пространство Тома

В математике пространство Тома, комплекс Тома или конструкция Понтрягина-Тома (названная в честь Рене Тома и Льва Понтрягина ) алгебраической топологии и дифференциальной топологии представляет собой топологическое пространство , связанное с векторным расслоением над любым паракомпактным пространством.

— вещественное векторное расслоение ранга n над паракомпактом B . Тогда для каждой точки b в B слой является -мерным вещественным векторным пространством . Выберем ортогональную структуру на E, плавно меняющееся скалярное произведение на слоях; мы можем сделать это, используя разделы единства. Пусть расслоение единичных шаров относительно нашей ортогональной структуры и расслоение единичных сфер, тогда пространство Тома является фактором топологических пространств. представляет собой точечное пространство с изображением в частном в качестве базовой точки. Если Б ${\ Displaystyle Е_ {б}}$ ${\ Displaystyle п}$ ${\ Displaystyle D (Е)}$ ${\ Displaystyle S (Е)}$ ${\ Displaystyle Т (Е)}$ ${\ Displaystyle Т (Е): = D (Е) / S (Е)}$ ${\ Displaystyle Т (Е)}$ ${\ Displaystyle S (Е)}$ компактно, то является одноточечной компактификацией E . ${\ Displaystyle Т (Е)}$

Например, если E — тривиальное расслоение , то и . Запись для B с непересекающейся базовой точкой является прямым произведением и ; то есть n -я приведенная подвеска . ${\ Displaystyle В \ раз \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle D (E) = B \ раз D ^ {п}}$ ${\ Displaystyle S (E) = B \ раз S ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle B_ {+}}$ ${\ Displaystyle Т (Е)}$ ${\ Displaystyle B_ {+}}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ Displaystyle B_ {+}}$

Значение этой конструкции начинается со следующего результата , относящегося к когомологиям расслоений . (Мы сформулировали результат в терминах коэффициентов , чтобы избежать осложнений, связанных с ориентируемостью ; см. также Ориентация векторного расслоения#пространство Тома .) ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Позвольте быть вещественным векторным расслоением ранга n . Тогда существует изоморфизм, называемый теперь изоморфизмом Тома ${\ displaystyle p: E \ to B}$