сильная пара Гельфанда. Для простоты предположим, что G n компактна. Тогда это дает каноническое разложение любого неприводимого представления группы G n на одномерные подпредставления. При G n = U ( n ) (унитарная группа) эта конструкция называется базисом Гельфанда Цейтлина . Поскольку представления U ( n ) такие же, как алгебраические представления GL ( n ), мы также получаем базис любого алгебраического неприводимого представления GL ( n ). Однако следует помнить, что построенный базис не является каноническим, поскольку зависит от выбора вложений U ( i ) ⊂ U ( i + 1 ).
Расщепление периодов автоморфных форм
В последнее время пары Гельфанда используются для разделения периодов автоморфных форм .
Пусть G редуктивная группа , определенная над глобальным полем F , и пусть K алгебраическая подгруппа G . Предположим, что для любого места из F пара ( G , К ) является Гельфанд пара над завершением . Пусть m - автоморфная форма над G , тогда ее H -период расщепляется как произведение локальных факторов (т. Е. Факторов, которые зависят только от поведения m в каждом месте).
Теперь предположим, что нам дано семейство автоморфных форм с комплексным параметром s . Тогда период этих форм представляет собой аналитическую функцию, которая распадается на продукт локальных факторов. Часто это означает, что эта функция является определенной L-функцией, и это дает аналитическое продолжение и функциональное уравнение для этой L-функции.
Замечание: обычно эти периоды не сходятся, и их следует упорядочить.
Обобщение теории представлений
Возможный подход к теории представлений является рассмотрение теории представлений группы G в качестве гармонического анализа на группе G WRT два односторонних действий G × G . В самом деле, знать все неприводимые представления о G эквивалентен знать разложение пространства функций на G как G × G представление. В этом подходе теорию представлений можно обобщить, заменив пару (G × G, G) любой сферической парой (G, K) . Тогда мы будем привели к вопросу гармонического анализа на пространстве G / K WRT действия G .
Теперь свойство Гельфанда для пары (G, K) является аналогом леммы Шура .
Используя этот подход, можно взять любые концепции теории представлений и обобщить их на случай сферической пары. Например, формула относительного следа получается из формулы следа с помощью этой процедуры.
Примеры
Конечные группы
Вот несколько распространенных примеров пар Гельфанда:
- (Sym ( n +1), Sym ( n )), симметрическая группа, действующая на n +1 точках, и стабилизатор точки, который естественно изоморфен на n точках.
- (AGL ( n , q ), GL ( n , q )), аффинная (общая линейная) группа и стабилизатор точки, естественным образом изоморфный общей линейной группе .
Если (G, K) является парой Гельфанда, то ( G / Н , К / Н ) является Гельфанд пара для каждого G - нормальная подгруппа N из K . Для многих целей достаточно рассматривать K без каких-либо таких нетождественных нормальных подгрупп. Действие G на смежных классов K , таким образом , верен, так что один затем смотрит на группы перестановок G со стабилизаторами точки K . Быть парой Гельфанда эквивалентнодля любого х из Irr ( G ). Спо Фробениусу взаимности иявляется характером действия перестановки, группа перестановок определяет пару Гельфанда тогда и только тогда, когда символ перестановки является так называемым символом перестановки без кратности . Такие символы перестановки без множественности были определены для спорадических групп в ( Breuer & Lux 1996 ).
Это порождает класс примеров конечных групп с парами Гельфанда: 2-транзитивные группы . Группа подстановок G является 2-транзитивной, если стабилизатор K точки действует транзитивно на остальные точки. В частности, G - симметрическая группа на n +1 точках и K - симметрическая группа на n точках, образует пару Гельфанда для любого n ≥1. Это следует потому, что характер 2-транзитивного действия перестановки имеет вид 1+ χ для некоторого неприводимого характера χ и тривиального характера 1 ( Isaacs 1994 , p. 69).
В самом деле, если G - транзитивная группа подстановок, у которой стабилизатор точки K имеет не более четырех орбит (включая тривиальную орбиту, содержащую только стабилизированную точку), то ее кольцо Шура коммутативно и (G, K) является парой Гельфанда ( Wielandt 1964 , стр.86). Если G является примитивной группой степени два раза простого с точкой стабилизатора K , а затем снова (G, K) является парой Гельфанда, ( Виландт 1964 , стр. 97).
Пары Гельфанда (Sym ( n ), K ) были классифицированы в ( Saxl, 1981 ). Грубо говоря, K должна содержаться как подгруппа малого индекса в одной из следующих групп, если n меньше 18: Sym ( n - k ) × Sym ( k ), Sym ( n / 2) wr Sym (2), Sym (2) wr Sym ( n / 2) для четного n , Sym ( n - 5) × AGL (1,5), Sym ( n - 6) × PGL (2,5) или Sym ( n - 9) × PΓL (2,8). Также были исследованы пары Гельфанда для классических групп.
Симметричные пары с компактным K
- (GL ( n , R ), O ( n , R ))
- (GL ( n , C ), U ( n ))
- (O ( n + k , R ), O ( n , R ) × O ( k , R ))
- (U ( n + k ), U ( n ) × U ( k ))
- (G, K), где G - редуктивная группа Ли, а K - максимальная компактная подгруппа .
Симметричные пары Гельфанда ранга один
Пусть F быть локальное поле в характеристике нуль.
- (SL ( n + 1, F ), GL ( n, F )) для n > 5.
- (Sp ( 2n + 2, F ), Sp ( 2n, F )) × Sp (2, F )) для n > 4.
- (SO ( V ⊕ F ), SO ( V )), где V - векторное пространство над F с невырожденной квадратичной формой .
Симметричные пары высокого ранга
Пусть F быть локальное поле в характеристике нуль. Пусть G будет редуктивная группа над F . Ниже приведены примеры симметричных пар Гельфанда высокого ранга:
- ( G × G, ΔG ): следует из леммы Шура .
- (GL ( n + k, F ), GL ( n, F ) × GL ( k, F )). [9] [10]
- (GL (2 n , F ), Sp (2 n , F )). [16] [17]
- (O ( n + k , C ), O ( n , C ) × O ( k , C )). [18]
- (GL ( n , C ), O ( n , C )). [18]
- (GL ( N, E ), GL ( N, F )), где Е представляет собой квадратичное расширение F . [11] [19]
Сильные пары Гельфанда
Следующие пары являются сильными парами Гельфанда:
- (Sym ( п + 1), Sym ( п )), это доказано с помощью инволютивную анти - автоморфизм г ↦ г -1 .
- (GL ( п + 1, Р ), GL ( N, F )) , где Р представляет собой локальное поле в характеристике нуль. [20] [21] [22]
- (O ( V ⊕ F ), O ( V )) где V - векторное пространство над F с невырожденной квадратичной формой . [20] [22]
- U ( V ⊕ E ), U ( V )), где E - квадратичное расширение F, а V - векторное пространство над E с невырожденной эрмитовой формой . [20] [22]
Эти четыре примера можно перефразировать как утверждение, что следующие пары являются парами Гельфанда:
- (Sym ( n +1) × Sym ( n ), Δ Sym ( n )).
- (GL ( n + 1, F ) × GL ( n, F ), Δ GL ( n, F ))
- (O ( V ⊕ F ) × O ( V ), Δ O ( V ))
- (U ( V ⊕ E ) × U ( V ), Δ U ( V ))
Смотрите также
- сферическая функция
- Симметричная пара
- Сферическая пара
Заметки
- ^ О. Якимов. Пары Гельфанда , кандидатская диссертация подана в Боннский университет.
- ^ Николя Моно , "пары Гельфанда допускают разложение Ивасавы". arXiv : 1902.09497
- ^ a b Исраэль Гельфанд , Давид Каждан , Представления группы GL (n, K), где K - локальное поле, группы Ли и их представления (Proc. Summer School, Bolyai János Math. Soc., Budapest, 1971), стр. 95--118. Холстед, Нью-Йорк (1975).
- ^ А. Айзенбуд, Д. Гуревич, Э. Саяг: (GL_ {n + 1} (F), GL_n (F)) пара Гельфанда для любого локального поля F. arXiv : 0709.1273
- ^ Солнце, Биньонг ; Чжу, Чен-Бо (2011), «Общая форма критерия Гельфанда-Каждана», Manuscripta Math. , 136 (1-2): 185-197, Arxiv : 0903,1409 , DOI : 10.1007 / s00229-011-0437-х , MR 2820401
- ^ EGF Thomas, Теорема Бохнера-Шварца-Годема для обобщенных пар Гельфанда, Функциональный анализ: обзоры и результаты III, Бирстедт, К.Д., Фухштайнер, Б. (ред.), Elsevier Science Publishers BV (Северная Голландия), (1984) .
- ^ Г. ван Дейк. Об одном классе обобщенных пар Гельфанда, Матем. Z. 193, 581-593 (1986).
- ^ Босман, EPH; Ван Дейк, Г. (1994). «Новый класс пар Гельфанда». Geometriae Dedicata . 50 (3): 261–282. DOI : 10.1007 / bf01267869 .
- ^ a b Эрве Жаке , Стивен Раллис , Единственность линейных периодов. , Compositio Mathematica, том 102, № 1, стр. 65-123 (1996).
- ^ a b А. Айзенбуд, Д. Гуревич, Архимедов аналог теоремы Жаке - Раллиса. arXiv : 0709.1273
- ^ a b А. Айзенбуд, Д. Гуревич, Обобщенный спуск Хариш-Чандры и приложения к парам Гельфанда. arXiv : 0803.3395
- ^ Яннис Sakellaridis и Акшай Venkatesh , «Периоды и гармонический анализ на сферических многообразиях». arXiv : 1203.0039
- ^ Джозеф Шалика , Теорема кратности один для GL n , Ann. математики. 100 (1974) 171–193. МИСТЕР348047
- ^ Омер Оффен, Эйтан Саяг, Глобальные смешанные периоды и локальные модели Клячко для общей линейной группы, arXiv : 0710.3492
- ^ Омер Оффен, Эйтан Саяг, УНИКАЛЬНОСТЬ И РАЗЪЕДИНЕННОСТЬ МОДЕЛЕЙ КЛЯЧКО, arXiv : 0710.3492
- ^ Heumos, Michael J .; Раллис, Стивен (1990). «Симплектические модели-Уиттекера для GLn» . Pacific J. Math . 146 (2): 247–279. DOI : 10,2140 / pjm.1990.146.247 .
- ^ E.Sayag (GL (2n, C), SP (2n, C)) - пара Гельфанда arXiv : 0805.2625
- ^ a b А. Айзенбуд, Д. Гуревич. Некоторые правильные симметричные пары. arXiv : 0805.2504
- ^ YZ Flicker: О выдающихся представлениях, J. Reine Angew. Математика. 418 (1991), 139-172.
- ^ а б в Айзенбуд, Авраам; Гуревич, Дмитрий; Раллис, Стивен ; Шиффманн, Жерар (2010), «Теоремы об единице кратности», Annals of Mathematics , 172 (2): 1407–1434, arXiv : 0709.4215 , doi : 10.4007 / annals.2010.172.1413 , MR 2680495
- ^ Айзенбуд, Авраам; Гуревич, Дмитрий (2009), "Теорема о кратности один для (GL ( n + 1, R ), GL ( n , R ))", Selecta Math. , Новая серия, 15 (2): 271-294, Arxiv : 0808,2729 , DOI : 10.1007 / s00029-009-0544-7 , MR 2529937
- ^ а б в Солнце, Биньонг ; Чжу Чэнь-Бо (2012), "Кратность-один теоремы: архимедова случай", Анналы математики , 175 (1): 23-44, Arxiv : 0903,1413 , DOI : 10,4007 / annals.2012.175.1.2 , MR 2874638
Рекомендации
- Брейер, Т .; Люкс, К. (1996), "The множественность свободной перестановки символов спорадических простых групп и их групп автоморфизмов", Связь в алгебре , 24 (7): 2293-2316, DOI : 10,1080 / 00927879608825701 , МР 1390375
- Айзекс, И. Мартин (1994), Теория характеров конечных групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-68014-9, Руководство по ремонту 0460423
- Саксл, Ян (1981), "О представлениях с перестановками без кратности", Конечные геометрии и конструкции (Proc. Conf., Chelwood Gate, 1980) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 49 , Cambridge University Press , стр. 337–353, MR 0627512
- ван Дейк, Геррит (2009), Введение в гармонический анализ и обобщенные пары Гельфанда , исследования Де Грюйтера по математике, 36 , Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-022019-3
- Виландт, Гельмут (1964), Конечные группы перестановок , Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR 0183775