В математике , А матрица коэффициенты (или матричный элемент ) является функцией на группу особой формы, которая зависит от линейного представления группы и дополнительных данных. Точнее, это функция на компактную топологическую группу G , полученной составляя представление G на векторном пространстве V с линейной картой от эндоморфизмов из V в V подстилающея «ы поле . Ее также называют репрезентативной функцией .[1] Они естественным образом возникают из конечномерных представлений группы G как матричных -элементных функций соответствующих матричных представлений. Питер-Вейль теорема говориттомчто матричные коэффициенты на G плотны в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на G .
Матричные коэффициенты представлений групп Ли оказались тесно связаны с теорией специальных функций , обеспечивая объединяющий подход к большей части этой теории. Свойства роста коэффициентов матрицы играют роль ключа в классификации неприводимых представлений о локально компактных группах , в частности, восстановительный реальных и р -адических групп. Формализм матричных коэффициентов приводит к обобщению понятия модулярной формы . В другом направлении свойства перемешивания некоторых динамических систем контролируются свойствами подходящих матричных коэффициентов.
Определение [ править ]
Матрица коэффициентов (или матричный элемент ) линейного представления р группового G на векторном пространстве V является функцией F V, η на группе, типа
где V представляет собой вектор в V , η представляет собой непрерывный линейный функционал на V , и г является элементом G . Эта функция принимает скалярные значения на G . Если V - гильбертово пространство , то по теореме о представлении Рисса все матричные коэффициенты имеют вид
для некоторых векторов V и W в V .
Для V конечной размерности и v и w, взятых из стандартного базиса , это фактически функция, заданная матричным элементом в фиксированном месте.
Приложения [ править ]
Конечные группы [ править ]
Матричные коэффициенты неприводимых представлений конечных групп играют важную роль в теории представлений этих групп, разработанной Бернсайдом , Фробениусом и Шуром . Они удовлетворяют соотношениям ортогональности Шура . Символов из представления р является суммой коэффициентов матрицы F V I , η я , где { v я } образуют базис в пространстве представления р, а {η я } образуют двойную основу .
Конечномерные группы Ли и специальные функции [ править ]
Матричные коэффициенты представлений групп Ли были впервые рассмотрены Эли Картаном . Израиль Гельфанд понял , что многие классические специальные функции и ортогональные полиномы представимы в виде матрицы коэффициентов представления групп Ли G . [2] [ необходима цитата ] Это описание обеспечивает единообразную основу для доказательства многих ранее несопоставимых свойств специальных функций, таких как формулы сложения, определенные рекуррентные соотношения, отношения ортогональности, интегральные представления и свойства собственных значений по отношению к дифференциальным операторам. [3]Специальные функции математической физики, такие как тригонометрические функции , гипергеометрическая функция и ее обобщения, ортогональные многочлены Лежандра и Якоби и функции Бесселя, возникают как матричные коэффициенты представлений групп Ли. Тэта-функции и вещественно-аналитические ряды Эйзенштейна , важные в алгебраической геометрии и теории чисел , также допускают такие реализации.
Автоморфные формы [ править ]
Мощный подход к теории классических модулярных форм , инициированных Гельфанд, Граевым и Пятецкого-Шапиро , рассматривают их как матричные коэффициенты некоторых бесконечномерных унитарных представлений, автоморфных представлений о адельных группах . Этот подход был дополнительно разработан с помощью Ленглендса , для общих редуктивных алгебраических групп над глобальными полями .
См. Также [ править ]
- Теорема Питера – Вейля
- Сферические функции
Заметки [ править ]
- ^ Теодор Брёкер и Таммо Том Дик, Представления компактных групп Ли , Тексты для выпускников по математике 98 , Springer-Verlag, Берлин, 1995.
- ^ "Специальные функции" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ См. Ссылки для полного лечения.
Ссылки [ править ]
- Виленкин, Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп . Перевод с русского В. Н. Сингха. Переводы математических монографий, Vol. 22 Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1968 г.
- Виленкин Н. Я., Климык А. У. Представление групп Ли и специальные функции. Последние достижения . Перевод с русской рукописи В.А. Гроза и А.А. Гроза. Математика и ее приложения, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xvi + 497 pp. ISBN 0-7923-3210-5
- Виленкин Н. Я., Климык А. У. Представление групп Ли и специальные функции. Vol. 3. Классические и квантовые группы и специальные функции . Перевод с русского В.А. Гроза и А.А. Гроза. Математика и ее приложения (Советская серия), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992. xx + 634 pp. ISBN 0-7923-1493-X
- Виленкин Н. Я., Климык А. У. Представление групп Ли и специальные функции. Vol. 2. Представления класса I, специальные функции и интегральные преобразования . Перевод с русского В.А. Гроза и А.А. Гроза. Математика и ее приложения (Советская серия), 74. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. xviii + 607 pp. ISBN 0-7923-1492-1
- Виленкин Н. Я., Климык А. У. Представление групп Ли и специальные функции. Vol. 1. Простейшие группы Ли, специальные функции и интегральные преобразования . Перевод с русского В.А. Гроза и А.А. Гроза. Математика и ее приложения (Советская серия), 72. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. xxiv + 608 pp. ISBN 0-7923-1466-2
