Теория хирургии

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , особенно в геометрической топологии , теория хирургии - это набор методов, используемых для создания одного конечномерного многообразия из другого «контролируемым» способом, введенный Джоном Милнором ( 1961 ). Первоначально разработанные для дифференцируемых (или гладких ) многообразий, методы хирургии также применимы к кусочно линейным (PL-) и топологическим многообразиям.

Хирургия заключается в вырезании частей коллектора и замене их частью другого коллектора, совмещая их вдоль разреза или границы. Это тесно связано с разложением корпуса ручки , но не идентично ему . Это основной инструмент в изучении и классификации многообразий размерности больше 3.

С технической точки зрения идея состоит в том, чтобы начать с хорошо изученного многообразия M и провести на нем операцию, чтобы получить многообразие M ′, обладающее некоторым желаемым свойством, таким образом, чтобы влияние на гомологии , гомотопические группы или другие инварианты многообразие известно.

Классификация экзотических сфер по Мишель Керверу и Милнору ( 1963 ) привел к появлению теории перестроек в качестве основного инструмента в многомерной топологии.

Хирургия на коллекторе [ править ]

Эта статья написана как исследовательская статья или научный журнал, в котором могут использоваться чрезмерно технические термины, или же она может быть написана не как энциклопедическая статья . Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав в энциклопедическом стиле . ( Июль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Если X , Y - многообразия с краем, то краем многообразия-произведения является

{\ displaystyle \ partial (X \ times Y) = (\ partial X \ times Y) \ cup (X \ times \ partial Y).}

Основное наблюдение, которое оправдывает операцию, состоит в том, что пространство можно понимать либо как границу, либо как границу . В символах ${\ Displaystyle S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}$ ${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$ $S^{p}\times D^{q}$

\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)

,

где - q -мерный диск, т. е. множество точек , находящихся на расстоянии не более одного от заданной фиксированной точки (центра диска); например, то, является гомеоморфно единичному интервалу, в то время как это круг вместе с точками в его интерьере. $D^{q}$ $\mathbb {R} ^{q}$ $D^{1}$ $D^{2}$

Теперь, учитывая многообразие M размерности и вложения , определим другое n -мерное многообразие как $n=p+q$ $\phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M$ $M'$

M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).

Один говорит , что многообразие M 'производится с помощью операции вырезания и вклеивания , или по р - хирургию , если один хочет , чтобы указать число р . Строго говоря, M ′ - многообразие с углами, но есть канонический способ их сгладить. Обратите внимание, что подмногообразие, которое было заменено в M, было той же размерности, что и M (оно имело коразмерность 0). $S^{p}\times D^{q}$ $D^{p+1}\times S^{q-1}$

Хирургия тесно связана с прикреплением ручки (но не то же самое) . Для ( n + 1) -многообразия с краем ( L , ∂ L ) и вложения : S ^p × D ^q → ∂ L , где n = p + q , определим другое ( n + 1) -многообразие с краем L ′ к $\phi$

L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).

Многообразие L ′ получается «присоединением ( p + 1) -ручки», причем ∂ L ′ получается из ∂ L с помощью p -хирургии

\partial L'=(\partial L-\operatorname {int~im} \phi )\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).

Перестройка на M не только порождает новое многообразие M ′, но и кобордизм W между M и M ′. След от операции является кобордизмом ( Вт ; М , М '), с

W:=(M\times I)\;\cup _{S^{p}\times D^{q}\times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)

( n + 1) -мерное многообразие с краем ∂ W = M ∪ M ′, полученное из произведения M × I присоединением ( p + 1) -ручки D ^{p +1} × D ^q .

Хирургия симметрична в том смысле, что многообразие M может быть повторно получено из M ′ с помощью ( q - 1) -хирургии, след которой совпадает со следом исходной хирургии, с точностью до ориентации.

В большинстве приложений многообразие M поставляется с дополнительной геометрической структурой, такой как карта некоторого эталонного пространства или дополнительные данные связки. Затем нужно, чтобы хирургический процесс наделил M 'такой же дополнительной структурой. Например, стандартным инструментом в теории хирургии является операция на картах нормалей : такой процесс меняет карту нормалей на другую карту нормалей в том же классе бордизмов.

Примеры [ править ]

Хирургия на круге

рисунок 1
Согласно приведенному выше определению, операция на окружности состоит из вырезания копии S ⁰ × D ¹ и склеивания в D ¹ × S ⁰ . Рисунки на рис. 1 показывают, что результатом этого является либо (i) снова S ¹ , либо (ii) две копии S ¹ .

Рис. 2а

Рис. 2b
Хирургия на 2-й сфере
В этом случае возможностей больше, так как мы можем начать с вырезания либо S ¹ × D ^1, либо S ⁰ × D ² .
1. S ¹ × D ¹ : Если мы удалим цилиндр из 2-сферы, у нас останутся два диска. Мы должны снова склеить S ⁰ × D ^2, то есть два диска, и ясно, что в результате мы получим две непересекающиеся сферы. (Рис. 2а)
  
  Рис. 2в. Эта фигура не может быть встроена в 3-мерное пространство
2. S ⁰ × D ² : Вырезав два диска S ⁰ × D ² , приклеиваем обратно в цилиндр S ¹ × D ¹ . Есть два возможных результата, в зависимости от того, имеют ли наши карты склейки одинаковую или противоположную ориентацию на двух граничных окружностях. Если ориентации совпадают (рис. 2b), результирующее многообразие представляет собой тор S ¹ × S ¹ , но если они разные, мы получаем бутылку Клейна (рис. 2c).
Хирургия на n -сфере. Если n = p + q , то . Р -surgery на S ^п поэтому . Примеры 1 и 2 выше были частным случаем этого. $S^{n}=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^{q})=S^{p}\times D^{q}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}$ $D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}=S^{p+1}\times S^{q-1}$
Функции Морса. Предположим, что f - функция Морса на ( n + 1) -мерном многообразии, и предположим, что c - критическое значение с ровно одной критической точкой в прообразе. Если индекс этой критической точки р + 1, то уровень посаженный получаются из с помощью р -surgery. Бордизм можно идентифицировать со следом этой операции. Действительно, в некоторой координатной карте вокруг критической точки функция f имеет вид , причем , и p + q + 1 = n + 1. Рис. 3 $M':=f^{-1}(c+\varepsilon )$ $M:=f^{-1}(c-\varepsilon )$ $W:=f^{-1}([c-\varepsilon ,c+\varepsilon ])$ $-\Vert x\Vert ^{2}+\Vert y\Vert ^{2}$ $x\in R^{p+1},y\in R^{q}$ показывает в этой локальной карте многообразие M синим цветом и многообразие M ′ красным цветом. Окрашена область между М и М 'соответствуют бордизмам Вт . На рисунке видно, что W диффеоморфно объединению
$W\cong M\times I\cup _{S^{p}\times D^{q}}D^{p+1}\times D^{q}$
(без учета выпрямления углов), где M × I окрашен в желтый цвет, а - в зеленый. Многообразие М ', будучи граничной компонентой W , поэтому получаются из М с помощью р -surgery. Поскольку каждый бордизм между замкнутыми многообразиями имеет функцию Морса, в которой разные критические точки имеют разные критические значения, это показывает, что любой бордизм может быть разложен на следы хирургических операций ( разложение на ручки ). В частности, любое многообразие M можно рассматривать как бордизм от края ∂ M (который может быть пустым) к пустому многообразию, и поэтому его можно получить из ∂ $D^{p+1}\times D^{q}$ M × I , прикрепив ручки.

Влияние на гомотопические группы и сравнение с привязкой к клетке [ править ]

Интуитивно процесс перестройки - это многообразный аналог присоединения клетки к топологическому пространству, где вложение φ заменяет присоединяемое отображение. Простое присоединение ( q + 1) -ячейки к n -многообразию разрушило бы структуру многообразия по причинам размерности, поэтому его нужно утолщать, пересекая с другой ячейкой.

С точностью до гомотопии процесс перестройки вложения φ: S ^p × D ^q → M можно описать как присоединение ( p + 1) -клетки, задающее гомотопический тип следа, и отсоединение q -клетки , чтобы получить N . Необходимость процесса отделения можно понять как эффект двойственности Пуанкаре .

Точно так же, как ячейка может быть присоединена к пространству, чтобы уничтожить элемент в некоторой гомотопической группе пространства, p -хирургия на многообразии M часто может использоваться для уничтожения элемента . Однако важны два момента: во-первых, элемент должен быть представлен вложением φ: S ^p × D ^q → M (что означает вложение соответствующей сферы с тривиальным нормальным расслоением $\alpha \in \pi _{p}(M)$ $\alpha \in \pi _{p}(M)$ ). Например, невозможно выполнить операцию на петле с изменением ориентации. Во-вторых, необходимо учитывать влияние процесса отщепления, поскольку он также может влиять на рассматриваемую гомотопическую группу. Грубо говоря, это вторая точка имеет значение только , когда р является , по меньшей мере, порядка половине размерности М .

Приложение к классификации многообразий [ править ]

Происхождение и основное применение теории хирургии лежат в классификации многообразий размерности больше четырех. В общих чертах, организационные вопросы теории хирургии следующие:

Является ли X многообразием?
Является ли f диффеоморфизмом?

Более формально нужно спросить, до гомотопии ли :

Имеет ли пространство X гомотопический тип гладкого многообразия той же размерности?
Является ли гомотопическая эквивалентность f : M → N двух гладких многообразий гомотопной диффеоморфизму?

Получается, что второй («единственность») вопрос является относительной версией вопроса первого («существование») типа; таким образом, оба вопроса можно рассматривать одними и теми же методами.

Обратите внимание, что теория хирургии не дает полного набора инвариантов для этих вопросов. Вместо этого он является теоретическим препятствием : есть первичное препятствие и вторичное препятствие, называемое хирургическим препятствием, которое определяется только в том случае, если первичное препятствие исчезает, и которое зависит от выбора, сделанного при проверке того, что первичное препятствие исчезает.

Хирургический подход [ править ]

В классическом подходе, разработанном Уильямом Браудером , Сергеем Новиковым , Деннисом Салливаном и CTC Wall , операция выполняется на картах нормалей первой степени. С помощью хирургии вопрос «Кобордантно ли нормальное отображение f : M → X степени один гомотопической эквивалентности?» может быть переведены (в размерности больше четыре) алгебраическое утверждение о каком - то элементе в L-группе из группового кольца . Точнее, вопрос имеет положительный ответ тогда и только тогда, когда препятствие к перестройке равно нулю, где n - размерность $\mathbf {Z} [\pi _{1}(X)]$ $\sigma (f)\in L_{n}(\mathbf {Z} [\pi _{1}(X)])$ M .

Например, рассмотрим случай, когда размерность n = 4k кратна четырем, и . Известно, что изоморфен целым числам ; при этом изоморфизме операции обструкции F карт, с точностью до скалярного множителя, разность подписей в X и M . Следовательно, нормальное отображение степени один кобордантно гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда подписи области и области совпадают. $\pi _{1}(X)=0$ $L_{4k}(\mathbf {Z} )$ $\mathbf {Z}$ $\sigma (X)-\sigma (M)$

Возвращаясь к вопросу о «существовании» сверху, мы видим, что пространство X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда оно получает нормальное отображение степени один, препятствие для перестройки которого равно нулю. Это приводит к многоступенчатому процессу препятствий: чтобы говорить о нормальных отображениях, X должно удовлетворять соответствующей версии двойственности Пуанкаре, которая превращает его в комплекс Пуанкаре . Предположив , что Х представляет собой комплекс Пуанкаре, в конструкции Понтрягина-Тома показывает , что нормальное отображение степени одного до X существует тогда и только тогда , когда Спивак нормальное расслоение из X имеет сведение к устойчивым векторного расслоения. Если нормальные отображения степени один в X существуют, их классы бордизма (называемые нормальными инвариантами ) классифицируются набором гомотопических классов . Каждый из этих нормальных инвариантов имеет хирургическую преграду; X имеет гомотопический тип гладкого многообразия тогда и только тогда, когда одно из этих препятствий равно нулю. Другими словами, это означает, что существует выбор нормального инварианта с нулевым изображением при отображении препятствий к операциям $[X,G/O]$

[X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbf {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).

Наборы структур и точная последовательность операций [ править ]

Концепция структурного множества является объединяющей основой как для вопросов существования, так и для уникальности. Грубо говоря, структурное множество пространства X состоит из гомотопических эквивалентностей M → X из некоторого многообразия в X , где два отображения отождествляются отношением типа бордизма. Необходимым (но не в общем достаточным) условием структуры множества пространства X , чтобы быть непустым, что Х быть п - мерный комплекс Пуанкаре, то есть , что гомологии и когомологий групп связаны с изоморфизмам в качестве п $H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)$ -мерное многообразие для некоторого целого n . В зависимости от точного определения и категории многообразий ( гладкие , PL или топологические ) существуют различные версии структурных множеств. Поскольку по теореме о s-кобордизме некоторые бордизмы между многообразиями изоморфны (в соответствующей категории) цилиндрам, понятие структурного множества допускает классификацию даже с точностью до диффеоморфизма .

Набор структур и карта препятствий операции сводятся вместе в точной последовательности операций . Эта последовательность позволяет определить структурное множество комплекса Пуанкаре после того, как будет понятна карта препятствий к операциям (и ее относительная версия). В важных случаях гладкое или топологическое структурное множество может быть вычислено с помощью точной последовательности операций. Примерами являются классификация экзотических сфер и доказательства гипотезы Бореля для многообразий с отрицательной кривизной и многообразий с гиперболической фундаментальной группой.

В топологической категории операция точная последовательность является длинным точной последовательность индуцируется последовательностью расслоения в спектрах . Это означает, что все множества, входящие в последовательность, на самом деле являются абелевыми группами. На уровне спектра карта препятствий хирургии - это карта сборки , слой которой является пространством блочной структуры соответствующего многообразия.

См. Также [ править ]

теорема о s-кобордизме
теорема о h-кобордизме
Скручивание Уайтхеда
Хирургия Дена
Разложение многообразия
Ориентационный персонаж
Сантехника (математика)

Ссылки [ править ]

Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0358813
Каппелл, Сильвен ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан , ред. (2000), Обзоры по теории хирургии. Vol. 1 (PDF) , Анналы математических исследований, 145 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04938-0, MR 1746325
Каппелл, Сильвен; Раницки, Эндрю; Розенберг, Джонатан, ред. (2001), Обзоры по теории хирургии. Vol. 2 (PDF) , Анналы математических исследований, 149 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08815-0, MR 1818769
Kervaire, Michel A .; Милнор, Джон У. (1963), "Группа гомотопических сфер: I", Анналы математики , 77 (3): 504-537, DOI : 10,2307 / 1970128 , JSTOR 1970128 , MR 0148075
Милнор, Джон Уиллард (1961), "Процедура убийства гомотопических групп дифференцируемых многообразий", Proc. Симпозиумы. Чистая математика. III , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 39–55, MR 0130696
Милнор, Джон Уиллард (1965), Лекции по теореме о h-кобордизме , Примечания Лорана Зибенмана и Джонатана Сондоу, Princeton University Press , MR 0190942
Постников, Микаил М .; Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], "Хирургия Морса" , Энциклопедия математики , EMS Press
Раницким, Эндрю (1980), "Алгебраическая теория хирургии I. Основы." (PDF) , Труды Лондонского математического общества , 40 (3): 87-192, CiteSeerX 10.1.1.309.4753 , DOI : 10.1112 / ПНИЛ /s3-40.1.87
Раниц- кий, Эндрю (1980), "Алгебраическая теория хирургии II приложения к топологии.." (PDF) , Труды Лондонского математического общества , 40 (2): 193-283, DOI : 10.1112 / ПНИЛ / s3-40.2. 193
Раники, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, Руководство по ремонту 2061749
Wall, CTC (1999) [1970], Раники, Эндрю (редактор), Хирургия компактных многообразий (PDF) , Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388

Внешние ссылки [ править ]

Теория хирургии для любителей
Эдинбургская группа по изучению теории хирургии
2012 Обервольфахский семинар по теории хирургии в проекте Manifold Atlas
2012 Регенсбургский блок-семинар по теории хирургии в проекте Manifold Atlas
Гарвардский хирургический курс Джейкоба Лурье 2011 г. Конспект лекций
Домашняя страница Эндрю Раники
Домашняя страница Шмуэля Вайнбергера