В математике , то теорема Фурье инверсии говорит , что для многих типов функций можно восстановить функцию от его преобразования Фурье . Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем всю информацию о частоте и фазе волны, то мы можем точно восстановить исходную волну.
Это последнее уравнение называется интегральной теоремой Фурье .
Другой способ сформулировать теорему, что если оборотная оператор есть , то
Теорема верна, если оба и их преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега ) и непрерывны в точке . Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях указанные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.
Из определения преобразования Фурье и оператора переворота следует, что оба и соответствуют интегральному определению , и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют .
При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы недопустимы, а теорема обращения Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.
Теорема обращения Фурье верна для всех функций Шварца (грубо говоря, гладких функций, которые быстро убывают и все производные которых быстро убывают). Это условие имеет то преимущество, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье, и его обратное преобразование являются абсолютно интегрируемыми. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. Ниже).
Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье [ править ]
Теорема обращения Фурье верна для всех непрерывных функций, которые являются абсолютно интегрируемыми (т. Е. С абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье). Сюда входят все функции Шварца, так что это строго более сильная форма теоремы, чем предыдущая. Это условие используется выше в разделе операторов .
Небольшой вариант - отказаться от условия непрерывности функции, но при этом требовать, чтобы она и ее преобразование Фурье были абсолютно интегрируемыми. Тогда почти всюду, где g - непрерывная функция, и для каждого .
Интегрируемые функции в одном измерении [ править ]
Кусочно-гладкая; одно измерение
Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ) И кусочно гладкая, то верна версия теоремы об обращении Фурье. В этом случае мы определяем
Тогда для всех
т.е. равно среднему значению левого и правого пределов at . В точках, где непрерывно, это просто равно .
Имеет место и многомерный аналог этой формы теоремы, но, согласно Folland (1992), он «довольно тонкий и не очень полезный».
Кусочно-непрерывный; одно измерение
Если функция является абсолютно интегрируемой в одном измерении (т. Е. ), Но просто кусочно-непрерывной, то версия теоремы об обращении Фурье все еще остается в силе. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не точной отсекающей функции; конкретно мы определяем
Заключение теоремы тогда такое же, как и для рассмотренного выше кусочно-гладкого случая.
Непрерывный; любое количество измерений
Если является непрерывным и абсолютно интегрируемым на, то теорема об обращении Фурье все еще остается в силе, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой срезающей функцией, т.е.
Вывод просто таков, что для всех
Нет условия регулярности; любое количество измерений
Если мы отбросим все предположения о (кусочной) непрерывности и предположим просто, что она абсолютно интегрируема, то версия теоремы все еще верна. Обратное преобразование снова определяется с помощью гладкого обрезания, но с выводом, что
почти для каждого [1]
Квадратные интегрируемые функции [ править ]
В этом случае преобразование Фурье не может быть определено напрямую как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. Статью о преобразовании Фурье ). Например, положив
мы можем установить, где берется предел в -норме. Обратное преобразование может быть определено посредством плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворачивания. Тогда у нас есть
в среднеквадратичной норме . В одном измерении (и только в одном измерении) также можно показать, что он сходится почти для каждого x ∈ℝ - это теорема Карлесона , но ее гораздо труднее доказать, чем сходимость в среднеквадратичной норме.
Закаленные дистрибутивы [ править ]
Преобразование Фурье может быть определено на пространстве умеренных распределений двойственностью преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. Специально для и для всех тестовых функций мы устанавливаем
где определяется с помощью интегральной формулы. Если тогда это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование либо двойственностью обратного преобразования функций Шварца таким же образом, либо определив его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда у нас есть
Связь с рядами Фурье [ править ]
При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать его так, чтобы он действовал (или был -периодическим). Вместо этого в этом разделе мы используем несколько необычное соглашение, чтобы действовать , поскольку оно соответствует соглашению преобразования Фурье, используемому здесь.
Теорема обращения Фурье аналогична сходимости рядов Фурье . В случае преобразования Фурье имеем
Вместо этого в случае рядов Фурье имеем
В частности, в одном измерении сумма колеблется от до .
Приложения [ править ]
Некоторые проблемы, такие как определенные дифференциальные уравнения, становится легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.
В приложениях преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторых операций или упрощений, а затем применении обратного преобразования Фурье.
Говоря более абстрактно, теорема об обращении Фурье - это утверждение о преобразовании Фурье как об операторе (см. Преобразование Фурье в функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на .
Свойства обратного преобразования [ править ]
Обратное преобразование Фурье очень похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора переворота. По этой причине свойства преобразования Фурье сохраняются для обратного преобразования Фурье, такие как теорема свертки и лемма Римана – Лебега .
Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив искомую функцию с оператором переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что
так что соответствующий факт для обратного преобразования равен
Доказательство [ править ]
Доказательство использует несколько фактов, приведенных и .
Если и , то .
Если и , то .
Действительно , из теоремы Фубини следует это .
Определить ; тогда .
Определить . Затем с обозначая свертку , является приближением к идентичности : для любых непрерывных и точек , (где сходимость точечно).
Поскольку по предположению, то по теореме о мажорируемой сходимости следует, что
Определить . Применяя факты 1, 2 и 4, если необходимо, многократно для кратных интегралов, получаем
Используя факт 3 и для каждого из них , мы имеем
свертка с приблизительным тождеством. Но поскольку факт 5 говорит, что
Объединив все вышесказанное, мы показали, что
Заметки [ править ]
^ Оператор является преобразованиемкоторое переводит функции в функцию. Оператор переворота, преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье и тождественное преобразование - все это примеры операторов.
Ссылки [ править ]
Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
Фолланд, Великобритания (1992). Фурье-анализ и его приложения . Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN 0-534-17094-3. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Фолланд, Великобритания (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажмите. ISBN 978-0-691-04361-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ "DMat0101, Примечания 3: Преобразование Фурье на L ^ 1" . Я проснулся в странном месте . 2011-03-10 . Проверено 12 февраля 2018 .