В математике , то Пуанкаре-Бендиксон теорема является утверждение о долгосрочном поведении орбит в непрерывных динамических систем на плоскости, цилиндра или двумерной сферы. [1]
Теорема
Учитывая дифференцируемую реальную динамическую систему , определенную на открытом подмножестве плоскости, каждое непустое компактное ω -предел множество из орбиты , которая содержит лишь конечное число неподвижных точек, либо [2]
- фиксированная точка ,
- периодическая орбита , или
- связное множество состоит из конечного числа неподвижных точек вместе с гомоклиническими и гетероклиническими орбитами , соединяющих их.
Более того, существует не более одной орбиты, соединяющей разные фиксированные точки в одном направлении. Однако может быть счетное количество гомоклинических орбит, соединяющих одну неподвижную точку.
Более слабая версия теоремы была первоначально задумана Анри Пуанкаре ( 1892 г. ), хотя ему не хватало полного доказательства, которое позднее было дано Иваром Бендиксоном ( 1901 г. ).
Обсуждение
Условие нахождения динамической системы на плоскости необходимо для теоремы. Например, на торе возможна рекуррентная непериодическая орбита. [3] В частности, хаотическое поведение может возникать только в непрерывных динамических системах, фазовое пространство которых имеет три или более измерений. Однако теорема не применяется к дискретным динамическим системам , где хаотическое поведение может возникать в двумерных или даже одномерных системах.
Приложения
Одним из важных выводов является то, что двумерная непрерывная динамическая система не может порождать странный аттрактор . Если бы странный аттрактор C действительно существовал в такой системе, то его можно было бы заключить в замкнутое и ограниченное подмножество фазового пространства. Сделав это подмножество достаточно маленьким, можно исключить любые близлежащие стационарные точки. Но тогда теорема Пуанкаре – Бендиксона говорит, что C вовсе не странный аттрактор - это либо предельный цикл, либо он сходится к предельному циклу.
Рекомендации
- ^ Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). "Теория Пуанкаре – Бендиксона двумерных автономных систем". Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 389–403 . ISBN 978-0-89874-755-3.
- ^ Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- ^ D'Heedene, RN (1961). «Автономное дифференциальное уравнение третьего порядка с почти периодическими решениями» . Журнал математического анализа и приложений . Эльзевир . 3 (2): 344–350. DOI : 10.1016 / 0022-247X (61) 90059-2 .
- Бендиксон, Ивар (1901), "Sur ль courbes définies пара де УРАВНЕНИЯ différentielles" (PDF) , Acta Mathematica , Springer Нидерланды, 24 (1): 1-88, DOI : 10.1007 / BF02403068
- Пуанкаре, Анри (1892), "Sur les Courbes définies par une équation différentielle", Oeuvres , 1 , Париж