В математике , гомоклиническая орбита является траекторией потока в виде динамической системы , которая соединяет седловую точку равновесия к себе. Точнее, гомоклиническая орбита лежит в пересечении устойчивого многообразия и неустойчивое многообразие из равновесия .
Рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую ОДУ
Предположим, что имеется равновесие при , тогда решение является гомоклинической орбитой, если
Если фазовое пространство имеет три или более измерений, то важно учитывать топологию неустойчивого многообразия седловой точки. На рисунках показаны два случая. Во-первых, когда устойчивое многообразие топологически является цилиндром, а во-вторых, когда неустойчивое многообразие топологически является лентой Мёбиуса ; в этом случае гомоклиническая орбита называется закрученной .
Гомоклинические орбиты и гомоклинические точки определяются таким же образом для повторяющихся функций , как пересечение устойчивого множества и неустойчивого множества некоторой неподвижной точки или периодической точки системы.
У нас также есть понятие гомоклинической орбиты при рассмотрении дискретных динамических систем. В таком случае, если это Диффеоморфизм из многообразия , мы говорим , что это гомоклиническая точка , если она имеет тот же прошлое и будущее - более конкретно, если существует фиксированный (или периодической) точки такая , что
Существование одной гомоклинической точки подразумевает существование бесконечного числа их. [1] Это происходит из его определения: пересечение устойчивого и неустойчивого множества. Оба набора инвариантны по определению, что означает, что прямая итерация гомоклинической точки происходит как на стабильном, так и на нестабильном множестве. Путем повторения N раз карта приближается к точке равновесия по устойчивому множеству, но на каждой итерации она также оказывается на неустойчивом многообразии, что демонстрирует это свойство.
Это свойство предполагает, что сложная динамика возникает из-за существования гомоклинической точки. Действительно, Смейл (1967) [2] показал, что эти точки приводят к отображению подковообразной динамики, которое связано с хаосом.
Используя марковское разбиение , долговременное поведение гиперболической системы может быть изучено с использованием методов символической динамики . В этом случае гомоклиническая орбита имеет особенно простое и ясное представление. Предположим, что это конечный набор из M символов. Тогда динамика точки x представлена бибесконечной цепочкой символов
Периодическая точка системы просто повторяющиеся последовательности букв. Гетероклиническая орбита затем соединение двух различных периодических орбит. Это можно записать как
где - последовательность символов длины k , (конечно, ), и - другая последовательность символов длины m (аналогично ). Обозначение просто означает повторение p бесконечное количество раз. Таким образом, гетероклиническую орбиту можно понимать как переход от одной периодической орбиты к другой. Напротив, гомоклиническую орбиту можно записать как
при этом промежуточная последовательность непуста и, конечно же, не является p , иначе орбита была бы просто .