В математике термин перестановочное представление (обычно конечной) группы может относиться к одному из двух тесно связанных понятий: а представление окак группа перестановок или как группа матриц перестановок . Этот термин также относится к их комбинации.
Абстрактное представление перестановки
Перестановка представление о группе на съемочной площадке является гомоморфизмом изк симметричной группе из:
Изображение является группа перестановок и элементы представлены как перестановки . [1] Перестановка представление эквивалентно действию на на съемочной площадке :
См. Статью о групповых действиях для получения дополнительной информации.
Представление линейной перестановки
Если является группа перестановок степени, То перестановка представление оявляется линейным представлением о
который отображает в соответствующую матрицу перестановок (здесь- произвольное поле ). [2] То есть действует на путем перестановки стандартных базисных векторов.
Это понятие представления перестановки, конечно, может быть составлено с предыдущим для представления произвольной абстрактной группы. как группа матриц перестановок. Один первый представляеткак группу перестановок, а затем отображает каждую перестановку в соответствующую матрицу. Представляякак группа перестановок, действующая на себя трансляцией , получается регулярное представление .
Характер представления перестановки
Учитывая группу и конечное множество с участием действующий на съемочной площадке затем персонаж перестановочного представления равно количеству неподвижных точек под действием на . Это количество точек фиксируется .
Это следует из того, что если мы представим карту с матрицей с базисом, определяемым элементами мы получаем матрицу перестановок . Теперь характер этого представления определяется как след этой матрицы перестановок. Элемент на диагонали матрицы перестановок равен 1, если точка вфиксировано, и 0 в противном случае. Таким образом, мы можем заключить, что след матрицы перестановок в точности равен количеству неподвижных точек.
Например, если а также характер представления перестановки можно вычислить по формуле количество точек фиксируется . Так
- так как только 3 исправлено
- как никакие элементы фиксированы, и
- как каждый элемент фиксированный.
Рекомендации
- ^ Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (2012-12-06). Группы перестановок . Springer Science & Business Media. С. 5–6. ISBN 9781461207313.
- ^ Робинсон, Дерек Дж.С. (2012-12-06). Курс теории групп . Springer Science & Business Media. ISBN 9781468401288.