Зональная сферическая функция

В математике , А зональная сферическая функция или часто просто сферической функцией является функция на локально компактной группы G с компактной подгруппы K (часто максимальная компактная подгруппа ) , которая возникает в качестве матричного коэффициента в виде K -инвариантными вектора в неприводимом представлении из G . Ключевые примеры являются матричными коэффициентами сферической основной серии , неприводимые представлениями , возникающими в разложении унитарного представления о G на L ^-( Г / К ). В этом случае коммутант группы G порождается алгеброй биинвариантных функций на G относительно K, действующей правой сверткой . Оно коммутативно, если вдобавок G / K - симметрическое пространство , например, когда G - связная полупростая группа Ли с конечным центром, а K - максимальная компактная подгруппа. Матричные коэффициенты сферического главного ряда точно описывают спектр соответствующей C * -алгебрыпорожденные биинвариантными функциями компактного носителя , часто называемыми алгеброй Гекке . Спектр коммутативной банаховой * -алгебры биинвариантных L ¹ функций больше; когда G - полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой K , дополнительные характеры происходят из матричных коэффициентов дополнительного ряда , полученных аналитическим продолжением сферического главного ряда.

Зональные сферические функции были явно определены для вещественных полупростых групп Хариш-Чандрой . Для специальных линейных групп они были независимо открыты Израилем Гельфандом и Марком Наймарком . Для комплексных групп, теория значительно упрощает, так как G является усложнением из K , и формулы связаны с аналитическими продолжениями символьной формулы Вейля на K . Абстрактная функционально-аналитическая теория зональных сферических функций была впервые разработана Роджером Годеманом.. Помимо своей группы теоретической интерпретации, зональные сферические функции для полупростой группы Ли G также обеспечивает множество одновременных собственных функций для естественного действия центра универсальных обертывающие из G на L ² ( G / K ), а дифференциальные оператор на симметричном пространстве G / K . Для полупростых p-адических групп Ли теория зональных сферических функций и алгебр Гекке была впервые разработана Сатаке и Яном Г. Макдональдом . Аналоги теоремы Планшереля иФормула обращения Фурье в этой постановке обобщает разложения по собственным функциям Мелера, Вейля и Фока для сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений : они были получены в полной общности в 1960-х годах в терминах c-функции Хариш-Чандры .

Название «зональная сферическая функция» происходит от случая, когда G - это SO (3, R ), действующая на 2-сфере, а K - подгруппа, фиксирующая точку: в этом случае зональные сферические функции можно рассматривать как определенные функции на сфера, инвариантная относительно вращения вокруг неподвижной оси.

Определения [ править ]

Пусть G быть локально компактной унимодулярной топологической группой и К компактная подгруппа , и пусть H ₁ = L ² ( G / K ). Таким образом, H ₁ допускает унитарное представление π группы G левым сдвигом. Это подпредставление регулярного представления, поскольку если H = L ² ( G ) с левым и правым регулярными представлениями λ и ρ групп G и Pявляется ортогональной проекцией

${\ Displaystyle P = \ int _ {K} \ rho (k) \, dk}$

из H в H _1, то H ₁ естественно отождествить с PH с действием группы G, заданным ограничением λ.

С другой стороны, по коммутационной теореме фон Неймана ^[1]

${\ Displaystyle \ лямбда (G) ^ {\ prime} = \ rho (G) ^ {\ prime \ prime},}$

где S ' обозначает коммутант набора операторов S , так что

${\displaystyle \pi (G)^{\prime }=P\rho (G)^{\prime \prime }P.}$

Таким образом, коммутант π порождается как алгебра фон Неймана операторами

${\displaystyle P\rho (f)P=\int _{G}f(g)(P\rho (g)P)\,dg}$

где е есть непрерывная функция с компактным носителем на G . ^[а]

Однако P ρ ( f ) P - это просто ограничение ρ ( F ) на H ₁ , где

${\displaystyle F(g)=\int _{K}\int _{K}f(kgk^{\prime })\,dk\,dk^{\prime }}$

- K -биинвариантная непрерывная функция компактного носителя, полученная усреднением f по K с обеих сторон.

Таким образом, Коммутант П порождается ограничением операторов Р ( F ) с F в C _C ( K \ G / K ), то K -biinvariant непрерывных функций с компактным носителем на G .

Эти функции образуют * -алгебру относительно свертки с инволюцией

${\displaystyle F^{*}(g)={\overline {F(g^{-1})}},}$

часто называют алгеброй Гекке для пары ( G , K ).

Обозначим через A ( K \ G / K ) алгебру C *, порожденную операторами ρ ( F ) на H ₁ .

Пара ( G , K ) называется парой Гельфанда ^[2], если одна, а значит, и все из следующих алгебр коммутативны :

• ${\displaystyle \pi (G)^{\prime }}$
• ${\displaystyle C_{c}(K\backslash G/K)}$
• ${\displaystyle A(K\backslash G/K).}$

Так как ( К \ О / К ) является коммутативной С * алгебра , по Гельфанда-Наймарка теорема она имеет вид С ₀ ( Х ), где Х представляет собой локально компактное пространство нормы непрерывной * гомоморфизмам из A ( K \ G / к ) в С .

Конкретная реализация * гомоморфизмов в X как K -биинвариантных равномерно ограниченных функций на G получается следующим образом. ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Из-за сметы

${\displaystyle \|\pi (F)\|\leq \int _{G}|F(g)|\,dg\equiv \|F\|_{1},}$

представление π из C _C ( K \ G / K ) в А ( К \ О / К ) продолжается по непрерывности до L ¹ ( K \ G / K ), в * алгебры из K -biinvariant интегрируемых функций. Образ образует плотную * подалгебру в A ( K \ G / K ). Ограничение * гомоморфизма χ, непрерывного для операторной нормы, также непрерывно для нормы || · || ₁ . Поскольку двойственное банахово пространствоиз L ¹ является L ^∞ , отсюда следует, что

${\displaystyle \chi (\pi (F))=\int _{G}F(g)h(g)\,dg,}$

для некоторой уникальной равномерно ограниченной K -biinvariant функции ч на G . Эти функции h в точности являются зональными сферическими функциями для пары ( G , K ).

Свойства [ править ]

Зональная сферическая функция h обладает следующими свойствами: ^[2]

1. h равномерно непрерывна на G
2. ${\displaystyle h(x)h(y)=\int _{K}h(xky)\,dk\,\,(x,y\in G).}$
3. h (1) = 1 (нормализация)
4. h - положительно определенная функция на G
5. f * h пропорционально h для всех f в C _c ( K \ G / K ).

Это простые следствия того факта, что ограниченный линейный функционал χ, определяемый функцией h, является гомоморфизмом. Свойства 2, 3 и 4 или свойства 3, 4 и 5 характеризуют зональные сферические функции. Более общий класс зональных сферических функций можно получить, отказавшись от положительной определенности условий, но для этих функций больше нет связи с унитарными представлениями . Для полупростых групп Ли существует дальнейшая характеризация как собственные функции инвариантных дифференциальных операторов на G / K (см. Ниже).

Фактически, как частный случай конструкции Гельфанда – Наймарка – Сигала , существует однозначное соответствие между неприводимыми представлениями σ группы G, имеющими единичный вектор v, фиксированным посредством K, и зональными сферическими функциями h, заданными формулой

${\displaystyle h(g)=(\sigma (g)v,v).}$

Такие неприводимые представления часто описываются как имеющие первый класс . Это в точности неприводимые представления, необходимые для разложения индуцированного представления π на H ₁ . Каждое представление σ однозначно продолжается по непрерывности на A ( K \ G / K ), так что каждая зональная сферическая функция удовлетворяет

${\displaystyle \left|\int _{G}f(g)h(g)\,dg\right|\leq \|\pi (f)\|}$

для f в A ( K \ G / K ). Более того, поскольку коммутант π ( G ) 'коммутативен, существует единственная вероятностная мера μ на пространстве * гомоморфизмов X такая, что

${\displaystyle \int _{G}|f(g)|^{2}\,dg=\int _{X}|\chi (\pi (f))|^{2}\,d\mu (\chi ).}$

μ называется мерой Планшереля . Поскольку π ( G ) 'является центром алгебры фон Неймана, порожденной G , она также дает меру, связанную с прямым интегральным разложением H ₁ в терминах неприводимых представлений σ _χ .

Пары Гельфанда [ править ]

Если G является связной группой Ли , то, благодаря работе Картанна , Мальцевой , Ивасава и Chevalley , G имеет максимальную компактную подгруппу , единственно с точностью до сопряжения. ^{[7] [8]} В этом случае K связно, а фактор-группа G / K диффеоморфна евклидову пространству. Когда G вдобавок полупроста , это можно увидеть непосредственно с помощью разложения Картана, связанного с симметричным пространством G / K, обобщение полярного разложения обратимых матриц. В самом деле, если τ - ассоциированный автоморфизм периода два группы G с подгруппой K неподвижной точки , то

${\displaystyle G=P\cdot K,}$

где

${\displaystyle P=\{g\in G|\tau (g)=g^{-1}\}.}$

Под экспоненциального отображения , P диффеоморфен -1 собственное подпространство т в алгебре Ли в G . Поскольку τ сохраняет K , он индуцирует автоморфизм алгебры Гекке C _c ( K \ G / K ). С другой стороны, если F лежит в C _c ( K \ G / K ), то

F (τ g ) = F ( g ⁻¹ ),

так что τ индуцирует антиавтоморфизм, потому что инверсия делает. Следовательно, когда G полупроста,

• алгебра Гекке коммутативна
• ( G , K ) пара Гельфанда.

В более общем плане те же аргументы дают следующий критерий Гельфанда для ( G , K ), чтобы быть парой Гельфанда: ^[9]

• G - унимодулярная локально компактная группа;
• K - компактная подгруппа, возникающая как неподвижные точки автоморфизма периода два τ группы G ;
• G = K · P (не обязательно прямое произведение), где P определено, как указано выше.

Это два наиболее важных примера, когда:

• G - компактная связная полупростая группа Ли с автоморфизмом периода два; ^{[10] [11]}
• G является полупрямым произведением с А локально компактная абелева группа без 2-кручения и т ( · K ) = K · ^-1 для в А и к в K .${\displaystyle A\rtimes K}$

Эти три случая охватывают три типа симметрических пространств G / K : ^[5]

1. Некомпактный тип , когда K максимальная компактная подгруппа некомпактной вещественной полупростой группы Ли G ;
2. Компактный тип , когда K - подгруппа неподвижных точек автоморфизма периода два компактной полупростой группы Ли G ;
3. Евклидова типа , когда конечное евклидово пространство с ортогональным действием K .

Теорема Картана – Хельгасона [ править ]

Пусть G - компактная полупростая связная и односвязная группа Ли и τ - автоморфизм периода два группы G с подгруппой неподвижных точек K = G ^τ . В этом случае K - связная компактная группа Ли. ^[5] Кроме того, пусть T - максимальный тор группы G, инвариантный относительно τ, такой, что T P - максимальный тор в P , и положим ^[12]${\displaystyle \cap }$

${\displaystyle S=K\cap T=T^{\tau }.}$

S - прямое произведение тора и элементарной абелевой 2-группы .

В 1929 году Эли Картана нашел правило , чтобы определить , разложение L ² ( G / K ) в прямую сумму конечномерных неприводимых представлений о G , которая была доказана строго лишь в 1970 году Хелгасон . Поскольку коммутант G на L ² ( G / K ) коммутативности, каждое неприводимое представление появляется с кратностью один. По фробениусовой взаимности для компактных групп, то неприводимые представления V , которые возникают как раз те , допускающие ненулевой вектор , установленной K .

Из теории представлений компактных полупростых групп неприводимые представления группы G классифицируются по их старшему весу . Это определяется гомоморфизм максимального тора Т в Т .

Теорема Картана – Хельгасона ^{[13] [14]} утверждает, что

неприводимые представления группы G, допускающие ненулевой вектор, фиксированный посредством K, - это в точности представления со старшими весами, соответствующими тривиальным на S гомоморфизмам .

Соответствующие неприводимые представления называются сферическими представлениями .

Теорема может быть доказана ^[5] с помощью разложения Ивасавы :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}},}$

где , , является комплексификацией алгебры Ли в G , K , A = T P и${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \cap }$

${\displaystyle {\mathfrak {n}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}_{\alpha },}$

просуммировано по всем собственным подпространствам для T in, соответствующим положительным корням α, не фиксированным с помощью τ.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть V сферическое представление со старшим весом вектора V ₀ и К -исправлено вектор V _K . Так как v ₀ является собственным вектором разрешимой алгебры Ли , то Пуанкаре-Биркгофа-Витта теорема означает , что К - модуль , порожденный V ₀ является вся V . Если Q - ортогональная проекция на неподвижные точки K в V, полученная усреднением по G по мере Хаара , то отсюда следует, что${\displaystyle {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \displaystyle {v_{K}=cQv_{0}}}$

для некоторой ненулевой постоянной c . Поскольку v _K фиксируется S и V ₀ является собственным вектором для S , то подгруппа S должна фактически исправить V ₀ , эквивалентную форму условия тривиальности на S .

И наоборот, если v ₀ фиксируется S , то можно показать ^[15], что матричный коэффициент

${\displaystyle \displaystyle {f(g)=(gv_{0},v_{0})}}$

неотрицательна на К . Так как ф (1)> 0, то отсюда следует , что ( Qv ₀ , v ₀ )> 0 и , следовательно, Qv ₀ является ненулевой вектор фиксируется K .

Формула Хариш-Чандры [ править ]

Если G - некомпактная полупростая группа Ли, ее максимальная компактная подгруппа K действует сопряжением на компоненте P в разложении Картана . Если является максимальная абелева подгруппа группы G , содержащаяся в Р , то диффеоморфен ее алгебры Ли под экспоненциального отображения и, как дальнейшее обобщение этого полярного разложения матриц, каждый элемент из Р сопряжен относительно K к элементу A , так что ^[16]

G = КАК .

Существует также ассоциированное разложение Ивасавы

G = KAN ,

где N представляет собой замкнутую нильпотентная подгруппа, диффеоморфен ее алгебры Ли под экспоненциального отображения и нормирована A . Таким образом , S = замкнутая разрешимая подгруппа из G , в полупрямое произведение из N по А , и G = KS .

Если α в Хом ( A , T ) представляет собой символ из A , то α распространяется на характер S , определив его тривиальным на N . Существует соответствующее унитарное индуцированное представление σ из G на L ² ( G / S ) = L ² ( К ), ^[17] так называемый (сферические) представление основной серии .

Это представление можно явно описать следующим образом. В отличие от G и K , разрешимая группа Ли S не унимодулярна. Пусть йх обозначим влево инвариантную меру Хаара на S и Δ _S модулярной функции из S . Тогда ^[5]

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{S}\int _{K}f(x\cdot k)\,dx\,dk=\int _{S}\int _{K}f(k\cdot x)\Delta _{S}(x)\,dx\,dk.}$

Главное представление серии σ реализуются на L ² ( К ) , как ^[18]

${\displaystyle (\sigma (g)\xi )(k)=\alpha ^{\prime }(g^{-1}k)^{-1}\,\xi (U(g^{-1}k)),}$

где

${\displaystyle g=U(g)\cdot X(g)}$

- разложение Ивасавы группы g с U ( g ) в K и X ( g ) в S и

${\displaystyle \alpha ^{\prime }(kx)=\Delta _{S}(x)^{1/2}\alpha (x)}$

для к в К и х в S .

Представление σ неприводимо, так что если v обозначает постоянную функцию 1 на K , фиксированную K ,

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(g)=(\sigma (g)v,v)}$

определяет зональную сферическую функцию G .

Вычисление внутреннего продукта выше приводит к формуле Хариш-Чандры для зональной сферической функции

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(g)=\int _{K}\alpha ^{\prime }(gk)^{-1}\,dk}$

как интеграл по K .

Хариш-Чандр доказал , что эти зональные сферические функции исчерпывают характеры C * алгебра , порожденная C _с ( К \ G / K ) , действующему на правых свертки на L ² ( G / K ). Кроме того, он показал , что два различных символов α и β дают одинаковую зональную сферическую функцию тогда и только тогда , когда α = β · s , где s находится в группе Вейля от А

${\displaystyle W(A)=N_{K}(A)/C_{K}(A),}$

частное от деления нормализатора из A в K по его центратора , в конечной группы отражений .

Также можно непосредственно проверить ^[2], что эта формула определяет зональную сферическую функцию, без использования теории представлений. Доказательство для общих полупростых групп Ли , что каждая зональная сферическая формула возникает таким образом , требует детального изучения G - инвариантных дифференциальных операторов на G / K и их одновременных собственных функций (см . Ниже) ^{[4] [5]} В случае сложных полупростых групп Хариш-Чандра и Феликс Березин независимо осознали, что формула значительно упрощается и может быть доказана более прямо. ^{[5] [19] [20] [21] [22]}

Остальные положительно определенные зональные сферические функции задаются формулой Хариш-Чандры с α в Hom ( A , C *) вместо Hom ( A , T ). Разрешены только определенные α, и соответствующие неприводимые представления возникают как аналитические продолжения сферической главной серии. Этот так называемый « дополнительный ряд » был впервые изучен Баргманном (1947) для G = SL (2, R ) и Хариш-Чандрой (1947) и Гельфандом и Наймарком (1947) для G = SL (2, C ). Впоследствии, в 1960-х годах, построение дополнительной сериипутем аналитического продолжения сферической основной серии был систематически развит для общих полупростых групп Ли Рэем Кунце, Элиасом Штейном и Бертрамом Костантом . ^{[23] [24] [25]} Поскольку эти неприводимые представления не закалены , они обычно не требуются для гармонического анализа на G (или G / K ).

Собственные функции [ править ]

Хариш-Чандр доказал ^{[4] [5]} , что зональные сферические функции могут быть охарактеризованы как те нормированными положительно определенными K - инвариантные функции на G / K , которые являются собственными функциями D ( G / K ), алгебры инвариантных дифференциальных операторов на G . Эта алгебра действует на G / K и коммутирует с естественным действием группы G левым сдвигом. Ее можно отождествить с подалгеброй универсальной обертывающей алгебры группы G, фиксированной относительно присоединенного действия группы K. Что касается коммутанта G на L ² ( G / K ) и соответствующей алгебру Гекка, эта алгебра операторов является коммутативной ; действительно, это подалгебра алгебры измеримых операторов, ассоциированная с коммутантом π ( G ) ', абелевой алгеброй фон Неймана. Как доказал Хариш-Чандра, он изоморфен алгебре W ( A ) -инвариантных многочленов на алгебре Ли алгебры A , которая сама является кольцом многочленов по теореме Шевалле – Шепарда – Тодда о полиномиальных инвариантах конечных групп отражений.. Простейшим инвариантным дифференциальным оператором на G / K является оператор Лапласа ; с точностью до знака этот оператор просто образ при отображении я на оператора Казимира в центре универсальной обертывающей алгебры G .

Таким образом, нормализованная положительно определенная K -биинвариантная функция f на G является зональной сферической функцией тогда и только тогда, когда для каждого D в D ( G / K ) существует постоянная λ _D такая, что

${\displaystyle \displaystyle \pi (D)f=\lambda _{D}f,}$

т.е. f является совместной собственной функцией операторов π ( D ).

Если ψ - зональная сферическая функция, то, рассматриваемая как функция на G / K , она является собственной функцией лапласиана, эллиптического дифференциального оператора с вещественными аналитическими коэффициентами. По аналитической эллиптической регулярности , ψ является вещественно аналитическая функция на G / K , и , следовательно , G .

Хариш-Чандра использовал эти факты о структуре инвариантных операторов, чтобы доказать, что его формула дает все зональные сферические функции для вещественных полупростых групп Ли. ^{[26] [27] [28]} Действительно, коммутативность коммутанта означает, что все совместные собственные подпространства алгебры инвариантных дифференциальных операторов имеют размерность один; и полиномиальная структура этой алгебры заставляет одновременные собственные значения быть в точности теми, которые уже связаны с формулой Хариш-Чандры.

Пример: SL (2, C) [ править ]

Группа G = SL (2, С ) является комплексификацией из компактной группы Ли K = SU (2) и двойной крышкой из группы Лоренца . Бесконечномерные представления группы Лоренца были впервые изучены Дираком в 1945 году, который рассмотрел представления дискретных серий , которые он назвал экспансорами . Вскоре после этого к систематическому исследованию приступили Хариш-Чандра, Гельфанд-Наймарк и Баргманн. Неприводимые представления первого класса, соответствующие зональным сферическим функциям, могут быть легко определены с помощью радиальной компоненты оператора Лапласа .^[5]

В самом деле, любая унимодулярная комплексная матрица g 2 × 2 допускает единственное полярное разложение g = pv с унитарным v и положительным p . В своей очереди , р = СХ *, с U унитарная и диагональная матрица с положительными элементами. Таким образом, g = uaw с w = u * v , так что любая K -биинвариантная функция на G соответствует функции диагональной матрицы

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}e^{r/2}&0\\0&e^{-r/2}\end{pmatrix}},}$

инвариантен относительно группы Вейля. Отождествляя G / K с гиперболическим 3-пространством, зональные гиперболические функции ψ соответствуют радиальным функциям, которые являются собственными функциями лапласиана. Но в терминах радиальной координаты r лапласиан дается формулой ^[29]

${\displaystyle L=-\partial _{r}^{2}-2\coth r\partial _{r}.}$

Установка п ( г ) = зп ( г ) · ψ ( г ), то отсюда следует , что F является нечетной функцией от г и собственная функция .${\displaystyle \partial _{r}^{2}}$

Следовательно

${\displaystyle \varphi (r)={\sin(\ell r) \over \ell \sinh r}}$

где реально.${\displaystyle \ell }$

Аналогичная элементарная трактовка обобщенных групп Лоренца SO ( N , 1) есть у Такахаши (1963) и Faraut & Korányi (1994) (напомним, что SO ⁰ (3,1) = SL (2, C ) / ± I) .

Сложный случай [ править ]

Если G является комплексная полупростая группа Ли, это усложнение ее максимальной компактной подгруппы K . Если и - их алгебры Ли, то${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {k}}.}$

Пусть T - максимальный тор в K с алгеброй Ли . потом${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle A=\exp i{\mathfrak {t}},\,\,P=\exp i{\mathfrak {k}}.}$

Позволять

${\displaystyle W=N_{K}(T)/T}$

быть группа Вейля из T в K . Напомним, характеры в Hom ( T , T ) называются весами и могут быть отождествлены с элементами решетки весов Λ в Hom ( , R ) = . Существует естественный порядок весов, и каждое конечномерное неприводимое представление (π, V ) группы K имеет единственный старший вес λ. Веса присоединенного представления о К о называются корнями и ρ используются для обозначения половины суммы положительных корней а, формула характера Вейлевской${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}\ominus {\mathfrak {t}}}$утверждает, что при z = exp X в T

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})\equiv {\rm {Tr}}\,\pi (z)=A_{\lambda +\rho }(e^{X})/A_{\rho }(e^{X}),}$

где, ц в , _μ обозначает антисимметризацию${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$

${\displaystyle \displaystyle A_{\mu }(e^{X})=\sum _{s\in W}\varepsilon (s)e^{i\mu (sX)},}$

и ε обозначает знак символ из конечной группы отражений W .

Формула знаменателя Вейля выражает знаменатель A _ρ как произведение:

${\displaystyle \displaystyle A_{\rho }(e^{X})=e^{i\rho (X)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-i\alpha (X)}),}$

где произведение находится над положительными корнями.

Формула размерности Вейля утверждает, что

${\displaystyle \displaystyle \chi _{\lambda }(1)\equiv {\rm {dim}}\,V={\prod _{\alpha >0}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}.}$

где скалярное произведение на это то , что связано с формой Киллинга на .${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Сейчас

• всякое неприводимое представление K голоморфно продолжается до комплексификации G
• всякий неприводимый характер χ _λ ( k ) группы K голоморфно продолжается до комплексификации K и .${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$
• для любого λ из Hom ( A , T ) = существует зональная сферическая функция φ _λ .${\displaystyle i{\mathfrak {t}}^{*}}$

Формула Березина – Хариш – Чандры ^[5] утверждает, что для X в${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{X})={\chi _{\lambda }(e^{X}) \over \chi _{\lambda }(1)}.}$

Другими словами:

• зональные сферические функции на комплексной полупростой группе Ли задаются аналитическим продолжением формулы для нормированных характеров.

Одно из простейших доказательств ^[30] этой формулы включает радиальную компоненту лапласиана на G на A , доказательство, формально параллельное переработке Хельгасоном классического доказательства формулы Вейля для характера Вейля, выполненного Фройденталем , с использованием радиальной компоненты на T выражения лапласиан на K . ^[31]

В последнем случае функция класса на K может быть идентифицирована с W - инвариантными функциями на T . Радиальная составляющая Δ _K на T - это просто выражение для ограничения Δ _K на W -инвариантные функции на T , где она дается формулой

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{K}=h^{-1}\circ \Delta _{T}\circ h+\|\rho \|^{2},}$

где

${\displaystyle \displaystyle h(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

для X в . Если х - характер со старшим весом Х, то ф = h · х удовлетворяет${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle \Delta _{T}\varphi =(\|\lambda +\rho \|^{2}-\|\rho \|^{2})\varphi .}$

Таким образом, для любого веса μ с ненулевым коэффициентом Фурье по φ

${\displaystyle \displaystyle \|\lambda +\rho \|^{2}=\|\mu +\rho \|^{2}.}$

Классический аргумент Фройденталя показывает, что μ + ρ должно иметь вид s (λ + ρ) для некоторого s в W , поэтому формула характера следует из антисимметрии φ.

Аналогично К -biinvariant функции на G могут быть идентифицированы с W ( A ) -инвариантные функции на A . Радиальная составляющая Д _G на А это просто выражение для ограничения Д _G к W ( A ) -инвариантных функций на A . Он задается формулой

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{G}=H^{-1}\circ \Delta _{A}\circ H-\|\rho \|^{2},}$

где

${\displaystyle \displaystyle H(e^{X})=A_{\rho }(e^{X})}$

для X в .${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

Формула Березина – Хариш – Чандры для зональной сферической функции φ может быть получена путем введения антисимметричной функции

${\displaystyle \displaystyle f=H\cdot \varphi ,}$

который является собственной функцией Лапласа Д _А . Поскольку K порождается копиями подгрупп, которые являются гомоморфными образами SU (2), соответствующими простым корням , его комплексификация G порождается соответствующими гомоморфными образами SL (2, C ). Из формулы для зональных сферических функций SL (2, C ) следует, что f является периодической функцией на относительно некоторой подрешетки . Антисимметрия по группе Вейля и аргумент Фройденталя снова подразумевают, что ψ должен иметь указанную форму с точностью до мультипликативной константы, которая может быть определена с использованием формулы размерности Вейля.${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

Пример: SL (2, R) [ править ]

Теория зональных сферических функций для SL (2, R ) возникла в 1881 году в работах Мелера по гиперболической геометрии. Он открыл аналог теоремы Планшереля, который был переоткрыт Фоком в 1943 году. Соответствующее разложение по собственным функциям называется преобразованием Мелера – Фока . Он уже был поставлен на прочную основу в 1910 году благодаря важной работе Германа Вейля по спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Радиальная часть лапласиана в этом случае приводит к гипергеометрическому дифференциальному уравнению, теория которого подробно изложена Вейлем. Впоследствии Хариш-Чандра обобщил подход Вейля для изучения зональных сферических функций и соответствующей теоремы Планшереля для более общих полупростых групп Ли. Вслед за работой Дирака о представлениях SL (2, R ) дискретной серией , общая теория унитарных неприводимых представлений SL (2, R ) была независимо развита Баргманном, Хариш-Чандрой и Гельфандом – Наймарком. Неприводимые представления первого класса или, что эквивалентно, теория зональных сферических функций, составляют важный частный случай этой теории.

Группа G = SL (2, R ) является двойной крышкой из 3-мерной группы Лоренца SO (2,1), в группе симметрии на гиперболической плоскости с его Пуанкаром метрикой . Он действует преобразованиями Мебиуса . Верхнюю полуплоскость можно отождествить с единичным диском с помощью преобразования Кэли . При таком отождествлении G отождествляется с группой SU (1,1), также действующей преобразованиями Мёбиуса. Поскольку действие транзитивно , оба пространства можно отождествить с G / K , где K= SO (2) . Метрика инвариантна относительно G, а связанный с ней лапласиан G -инвариантен, что совпадает с образом оператора Казимира . В модели верхней полуплоскости лапласиан задается формулой ^{[5] [6]}

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-4y^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}).}$

Если s - комплексное число и z = x + iy с y > 0, функция

${\displaystyle \displaystyle f_{s}(z)=y^{s}=\exp({s}\cdot \log y),}$

является собственной функцией Δ:

${\displaystyle \displaystyle \Delta f_{s}=4s(1-s)f_{s}.}$

Поскольку Δ коммутирует с G , любой левый сдвиг f _s также является собственной функцией с тем же собственным значением. В частности, при усреднении по K функция

${\displaystyle \varphi _{s}(z)=\int _{K}f_{s}(k\cdot z)\,dk}$

является K -инвариантной собственной функции А на G / K . Когда

${\displaystyle \displaystyle s={1 \over 2}+i\tau ,}$

с т реал, эти функции дают все зональные сферические функции на G . Как и в случае с более общей формулой Хариш-Чандры для полупростых групп Ли, φ _s является зональной сферической функцией, потому что это матричный коэффициент, соответствующий вектору, фиксированному K в главном ряду . Существуют различные аргументы, доказывающие, что других нет. Один из простейших классических алгебраических аргументов Ли ^{[5] [6] [32] [33] [34]}Следует отметить, что, поскольку Δ - эллиптический оператор с аналитическими коэффициентами, в силу аналитической эллиптической регулярности любая собственная функция обязательно является вещественно-аналитической. Следовательно, если зональная сферическая функция соответствует матричному коэффициенту для вектора v и представления σ, вектор v является аналитическим вектором для G и

${\displaystyle \displaystyle (\sigma (e^{X})v,v)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sigma (X)^{n}v,v)/n!}$

для X в . Бесконечно малые формы неприводимых унитарных представлений с вектором, фиксированным посредством K, были разработаны Баргманном классически. ^{[32] [33]} Они в точности соответствуют основной серии SL (2, R ). Отсюда следует, что зональная сферическая функция соответствует представлению главной серии.${\displaystyle i{\mathfrak {t}}}$

Другой классический аргумент ^[35] состоит в том, чтобы показать, что на радиальных функциях лапласиан имеет вид

${\displaystyle \displaystyle \Delta =-\partial _{r}^{2}-\coth(r)\cdot \partial _{r},}$

так что как функция r зональная сферическая функция φ ( r ) должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{\prime \prime }+\coth r\,\varphi ^{\prime }=\alpha \,\varphi }$

для некоторой постоянной α. Замена переменных t = sinh r превращает это уравнение в гипергеометрическое дифференциальное уравнение . Общее решение в терминах функций Лежандра комплексного индекса дается в ^{[2] [36]}

${\displaystyle \varphi (r)=P_{\rho }(\cosh r)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }(\cosh r+\sinh r\,\cos \theta )^{\rho }\,d\theta ,}$

где α = ρ (ρ + 1). Дальнейшие ограничения на р налагаются ограниченности и положительной определенности зональной сферической функции на G .

Существует еще один подход, разработанный Могенсом Фленстед-Йенсеном, который выводит свойства зональных сферических функций на SL (2, R ), включая формулу Планшереля, из соответствующих результатов для SL (2, C ), которые просты последствия формулы Планшереля и формула обращения Фурье для R . Этот «метод спуска» работает в более общем плане, позволяя получить результаты для реальной полупростой группы Ли путем спуска из соответствующих результатов для ее комплексификации. ^{[37] [38]}

Дальнейшие указания [ править ]

• Теория зональных функций, которые не обязательно являются положительно определенными. Они задаются теми же формулами, что и выше, но без ограничений на комплексный параметр s или ρ. Они соответствуют неунитарным представлениям. ^[5]
• Разложение по собственным функциям Хариш-Чандры и формула обращения сферических функций . ^[39] Это важный частный случай его теоремы Планшереля для вещественных полупростых групп Ли.
• Строение алгебры Гекке . Хариш-Чандра и Годеман доказали, что как сверточные алгебры существуют естественные изоморфизмы между C _c ^∞ ( K \ G / K ) и C _c ^∞ ( A ) ^W , подалгеброй, инвариантной относительно группы Вейля. ^[3] Это несложно установить для SL (2, R ). ^[6]
• Сферические функции для евклидовых групп движений и компактных групп Ли . ^[5]
• Сферические функции для p-адических групп Ли . Они были подробно изучены Сатаке и Макдональдом . ^{[40] [41]} Их изучение и изучение связанных с ними алгебр Гекке было одним из первых шагов в обширной теории представлений полупростых p-адических групп Ли, ключевой элемент программы Ленглендса .

См. Также [ править ]

• Теорема Планшереля для сферических функций
• Алгебра Гекке локально компактной группы
• Представления групп Ли
• Некоммутативный гармонический анализ
• Закаленное представление
• Положительно определенная функция на группе
• Симметричное пространство
• Пара Гельфанда

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Кассельман, Уильям, Заметки о сферических функциях (PDF)