Обструкция хирургии

В математике , в частности , в теории перестроек , в хирургии обструкции определить карту от нормальных инвариантов к L-группам , которая находится в первом случае теоретико-множественные карты (что означает не обязательно гомоморфизм ) со следующим свойством , когда :${\ Displaystyle \ тета \ двоеточие {\ mathcal {N}} (X) \ в L_ {n} (\ pi _ {1} (X))}$${\ displaystyle n \ geq 5}$

Степень одна нормальная карта , как правило , кобордантна к гомотопической эквивалентности , если и только если изображение в .${\ displaystyle (f, b) \ двоеточие от M \ до X}$${\ Displaystyle \ theta (е, Ь) = 0}$${\ Displaystyle L_ {п} (\ mathbb {Z} [\ pi _ {1} (X)])}$

Набросок определения

Обструкция хирургического вмешательства карты нормалей первой степени имеет относительно сложное определение.

Рассмотрим карту нормалей первой степени . Идея решения вопроса о том, является ли оно обычно кобордантным для гомотопической эквивалентности, состоит в том, чтобы попытаться систематически улучшить так, чтобы отображение стало -связным (то есть гомотопическими группами для ) с высокой степенью . Это следствие двойственности Пуанкаре, что если мы можем добиться этого, то отображение уже является гомотопической эквивалентностью. Вышеупомянутое слово « систематически» относится к тому факту, что кто-то пытается сделать операции, чтобы убить элементы . На самом деле это более удобно использовать гомологии из универсальных чехлов наблюдать , как подключили карту${\ displaystyle (f, b) \ двоеточие от M \ до X}$${\ Displaystyle (е, Ь)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$${\displaystyle \pi _{*}(f)=0}$${\displaystyle *\leq m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m>\lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{i}(f)}$${\displaystyle f}$является. Точнее, работают с ядрами операций, которые рассматриваются как -модули. Если все они равны нулю, то отображение является гомотопической эквивалентностью. Как следствие двойственности Пуанкаре на и есть -модулями двойственности Пуанкаре , поэтому нужно только смотреть половину из них, это означает , что те , для которых .${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{i}({\tilde {M}})\rightarrow H_{i}({\tilde {X}})\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$${\displaystyle K^{n-i}({\tilde {M}})\cong K_{i}({\tilde {M}})}$${\displaystyle i\leq \lfloor n/2\rfloor }$

Любую карту нормалей первой степени можно связать с помощью процесса, называемого хирургией ниже среднего измерения. Это процесс уничтожения элементов for, описанный здесь, когда у нас есть такие, что . После этого есть два случая.${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}})}$${\displaystyle i<\lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle p+q=n}$${\displaystyle i=p<\lfloor n/2\rfloor }$

1. Если тогда единственная нетривиальная группа гомологий - это ядро . Оказывается, что пары «чашка-продукт» и вызывают возникновение пары « чашка-продукт» . Это определяет симметричную билинейную форму в случае и кососимметричную билинейную форму в случае . Оказывается, эти формы могут быть уточнены до -квадратичных форм, где . Эти -квадратичные формы определяют элементы в L-группах .${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{k}({\tilde {M}})\rightarrow H_{k}({\tilde {X}})\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$${\displaystyle k=2l}$${\displaystyle k=2l+1}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =(-1)^{k}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

2. Если определение посложнее. Вместо квадратичной формы из геометрии получается квадратичная формация, которая является своего рода автоморфизмом квадратичных форм. Такая вещь определяет элемент нечетномерной L-группы .${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

Если элемент равен нулю в L-группе, может быть сделана операция по преобразованию в гомотопическую эквивалентность.${\displaystyle \theta (f,b)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$

Геометрически причина, по которой это не всегда возможно, заключается в том, что выполнение операции в среднем измерении для уничтожения элемента, возможно, создает элемент в том случае, когда или когда . Так что это, возможно, разрушает то, что уже было достигнуто. Однако, если он равен нулю, операции можно организовать так, чтобы этого не произошло.${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$${\displaystyle K_{k-1}({\tilde {M}})}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle \theta (f,b)}$

Пример

В односвязном случае происходит следующее.

Если нет препятствий.${\displaystyle n=2k+1}$

Если тогда обструкция хирургического вмешательства может быть рассчитана как разность сигнатур M и X.${\displaystyle n=4l}$

Если тогда препятствие к перестройке является Arf-инвариантом соответствующей квадратичной формы ядра над .${\displaystyle n=4l+2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

использованная литература

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0358813
• Люк, Вольфганг (2002), Основное введение в теорию хирургии (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, школы "Теория многомерных многообразий" в Триесте, май / июнь 2001, Международный теоретический центр Абдуса Салама. Физика, Триест 1-224
• Раники, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, Руководство по ремонту  2061749
• Wall, CTC (1999), Хирургия компактных многообразий , Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0942-6, Руководство по ремонту  1687388