В математике , А представление является очень общее соотношение , которое выражает сходство (или эквивалентностей) между математическими объектами или структурами . [1] Грубо говоря, можно сказать, что набор Y математических объектов представляет собой другой набор X объектов, при условии, что свойства и отношения, существующие между представляющими объектами y i , некоторым согласованным образом соответствуют тем, которые существуют среди соответствующих представленных объектов. объекты x i . Более конкретно, учитывая набор Π свойств и отношений ,Π -представление некоторой структуры X представляет собой структуру Y , которая является образом X под гомоморфизмом , сохраняющий П . Этикетки представление иногда также применяется к самому гомоморфизм (например, групповой гомоморфизм в теории групп ). [2] [3]
Теория представлений
Пожалуй, наиболее хорошо развитый примером этого общего понятия является подполе абстрактной алгебры называемой теорией представлений , который изучает представляющие элементы алгебраических структур с помощью линейных преобразований из векторных пространств . [3]
Другие примеры
Хотя термин « теория представлений» хорошо известен в алгебраическом смысле, о котором говорилось выше, существует множество других применений термина « представление» в математике.
Теория графов
Активная область теории графов - исследование изоморфизмов между графами и другими структурами. Ключевой класс таких проблем проистекает из того факта, что, как и смежность в неориентированных графах , пересечение множеств (или, точнее, не дизъюнктность ) является симметричным отношением . Это приводит к изучению графов пересечений бесчисленных семейств множеств. [4] Один основополагающий результат здесь, из - за Эрдёш и его коллегами, является то , что каждый п - вершина графа может быть представлена в терминах пересечения среди подмножеств некоторого множества размера не более чем п 2 /4. [5]
Представление графа с помощью таких алгебраических структур , как его матрица смежности и лапласиана матрицы приводит к области спектральной теории графов . [6]
Теория порядка
Двойственным к наблюдению выше, что каждый граф является графом пересечений, является тот факт, что каждое частично упорядоченное множество (также известное как poset) изоморфно набору множеств, упорядоченных отношением включения (или включения ) ⊆. Некоторые посеты, которые возникают как порядки включения для естественных классов объектов, включают булевы решетки и порядки размерности n . [7]
Многие частичные порядки возникают из (и, следовательно, могут быть представлены) коллекциями геометрических объектов. Среди них n -ball заказов. Порядки с одним шаром - это порядки с интервалом вложения, а порядки с двумя шарами - это так называемые порядки окружности - множества, представимые в терминах включения между дисками на плоскости. Особенно хорошим результатом в этой области является характеристика плоских графов , как тех графов, у которых отношения инцидентности вершин к ребрам являются круговыми порядками. [8]
Есть также геометрические представления, не основанные на включении. Действительно, один из наиболее изученных классов среди них являются интервальными заказами , [9] , которые представляют собой частичный порядок в плане того , что можно было бы назвать непересекающееся старшинство интервалов на вещественном прямом : каждый элемент х из посета представлен интервалом [ x 1 , x 2 ], такая, что для любых y и z в ч.у.м. y ниже z тогда и только тогда, когда y 2 < z 1 .
Логика
В логике возможность представления алгебр в виде реляционных структур часто используется для доказательства эквивалентности алгебраической и реляционной семантики . Примеры этого включают в себя представление Стоун о булевых алгебрах в качестве полех множеств , [10] представление Esakia в о гейтинговых алгебрах как гейтинговая алгебра множеств, [11] и изучение представимых алгебр отношений и изображаемых цилиндрических алгебры . [12]
Полисемия
При определенных обстоятельствах, одна функция F : X → Y является одновременно изоморфизмом из нескольких математических структур на X . Поскольку каждую из этих структур можно интуитивно представить себе как значение образа Y (одна из вещей, которые Y пытается нам сказать), это явление называется многозначностью - термин, заимствованный из лингвистики . Вот некоторые примеры полисемии:
- многозначность пересечений - пары графов G 1 и G 2 на общем множестве вершин V, которые могут быть одновременно представлены одним набором множеств S v , так что любые различные вершины u и w в V смежны в G 1 , если и только если их соответствующие множества пересекаются ( S U ∩ S W ≠ O), и смежны в G 2 , если и только если комплементы делать ( S U C ∩ S ш C ≠ O). [13]
- Многозначность конкуренции - мотивируется изучением экологических пищевых сетей , в которых пары видов могут иметь общую добычу или иметь общих хищников. Пара графов G 1 и G 2 на одном множестве вершин является полисемичной по конкуренции, если и только если существует единственный ориентированный граф D на том же множестве вершин, такой, что любые различные вершины u и v смежны в G 1, если и только тогда , когда существует вершина ж , такие , что оба UW и оч.сл. являются дуги в D , и смежны в G 2, если и только если существует вершина ж , такие , что как Wu и WV представляют собой дуги в D . [14]
- Интервал ПОЛИСЕМИЯ -пар ч.у.м. P 1 и P 2 на общее первое множество , которое может быть одновременно представленным одной коллекцией вещественных интервалов, который является представлением интервала-порядка P 1 и интервал сдерживания представления P 2 . [15]
Смотрите также
- Представительство группы
- Теоремы о представлении
- Теория моделей
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - математическое представление" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Групповое представительство» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ а б Телеман, Константин. "Теория представлений" (PDF) . math.berkeley.edu . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ Макки, Терри А .; МсМогпз, FR (1999), темы в Пересечения теории графов , SIAM Монографии по дискретной математике и ее приложениям, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, DOI : 10,1137 / +1,9780898719802 , ISBN 978-0-89871-430-2, Руководство по ремонту 1672910
- ^ Эрдеш, Пол ; Гудман, AW; Pósa, Louis (1966), "Представление графа множеством пересечений", Canadian Journal of Mathematics , 18 (1): 106–112, CiteSeerX 10.1.1.210.6950 , doi : 10.4153 / cjm-1966-014-3 , MR 0186575
- ^ Биггс, Норман (1994), алгебраическая теория графов , Кембриджская математическая библиотека, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45897-9, Руководство по ремонту 1271140
- ^ Троттер, Уильям Т. (1992), Комбинаторика и частично упорядоченные множества: теория размерностей , серия Джонса Хопкинса в математических науках, Балтимор: издательство Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-4425-6, MR 1169299
- ^ Scheinerman, Эдвард (1991), "Замечание о плоских графах и круг заказов", SIAM журнал по дискретной математике , 4 (3): 448-451, DOI : 10,1137 / 0404040 , MR 1105950
- ^ Фишберн, Питер С. (1985), интервальные порядки и интервальные графики: исследование частично упорядоченных множеств , серия Wiley-Interscience по дискретной математике, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-81284-5, MR 0776781
- ^ Маршалл Х. Стоун (1936) " Теория представлений булевых алгебр ", Труды Американского математического общества 40 : 37-111.
- ^ Эсакия, Лео (1974). «Топологические модели Крипке». Советская математика . 15 (1): 147–151.
- ^ Hirsch, R .; Ходкинсон И. (2002). Алгебра отношений по играм . Исследования по логике и основам математики. 147 . Elsevier Science.
- ^ Таненбаум, Пол Дж. (1999), «Одновременное пересечение пар графов», Journal of Graph Theory , 32 (2): 171–190, DOI : 10.1002 / (SICI) 1097-0118 (199910) 32: 2 < 171 :: AID-JGT7> 3.0.CO; 2-N , MR 1709659
- ^ Фишерманн, Миранка; Кнобен, Вернер; Кремер, Дирк; Rautenbachh, Дитер (2004), "конкурс полисемия", дискретная математика , 282 (1-3): 251-255, DOI : 10.1016 / j.disc.2003.11.014 , МР 2059526
- ^ Таненбаум, Paul J. (1996), "Одновременное представление интервала и интервала сдерживания заказов", заказ , 13 (4): 339-350, CiteSeerX 10.1.1.53.8988 , DOI : 10.1007 / BF00405593 , MR 1452517