В дифференциальной геометрии и изучении групп Ли , А параболическая геометрия является однородным пространством G / P , который является фактором в полупростой группе Ли G по параболической подгруппе P . В более общем смысле криволинейные аналоги параболической геометрии в этом смысле также называются параболической геометрией: любая геометрия, которая моделируется на таком пространстве с помощью связи Картана .
Примеры
Проективное пространство Р п является примером. Это однородное пространство PGL ( n +1) / H, где H - группа изотропии прямой. В этом геометрическом пространстве понятие прямой имеет смысл, но нет предпочтительного («аффинного») параметра вдоль линий. Изогнутый аналог проективного пространства - это многообразие, в котором понятие геодезической имеет смысл, но для которого нет предпочтительных параметризаций на этих геодезических. Проективная связность является соответствующей картановской соединение , которое дает средство для описания проективной геометрии склеивания копий проективного пространства касательных пространств базисного многообразия. Вообще говоря, проективная геометрия относится к изучению многообразий с такой связью.
Другой пример - конформная сфера . Топологически это n- сфера, но на ней нет определения длины, только угла между кривыми. Эквивалентно эта геометрия описывается как класс эквивалентности римановых метрик на сфере (называемый конформным классом). Группа преобразований , которые сохраняют углы на сфере является группа Лоренца О ( п + 1,1), и так S п = О ( п + 1,1) / Р . Конформная геометрия - это, в более широком смысле, изучение многообразий с классом конформной эквивалентности римановых метрик, т. Е. Многообразий, смоделированных на конформной сфере. Здесь ассоциированная связь Картана является конформной связью .
Другие примеры включают:
- CR-геометрия , исследование многообразий, смоделированных на реальной гиперквадрике., где является стабилизатором изотропной прямой (см. CR-многообразие )
- контактная проективная геометрия, исследование многообразий по модели где это та подгруппа симплектической группы, стабилизирующая прямую, порожденную первым стандартным базисным вектором в
Рекомендации
- Чап, Андреас ; Словак, Ян (2009), Параболические геометрии: Предпосылки и общая теория , AMS, ISBN 978-0-8218-2681-2 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Словак, J. Parabolic Geometries , Research Lecture Notes, Part докторской диссертации, Masaryk University, 1997, 70pp, IGA Preprint 97/11 (University of Adelaide)