Предел установлен

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Ограничение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , особенно при изучении динамических систем , предельный набор - это состояние, которого динамическая система достигает по прошествии бесконечного количества времени, двигаясь вперед или назад во времени. Наборы пределов важны, потому что их можно использовать для понимания долгосрочного поведения динамической системы.

Типы [ править ]

• фиксированные точки
• периодические орбиты
• предельные циклы
• аттракторы

В общем случае предельные множества могут быть очень сложными, как и в случае странных аттракторов , но для двумерных динамических систем теорема Пуанкаре – Бендиксона дает простую характеризацию всех непустых компактных -предельных множеств, содержащих не более конечного числа неподвижных точек, как неподвижная точка, периодическая орбита или объединение неподвижных точек и гомоклинических или гетероклинических орбит, соединяющих эти неподвижные точки.${\ displaystyle \ omega}$

Определение повторяющихся функций [ править ]

Позвольте быть метрическим пространством , и пусть будет непрерывной функцией . -Предел набор , обозначается , есть множество кластера точек в передней орбите в итерированной функции . ^[1] Следовательно, тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что as . Другой способ выразить это -${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle \ omega (х, е)}$ ${\ Displaystyle \ {е ^ {п} (х) \} _ {п \ в \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle у \ в \ омега (х, е)}$ ${\ displaystyle \ {n_ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$${\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}$${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}},}$

где означает замыкание множества . Замыкание здесь необходимо, поскольку мы не предполагали, что интересующее нас метрическое пространство является полным метрическим пространством . Точки в наборе пределов не являются блуждающими (но не могут быть повторяющимися точками ). Это также можно сформулировать как внешний предел ( limsup ) последовательности наборов, так что ${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{k=n}^{\infty }\{f^{k}(x)\}}}.}$

Если - гомеоморфизм (то есть бинепрерывная биекция), то -предельное множество определяется аналогичным образом, но для обратной орбиты; то есть . ${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}$

Оба множества инвариантны, если это компактное , они компактны и не пусто.${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

Определение потоков [ править ]

Учитывая реальную динамическую систему ( Т , Х , φ) с потоком , в точке х , мы называем точку у ω- предельная точка из х , если существует последовательность в R , так что${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \times X\to X}$${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$.

Для орбиты γ отрезка ( T , X , φ) мы говорим, что y является ω- предельной точкой γ, если это ω- предельная точка некоторой точки на орбите.

Аналогично мы называем Y в альфа- предельную точку из х , если существует последовательность в R , так что${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$.

Для орбиты γ отрезка ( T , X , φ) мы говорим, что y является α- предельной точкой γ, если это α- предельная точка некоторой точки на орбите.

Множество всех ω-предельных точек (α-предельных точек) для данной орбиты γ называется ω-предельным множеством (α- предельным множеством ) для γ и обозначается lim _ω γ (lim _α γ).

Если ω-предельное множество (α-предельное множество) не пересекается с орбитой γ, то есть lim _ω γ ∩ γ = ∅ (lim _α γ ∩ γ = ∅), назовем lim _ω γ (lim _α γ) ω -предельный цикл ( α-предельный цикл ).

В качестве альтернативы предельные наборы могут быть определены как

${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}}$

и

${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t<s\}}}.}$

Примеры [ править ]

• Для любой периодической орбиты γ динамической системы lim _ω γ = lim _α γ = γ
• Для любой неподвижной точки динамической системы lim _ω = lim _α =${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

Свойства [ править ]

• lim _ω γ и lim _α γ замкнуты
• если X компактно, то lim _ω γ и lim _α γ непусты , компактны и связны
• lim _ω γ и lim _α γ являются φ-инвариантными, то есть φ ( R × lim _ω γ) = lim _ω γ и φ ( R × lim _α γ) = lim _α γ

См. Также [ править ]

• Юля набор
• Стабильный набор
• Предельный цикл
• Периодическая точка
• Неблуждающий набор
• Клейнианская группа

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.

Эта статья включает материал из Omega-limit, установленного на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .