В математике, нормальная карта является понятие в геометрической топологии из - за Уильяма Браудера , который имеет фундаментальное значение в теории перестроек . Учитывая комплекс Пуанкаре X (точнее говоря, пространство Пуанкаре ), нормальное отображение на X наделяет пространство, грубо говоря, некоторой теоретико-гомотопической глобальной структурой замкнутого многообразия. В частности, у X есть хороший кандидат на стабильное нормальное расслоение и отображение коллапса Тома , что эквивалентно существованию отображения из многообразия M в Xсоответствие фундаментальным классам и сохранение нормальной информации о связках. Если размерность X равна5 тогда имеется только препятствие хирургической операции алгебраической топологии из-за того, что CTC Wall в X фактически гомотопически эквивалентен замкнутому многообразию. Карты нормалей также применимы к изучению единственности структур многообразий внутри гомотопического типа, которое было впервые предложено Сергеем Новиковым .
В кобордизмов классы нормальных карт на X называются нормальными инварианты . В зависимости от категории многообразий (дифференцируемые, кусочно-линейные или топологические) существуют аналогично определенные, но неэквивалентные понятия нормальных отображений и нормальных инвариантов.
Можно выполнить операцию на картах нормалей, то есть операцию на многообразии областей и сохранить карту. Хирургия карт нормалей позволяет систематически уничтожать элементы в относительных гомотопических группах, представляя их как вложения с тривиальным нормальным расслоением .
Определение
Есть два эквивалентных определения карт нормалей, в зависимости от того, используются ли нормальные расслоения или касательные расслоения многообразий. Следовательно, можно переключаться между определениями, что оказывается весьма удобным.
1. Дан комплекс Пуанкаре X (т. Е. CW-комплекс , клеточно-цепной комплекс которого удовлетворяет двойственности Пуанкаре ) формальной размерности, нормальное отображение на X состоит из
- карта из некоторого замкнутого n -мерного многообразия M ,
- набор над X и стабильное отображение из стабильного нормального расслоения из к , а также
- обычно предполагается, что карта нормалей имеет первую степень . Это означает, что основной класс должен быть нанесен на карту под к фундаментальному классу : .
2. Учитывая комплекс Пуанкаре (т.е. CW-комплекс , клеточно-цепной комплекс которого удовлетворяет двойственности Пуанкаре ) формальной размерности, карта нормалей на (относительно касательного расслоения) состоит из
- карта из некоторых закрытых -мерное многообразие ,
- набор над , и устойчивое отображение из устойчивого касательного расслоения из к , а также
- так же, как и выше, требуется, чтобы фундаментальный класс должен быть нанесен на карту под к фундаментальному классу : .
Две нормальные карты эквивалентны, если между ними существует нормальный бордизм.
Роль в теории хирургии
Хирургия на картах против хирургии на картах нормалей
Рассмотрим вопрос:
- Гомотопически ли комплекс Пуанкаре X формальной размерности n замкнутому n -многообразию?
Наивный хирургический подход к этому вопросу был бы таков: начните с карты. из какого-то многообразия к , и попробуйте сделать на нем операцию, чтобы сделать из него гомотопическую эквивалентность. Обратите внимание на следующее: поскольку наше начальное отображение было выбрано произвольно, а операция всегда дает кобордантные отображения, эта процедура должна выполняться (в худшем случае) для всех классов кобордизмов отображений.. Этот вид теории кобордизмов представляет собой теорию гомологий, коэффициенты которой были вычислены Томом : поэтому классы кобордизмов таких отображений вычислимы, по крайней мере, теоретически для всех пространств..
Однако оказывается, что очень трудно решить, можно ли сделать гомотопическую эквивалентность карты с помощью хирургии, тогда как тот же вопрос намного проще, когда карта поставляется с дополнительной структурой карты нормалей. Поэтому в классическом хирургическом подходе к нашему вопросу мы начинаем с нормального отображения(предположим, что он существует) и проводит на нем операцию. Это дает несколько преимуществ:
- Из того, что отображение имеет степень один, следует, что гомологии распадается как прямая сумма гомологий и так называемое ядро хирургии , это . (Здесь мы предполагаем, что индуцирует изоморфизм фундаментальных групп и использует гомологии с локальными коэффициентами в .)
По теореме Уайтхеда отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда ядро перестройки равно нулю.
- Данные пакета подразумевают следующее: Предположим, что элемент (относительная гомотопическая группа ) можно представить вложением (или, в более общем смысле, погружение ) с нулевой гомотопией. Тогда его можно представить вложением (или погружением), нормальное расслоение которого стабильно тривиально. Это наблюдение важно, поскольку операция возможна только на вложениях с тривиальным нормальным расслоением. Например, если меньше половины размера , каждая карта гомотопно вложению по теореме Уитни . С другой стороны, любое стабильно тривиальное нормальное расслоение такого вложения автоматически тривиально, поскольку для . Следовательно, операция на картах нормалей всегда может быть сделана ниже среднего измерения. Это не верно для произвольных карт.
Обратите внимание, что этот новый подход требует классификации классов бордизмов нормальных отображений, которые являются нормальными инвариантами. В отличие от классов кобордизма отображений, нормальные инварианты являются теорией когомологий . Его коэффициенты известны в случае топологических многообразий. Для случая гладких многообразий коэффициенты теории намного сложнее.
Нормальные инварианты против набора структур
Есть две причины, по которым важно изучать набор. . Напомним, что основная цель теории хирургии - ответить на вопросы:
1. Для конечного комплекса Пуанкаре есть -многообразия гомотопия, эквивалентная ?
2. Для двух гомотопических эквивалентностей , где есть ли диффеоморфизм такой, что ?
Обратите внимание: если ответ на эти вопросы должен быть положительным, то необходимым условием является положительный ответ на следующие два вопроса.
1. ' Для конечного комплекса Пуанкаре есть ли карта нормалей степени один? ?
2. ' Учитывая две гомотопические эквивалентности, где есть нормальный кобордизм? такой, что а также ?
Это, конечно, почти тривиальное наблюдение, но оно важно, поскольку оказывается, что существует эффективная теория, которая отвечает на вопрос 1. ' а также эффективная теория, которая отвечает на вопрос 1. дала ответ на вопрос 1. » Да. Аналогично для вопросов 2 и 2 ». Также обратите внимание, что мы можем сформулировать вопросы следующим образом:
1. ' Является?
2. ' Является в ?
Следовательно, изучение действительно первый шаг в попытке понять набор хирургической структуры что является основной целью теории хирургии. Дело в том, что гораздо более доступен с точки зрения алгебраической топологии, как объясняется ниже.
Теория гомотопии
1. ' Пусть X - конечный n -мерный комплекс Пуанкаре. Полезно использовать определениес обычными связками. Напомним, что (гладкое) многообразие имеет единственное касательное расслоение и единственное стабильное нормальное расслоение. Но конечный комплекс Пуанкаре не имеет такого единственного расслоения. Тем не менее у него есть заменитель - уникальное в некотором смысле сферическое расслоение - так называемое нормальное расслоение Спивака. У этого есть свойство, что еслигомотопически эквивалентно многообразию, то сферическое расслоение, связанное с обратным движением нормального расслоения этого многообразия, изоморфно нормальному расслоению Спивака. Отсюда следует, что еслито нормальное расслоение Спивака имеет расслоение. По конструкции Понтрягина-Тома верно и обратное.
Это можно сформулировать в терминах теории гомотопии. Отзывать классифицирующее пространство для стабильных сферических расслоений, классифицирующее пространство для стабильных векторных расслоений и отображение индуцированное включением и что соответствует взятию ассоциированного сферического расслоения векторного расслоения. Фактически у нас есть последовательность расслоений. Нормальное расслоение Спивака классифицируется картой. Он имеет редукцию векторного расслоения тогда и только тогда, когда есть лифт . Это эквивалентно требованию, чтобы композиция нуль-гомотопна.
Отметим, что гомотопические группы известны в некоторых малых размерностях и нетривиальны, что предполагает возможность того, что указанное выше условие может не выполняться для некоторых . На самом деле существуют такие конечные комплексы Пуанкаре, и первый пример был получен Гитлером и Сташевым , [ цитата необходима ], давая, таким образом, пример комплекса Пуанкаре, не гомотопически эквивалентного многообразию.
2. ' Релятивизируя приведенные выше соображения, мы получаем (неестественную) биекцию
Разные категории
Вышеупомянутая биекция дает структура абелевой группы, поскольку пространство является пространством петель и фактически бесконечным пространством петель, поэтому нормальные инварианты являются нулевой группой когомологий необычной теории когомологий, определяемой этим бесконечным пространством петель. Обратите внимание, что аналогичные идеи применимы и к другим категориям многообразий, и у одного есть биекции
- , а также , а также
Как известно, пространства
- , а также
взаимно не гомотопически эквивалентны, и, следовательно, можно получить три различные теории когомологий.
Салливан проанализировал дела а также . Он показал, что эти пространства обладают альтернативными структурами бесконечных пространств петель, которые на самом деле лучше со следующей точки зрения: Напомним, что существует отображение препятствий к перестройкам нормальных инвариантов в L-группу. С описанной выше структурой групп на нормальных инвариантах это отображение НЕ является гомоморфизмом. Однако с групповой структурой из теоремы Салливана она становится гомоморфизмом в категориях, а также . Его теорема также связывает эти новые групповые структуры с хорошо известными теориями когомологий: сингулярными когомологиями и действительной K-теорией.
Рекомендации
- Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0358813
- Гитлер, Самуле; Сташефа, Джеймс Д. (ноябрь 1965 г.), "Первый экзотический класс BF", Топология , 4 (3): 257-266, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (65) 90010-8
- Люк, Вольфганг (2002), Основное введение в теорию хирургии (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, школы "Теория многомерных многообразий" в Триесте, май / июнь 2001 г., Международный центр теоретических исследований Абдуса Салама. Физика, Триест 1-224
- Раники, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, CiteSeerX 10.1.1.309.8886 , doi : 10.1093 / acprof: oso / 9780198509240.001.0001 , ISBN 978-0-19-850924-0, Руководство по ремонту 2061749
- Стена, CTC (1999), хирургии на компактных многообразиях , Математические Обзоры и монографиях, 69 (2 - е изд.), Providence, RI: Американского математического общества , CiteSeerX 10.1.1.309.8451 , DOI : 10,1090 / Surv / 069 , ISBN 978-0-8218-0942-6, Руководство по ремонту 1687388