В математике , А фуксово модель является представлением гиперболической римановой поверхности R как частное от верхней полуплоскости H с помощью Фукса группы . Любая гиперболическая риманова поверхность допускает такое представление. Концепция названа в честь Лазаря Фукса .
Более точное определение
По теореме об униформизации любая риманова поверхность может быть эллиптической , параболической или гиперболической . Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхностькоторый не изоморфен ни сфере Римана (эллиптический случай), ни факторизации комплексной плоскости по дискретной подгруппе (параболический случай) должен быть фактором гиперболической плоскости подгруппой действуя правильно, прерывисто и свободно .
В модели полуплоскости Пуанкаре для гиперболической плоскости группой биголоморфных преобразований является группадействуя homographies , и теорема униформизации означает , что существует в дискретную , без кручения подгруппы такая, что риманова поверхность изоморфен . Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм называется фуксовой моделью для .
Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера
Позволять - замкнутая гиперболическая поверхность и пусть - фуксова группа, так что фуксова модель для . Позволять
и снабдим это множество топологией поточечной сходимости (иногда называемой «алгебраической сходимостью»). В данном конкретном случае эту топологию проще всего определить следующим образом: группаэто конечно порождена , так как она изоморфна фундаментальной группе. Позволять быть генераторной установкой: тогда любой определяется элементами и поэтому мы можем идентифицировать с подмножеством по карте . Затем мы даем ему топологию подпространства.
Теорема об изоморфизме Нильсена (это нестандартная терминология, и этот результат не имеет прямого отношения к теореме Дена – Нильсена ) тогда имеет следующее утверждение:
- Для любой существует самогомеоморфизм (фактически квазиконформное отображение ) верхней полуплоскости такой, что для всех .
Доказательство очень простое: выберите гомеоморфизм. и поднимем на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма дает квазиконформное отображение, поскольку компактный.
Этот результат можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для Тайхмюллера пространства в: множество дискретных точных представлений фундаментальной группы в по модулю сопряженности и множество отмеченных римановых поверхностей где является квазиконформным гомеоморфизмом по модулю естественного отношения эквивалентности.
Рекомендации
Matsuzaki, K .; Танигучи, М .: Гиперболические многообразия и клейновы группы. Оксфорд (1998).
Смотрите также
- модель Кляйнианской , аналогичная конструкция для 3-многообразий
- Фундаментальный многоугольник