Стабильный нормальный комплект

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Февраль 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории хирургии филиала математики , то стабильное нормальное расслоение из дифференцируемого многообразия является инвариантом , который кодирует стабильный нормальный (дуально, тангенциальные) данных. Существуют аналоги обобщений многообразий, в частности PL-многообразий и топологических многообразий . Существует также аналог в теории гомотопий для пространств Пуанкаре - сферическое расслоение Спивака , названное в честь Майкла Спивака . ^[1]

Строительство с помощью вложений [ править ]

Учитывая вложение многообразия в евклидово пространство (обеспечиваемое теоремой Хасслера Уитни ), оно имеет нормальное расслоение . Вложение не единственное, но для большой размерности евклидова пространства оно единственно с точностью до изотопии , поэтому расслоение (класс) единственно и называется стабильным нормальным расслоением .

Эта конструкция работает для любого Пуанкаре пространства X : а конечные CW-комплекса допускает стабильно единственными ( с точностью до гомотопии) вложения в евклидове пространства , с помощью общего положения , и это вложение дает сферическое расслоение над X . Для более ограниченных пространств (особенно PL-многообразий и топологических многообразий) получаются более сильные данные.

Подробности [ править ]

Два вложения являются изотопными , если они гомотопны через вложения. Для данного многообразия или другого подходящего пространства X с двумя вложениями в евклидово пространство они, как правило, не будут изотопными и даже не будут отображаться в одно и то же пространство ( не обязательно равными ). Однако их можно встроить в большее пространство , установив последние координаты равными 0: ${\ Displaystyle I, я '\ двоеточие X \ hookrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle я \ двоеточие X \ hookrightarrow \ mathbb {R} ^ {m},}$ ${\ displaystyle j \ двоеточие X \ hookrightarrow \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$ ${\ displaystyle Nm}$

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

.

Этот процесс присоединения тривиальных копий евклидова пространства называется стабилизацией. Таким образом, можно организовать, чтобы любые два вложения в евклидово пространство отображались в одно и то же евклидово пространство (взяв ), и, кроме того, если оно достаточно велико, эти вложения изотопны, что является теоремой. $N=\max(m,n)$ $N$

Таким образом, существует единственный стабильный изотопический класс вложения: это не конкретное вложение (поскольку существует много вложений), ни изотопический класс (поскольку целевое пространство не фиксировано: это просто «достаточно большое евклидово пространство»), а скорее стабильный изотопический класс отображений. Нормальное расслоение, связанное с этим (стабильным классом) вложений, тогда является стабильным нормальным расслоением.

Можно заменить этот стабильный изотопический класс реальным изотопическим классом, зафиксировав целевое пространство, либо используя гильбертово пространство в качестве целевого пространства, либо (для фиксированной размерности многообразия ), используя фиксированное достаточно большое значение, поскольку N зависит только от n , не рассматриваемое многообразие. $n$ $N$

Говоря более абстрактно, вместо стабилизации вложения можно взять любое вложение, а затем взять прямую сумму векторного расслоения с достаточным количеством тривиальных линейных расслоений; это в точности соответствует нормальному расслоению стабилизированного вложения.

Строительство через классификационные помещения [ править ]

П -многообразия М имеет касательное расслоение, которое имеет карту классифей (до гомотопии)

\tau _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n).

Композиция с включением дает (гомотопический класс классифицирующего отображения) стабильное касательное расслоение. Нормальное расслоение вложения ( большое) является обратным для , таким образом, что сумма Уитни тривиальна. Гомотопический класс композиции не зависит от выбора обратного, классифицирующего стабильное нормальное расслоение . $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ $k$ $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)$ $\tau _{M}$ $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ $\nu _{M}$

Мотивация [ править ]

Не существует внутреннего понятия вектора нормали к многообразию, в отличие от касательных или кокасательных векторов - например, нормальное пространство зависит от того, в какое измерение он встраивается, - поэтому стабильное нормальное расслоение вместо этого обеспечивает понятие стабильного нормального пространства: нормальное пространство (и нормальные векторы) с точностью до тривиальных слагаемых.

Почему стабильная нормальная, а не стабильная касательная? Стабильные нормальные данные используются вместо нестабильных касательных данных, потому что обобщения многообразий имеют естественные устойчивые структуры нормального типа, происходящие из трубчатых окрестностей и обобщений, но не неустойчивые касательные, поскольку локальная структура не является гладкой.

Сферические расслоения над пространством X классифицируются гомотопическими классами отображений к сортировочным пространству , с гомотопическими группами в стабильном гомотопические группах сфер $X\to BG$ $BG$

\pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}

.

Карта забывчивости распространяется на последовательность расслоений $B{\textrm {O}}\to BG$

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

.

Пуанкар пространство X не имеет касательное расслоения, но у него есть четко определенный стабильное сферическое расслоение , которое для дифференцируемого многообразия является сферическим расслоением , связанным со стабильным нормальным расслоением; Таким образом , основное препятствие для X гомотопического типа дифференцируемого многообразия является то , что сферическими расслоения поднимаются до векторного расслоения, т.е. сферическое расслоение Спивака должно снять с , что эквивалентно отображением будучи нулевой гомотопные Таким образом расслоение препятствий к существование (гладкой) структуры многообразия - это класс . Вторичная обструкция - это обструкция, связанная с хирургическим вмешательством на стене . $X\to BG$ $X\to B{\textrm {O}}$ $X\to B(G/{\textrm {O}})$ $X\to B(G/{\textrm {O}})$

Приложения [ править ]

Стабильный нормальный пучок является фундаментальным в теории хирургии как первичная обструкция:

Чтобы пространство Пуанкаре X имело гомотопический тип гладкого многообразия, отображение должно быть гомотопным нулю. $X\to B(G/{\textrm {O}})$
Для гомотопической эквивалентности между два многообразием гомотопного диффеоморфизмом, он должен оттянуть стабильное нормальное расслоение на N в стабильном нормальное расслоение на M . $f\colon M\to N$

В более общем смысле, его обобщения служат заменой (нестабильного) касательного пучка.

Ссылки [ править ]

^ Спивак, Майкл (1967), "Пространства , удовлетворяющие двойственности Пуанкаре", Топология (6): 77-101, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (67) 90016-X , MR 0214071

[1] Спивак, Майкл (1967), "Пространства , удовлетворяющие двойственности Пуанкаре", Топология (6): 77-101, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (67) 90016-X , MR 0214071

[1]