Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Повторное нанесение карты пекаря на точки красного и синего цвета, изначально разделенные. Карта пекаря перемешивается, что качественно можно увидеть, поскольку красная и синяя точки кажутся полностью смешанными после нескольких итераций.

В математике , микширование является абстрактным понятием , происходящее из физики : попытка описать необратимый термодинамический процесс в смешивании в повседневном мире: смешивании красок, смешивание напитков, промышленное смешивание , и т.д. .

Это понятие появляется в эргодической теории - исследовании случайных процессов и динамических систем, сохраняющих меру . Существует несколько различных определений перемешивания, включая сильное перемешивание , слабое перемешивание и топологическое перемешивание , причем последнее не требует определения меры . Некоторые из различных определений микширования можно расположить в иерархическом порядке; таким образом, сильное перемешивание означает слабое перемешивание. Кроме того, слабое перемешивание (и, следовательно, также сильное перемешивание) подразумевает эргодичность : то есть каждая система, которая слабо перемешивает, также является эргодической (и поэтому говорят, что перемешивание является «более сильным» понятием, чем эргодичность).

Неофициальное объяснение [ править ]

Математическое определение смешивания направлено на то, чтобы отразить обычный повседневный процесс смешивания, такой как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание в промышленных процессах , дым в задымленном помещении и так далее. Чтобы обеспечить математическую строгость, такие описания начинаются с определения сохраняющей меру динамической системы , записываемой как .

Под набором понимается общее заполняемое пространство: чаша для смешивания, задымленное помещение и т. Д. Под мерой понимается естественный объем пространства и его подпространств. Набор подпространств обозначается , и размер любого данного подмножества равен ; размер - это его объем. Наивно, можно себе представить , чтобы быть булеан из ; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (знаменитый парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, обычно состоит из измеримых подмножеств - подмножеств, которые имеют объем. Всегда принимается за борелевский набор - набор подмножеств, которые можно построить, взяв пересечения , объединения и дополнения множеств ; их всегда можно считать измеримыми.

Временная эволюция системы описывается картой . Если задано какое-то подмножество , его карта , как правило, будет деформированной версией - она ​​сжата или растянута, сложена или разрезана на части. Математические примеры включают в карту хлебопекарной и карту подковы , как вдохновленный хлеб -Изготовление. Набор должен иметь такую ​​же громкость, как ; сжатие / растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система «сохраняет меру» (сохраняет площадь, сохраняет объем).

Формальная трудность возникает, когда кто-то пытается согласовать объем множеств с необходимостью сохранить их размер под картой. Проблема возникает из-за того, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с . Хуже того, у единственной точки нет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратной картой ; он сопоставит любое данное подмножество с деталями, которые были собраны для его создания: эти части есть . У него есть важное свойство - не «сбиваться с пути», откуда все взялось. Более того, он обладает тем важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение является обратным некоторому отображению.. Правильное определение карты, сохраняющей объем, - это то, для которого, потому что описывает все части-части, из которых произошли.

Теперь каждый заинтересован в изучении эволюции системы во времени. Если набор в конечном итоге посещает все в течение длительного периода времени (то есть, если все приближается к большому ), система называется эргодической . Если каждый набор ведет себя таким образом, система представляет собой консервативную систему , в отличие от диссипативной системы , в которой некоторые подмножества уходят прочь и никогда не возвращаются. Примером может быть вода, текущая под гору - если она стечет, она никогда больше не вернется. Однако озеро, которое образуется на дне этой реки, может быть хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что каждая эргодическая система может быть разделена на две части: консервативную часть и диссипативную часть.

Смешение - более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя наборами , а не только между некоторыми наборами и . То есть для любых двух наборов система называется (топологически) смешивающейся, если существует такое целое число , что для всех и оно есть . Здесь обозначает пересечение множеств, а - пустое множество .

Приведенного выше определения топологического перемешивания должно быть достаточно, чтобы дать неформальное представление о перемешивании (оно эквивалентно формальному определению, приведенному ниже). Однако в нем не упоминается объем и , и, действительно, есть другое определение, которое явно работает с объемом. На самом деле несколько; один имеет как сильное перемешивание, так и слабое перемешивание; они неэквивалентны, хотя сильная система перемешивания всегда плохо перемешивает. Определения, основанные на мере, несовместимы с определением топологического перемешивания: существуют системы, которые являются одними, но не являются другими. Общая ситуация остается туманной: например, учитывая три набора, можно определить 3-перемешивание. По состоянию на 2020 год неизвестно, подразумевает ли 2-смешивание 3-смешивание. (Если рассматривать эргодичность как «1-смешивание», то становится ясно, что 1-смешивание не подразумевает 2-смешивание; есть системы, которые являются эргодическими, но не смешиваются.)

Концепция сильного перемешивания относится к объему пары наборов. Рассмотрим, например, набор цветных красителей, которые смешивают в чашке с какой-то липкой жидкостью, скажем, кукурузным сиропом, шампунем и т.п. Практический опыт показывает, что смешивание липких жидкостей может быть довольно трудным: обычно есть какой-то уголок емкости, в который трудно смешать краситель. Выберите в качестве настройки этот труднодоступный угол. Таким образом, вопрос смешивания заключается в том, может ли по прошествии достаточно длительного периода времени не только проникнуть внутрь, но и наполниться той же пропорцией, что и в другом месте?

Можно сформулировать определение сильного перемешивания как требование, чтобы

Параметр времени служит для разделения и во времени, так что вы смешиваете , удерживая фиксированный тестовый объем . Продукт немного более тонкий. Представьте, что объем составляет 10% от общего объема, и что объем красителя также будет составлять 10% от общего объема. Если равномерно распределена, то она занимая 10% , что само по себе составляет 10% от общего объема, и так, в конце концов, после смешивания, часть , которая находится в 1% от общего объема. То есть, это произведение объемов имеет более чем мимолетное сходство с теоремой Байеса о вероятностях; это не случайность, а скорее следствие того, что теория меры итеории вероятностей - это одна и та же теория: они разделяют одни и те же аксиомы ( аксиомы Колмогорова ), даже если они используют разные обозначения.

Причина использования вместо в определении немного тонка, но она следует из тех же причин, почему использовалась для определения концепции сохраняющей меру карты. Глядя на то, сколько красителя было подмешано в угол , хочется посмотреть, откуда этот краситель «взялся» (предположительно, он был залит сверху, когда-то в прошлом). Надо быть уверенным, что каждое место, откуда оно могло "прийти", в конечном итоге смешается .

Смешивание в динамических системах [ править ]

Позвольте быть динамической системой , сохраняющей меру , где T - оператор временной эволюции или сдвига . Система называется сильным перемешиванием, если для любого из них

Для сдвигов, параметризованных непрерывной переменной вместо дискретного целого числа n , применяется то же определение, с заменой на, где g является параметром непрерывного времени.

Динамическая система называется слабым перемешиванием, если

Другими словами, сильное перемешивание, если в обычном понимании, слабое перемешивание

в смысле Чезаро и эргодический, если в смысле Чезаро. Следовательно, сильное перемешивание означает слабое перемешивание, что подразумевает эргодичность. Однако обратное неверно: существуют эргодические динамические системы, которые не являются слабо перемешивающими, и слабо перемешивающие динамические системы, которые не являются сильно перемешивающими. Система Chacon исторически была первым примером системы со слабым, но не сильным перемешиванием. [1]

формулировка [ править ]

Свойства эргодичности, слабого перемешивания и сильного перемешивания динамической системы, сохраняющей меру, также могут быть охарактеризованы средним из наблюдаемых. По эргодической теореме фон Неймана эргодичность динамической системы эквивалентна тому свойству, что для любой функции последовательность сильно сходится и в смысле Чезаро к , т. Е.

Динамическая система является слабо перемешивающей, если для любых функций и

Динамическая система является сильно перемешивающей, если для любой функции последовательность слабо сходится к, т. Е. Для любой функции

Поскольку предполагается, что система сохраняет меру, эта последняя строка эквивалентна утверждению, что ковариация такова, что случайные величины и становятся ортогональными по мере роста. На самом деле, так как это работает для любой функции можно неформально см смешения как свойство , что случайные величины и стать независимым , как растет.

Продукты динамических систем [ править ]

Даны две измеренные динамические системы, и можно построить динамическую систему на декартовом произведении, определив, что тогда у нас есть следующие характеристики слабого перемешивания:

Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающей тогда и только тогда, когда для любой эргодической динамической системы она также является эргодической.
Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающей тогда и только тогда, когда она также эргодична. Если это так, то также происходит слабое перемешивание.

Обобщения [ править ]

Приведенное выше определение иногда называют сильным 2-перемешиванием , чтобы отличить его от смешивания более высоких порядков. Сильная система 3-смешивания может быть определена как система , для которой

имеет место для всех измеримых множеств , B , C . Аналогично можно определить сильное k-перемешивание . Система , которая является сильным к - смешивание для всех к  = 2,3,4, ... называется смешением всех заказов .

Неизвестно, означает ли сильное 2-перемешивание сильное 3-перемешивание. Известно, что сильное m- перемешивание предполагает эргодичность .

Примеры [ править ]

Иррациональные повороты окружности и, в более общем смысле, неприводимые сдвиги на торе являются эргодическими, но не являются ни сильно, ни слабо перемешивающими относительно меры Лебега.

Многие карты рассматриваются как хаотические сильно смешивания для некоторой хорошо подобранной инвариантной меры, в том числе: в двоичную карте , кот карта Арнольда , подковы карта , Колмогоров автоморфизмы , и поток Аносова ( геодезический поток на единичной касательное расслоение из компактных многообразий с отрицательным кривизна .)

Топологическое смешение [ править ]

Форма смешивания может быть определена без обращения к мере , используя только топологию системы. Непрерывное отображение называется топологический транзитивным , если для каждой пары непустых открытых множеств , существует целое число п такое , что

где это п - й итерации из F . В теории операторов топологически транзитивный ограниченный линейный оператор (непрерывное линейное отображение в топологическом векторном пространстве ) обычно называют гиперциклическим оператором . Связанная идея выражается странствующим множеством .

Лемма: Если X является полным метрическим пространством , не изолированной точки , то е топологический транзитивно тогда и только тогда , когда существует hypercyclic точки , то есть точка х такая , что ее орбита является плотной в X .

Система называется топологически перемешивания , если для открытых множеств и , существует целое число N , такое , что для всех , один имеет

Для системы с непрерывным временем заменяется потоком , где g является непрерывным параметром, с требованием, чтобы непустое пересечение выполнялось для всех .

Слабое перемешивание топологического является тот , который не имеет непостоянный непрерывный (по отношению к топологии) собственным функциями оператора сдвига.

Топологическое перемешивание не подразумевает и не подразумевает ни слабое, ни сильное перемешивание: есть примеры систем, которые являются слабыми, но не топологически перемешивающими, и примеры, которые являются топологически перемешивающими, но не сильными.

Смешивание в случайных процессах [ править ]

Позвольте быть случайным процессом на вероятностном пространстве . Пространство последовательностей, в которое отображается процесс, может быть наделено топологией, топологией продукта . В открытых множеств этой топологии называются цилиндрами множеств . Эти цилиндрические множества порождают σ-алгебру , борелевскую σ-алгебру ; это наименьшая σ-алгебра, содержащая топологию.

Определите функцию , называемую коэффициентом сильного смешивания , как

для всех . Символ с обозначает под-σ-алгебру σ-алгебры; это набор цилиндрических наборов, которые задаются между моментами a и b , то есть σ-алгебра, порожденная .

Говорят, что процесс сильно перемешивается, если as . Другими словами, процесс сильного перемешивания таков, что, будучи единообразным для всех времен и всех событий, события до времени и события после времени стремятся быть независимыми, как ; Говоря проще, процесс, в строгом смысле слова, забывает свою историю.

Смешивание в марковских процессах [ править ]

Предположим, что это стационарный марковский процесс со стационарным распределением, и пусть обозначает пространство функций, измеримых по Борелю, которые интегрируются с квадратом относительно меры . Также позвольте

обозначим оператор условного ожидания на Наконец, пусть

обозначим пространство суммируемых с квадратом функций с нулевым средним.

Коэффициенты ρ- смешения процесса { x t } равны

Процесс называется ρ- перемешиванием, если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , и « ρ- перемешиванием с экспоненциальной скоростью убывания», если ρ t < e - δt для некоторого δ > 0 . Для стационарного марковского процесса коэффициенты ρ t могут либо убывать с экспоненциальной скоростью, либо всегда быть равными единице. [2]

Коэффициенты α- смешения процесса { x t } равны

Процесс называется α -перемешиванием , если эти коэффициенты сходятся к нулю при т → ∞ , то «α-смешивании с экспоненциальной скоростью распада» , если α т < ТО - & delta ; t в течение некоторого б > 0 , и это α-смешивание с субэкспоненциальная скорость убывания, если α t < ξ ( t ) для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей

как . [2]

Коэффициенты α- перемешивания всегда меньше, чем коэффициенты ρ- перемешивания: α tρ t , поэтому, если процесс является ρ- перемешиванием, он обязательно будет также α- перемешиванием. Однако, когда ρ t = 1 , процесс все еще может быть α- перемешиванием с субэкспоненциальной скоростью затухания.

Коэффициенты β- смешения определяются выражением

Процесс называется β -перемешиванием , если эти коэффициенты сходятся к нулю при т → ∞ , то β-смешивании с экспоненциальной скоростью распада , если β т < ТО - & delta ; t в течение некоторого б > 0 , и это β-смешивание с суб -экспоненциальная скорость убывания, если β t ξ ( t ) → 0 при t → ∞ для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей условию

как . [2]

Строго стационарный марковский процесс является β- перемешивающим тогда и только тогда, когда он является апериодической рекуррентной цепью Харриса . Коэффициенты β- смешения всегда больше, чем коэффициенты α- смешения, поэтому, если процесс представляет собой β- смешение, это также будет α- смешение. Между β- смешиванием и ρ- смешиванием нет прямой связи : ни одно из них не подразумевает другого.

Ссылки [ править ]

  • В.И. Арнольд, А. Авез, Эргодические задачи классической механики , (1968), WA Benjamin, Inc.
  • Ахим Кленке, Теория вероятностей , (2006) Springer ISBN  978-1-84800-047-6
  • Чен, Сяохун; Хансен, Ларс Питер; Карраско, Марин (2010). «Нелинейность и временная зависимость». Журнал эконометрики . 155 (2): 155–169. CiteSeerX  10.1.1.597.8777 . DOI : 10.1016 / j.jeconom.2009.10.001 .CS1 maint: ref=harv (link)
  1. ^ Мэтью Никол и Карл Петерсен, (2009) « Эргодическая теория: основные примеры и конструкции », Энциклопедия сложности и системологии , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
  2. ^ a b c Чен, Хансен и Карраско (2010)