В математике, и особенно топологии , А комплекс Пуанкаре (названный в честь математик Анри Пуанкаре ) является абстракция сингулярного цепного комплекса в виде замкнутой , ориентируемого многообразия .
Группы особых гомологий и когомологий замкнутого ориентируемого многообразия связаны двойственностью Пуанкаре . Двойственность Пуанкаре - это изоморфизм между группами гомологий и когомологий . Цепной комплекс называется комплексом Пуанкаре, если его группы гомологий и группы когомологий обладают абстрактными свойствами двойственности Пуанкаре. [1]
Пуанкаре пространство является топологическим пространством, сингулярный цепной комплекс представляет собой комплекс Пуанкаре. Они используются в теории хирургии для алгебраического анализа многообразий.
Определение
Позволять быть цепной комплекс из абелевых групп , и предположим , что группы гомологииимеют конечное число образующих . Предположим, что существует карта, называемая цепно-диагональной, обладающая тем свойством, что . Вот картаобозначает кольцевой гомоморфизм, известный как карта увеличения , который определяется следующим образом: если, тогда . [2]
Используя диагональ, как определено выше, мы можем формировать пары, а именно:
- ,
где обозначает колпачок продукта . [3]
Цепной комплекс C называется геометрическим, если существует цепная гомотопия между а также , где это транспонирование / переворот, задаваемое формулой .
Геометрический цепной комплекс называется алгебраическим комплексом Пуанкаре размерности n , если существует бесконечно упорядоченный элемент n -мерной группы гомологий, например, такие, что отображения, заданные
групповые изоморфизмы для всех. Эти изоморфизмы являются изоморфизмами двойственности Пуанкаре. [4] [5]
Пример
- Единственное число цепной комплекс ориентируемого, закрытый п - мерное многообразие является примером комплекса Пуанкаре, где изоморфизмы двойственности задаются заглушкой фундаментальным классом . [1]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Комплекс Пуанкаре» , Энциклопедия математики , EMS Press , получено 6 августа 2010 г.
- ^ Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , Cambridge University Press , стр. 110, ISBN 978-0-521-79540-1
- ^ Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , Cambridge University Press, стр. 239–241, ISBN 978-0-521-79540-1
- ^ Уолл, СТС (1966). «Хирургия неодносвязных многообразий». Анналы математики . 84 (2): 217–276. DOI : 10.2307 / 1970519 . JSTOR 1970519 .
- ^ Уолл, СТС (1970). Хирургия компактных многообразий . Академическая пресса.
- Wall, CTC (1999) [1970], Раники, Эндрю (редактор), Хирургия компактных многообразий (PDF) , Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0942-6, Руководство по ремонту 1687388 - особенно Глава 2
Внешние ссылки
- Классификация комплексов Пуанкаре с помощью фундаментальных троек на Атласе многообразий