В математике , и в частности при изучении динамических систем , идея стабильных и неустойчивых множеств или стабильных и неустойчивых многообразий дает формальное математическое определение общим понятиям, воплощенным в идее аттрактора или репеллера . В случае гиперболической динамики соответствующим понятием является понятие гиперболического множества .
Физический пример
Гравитационные приливные силы, действующие на кольца Сатурна, являются наглядным физическим примером. Приливные силы сплющивают кольцо в экваториальную плоскость, даже если растягивают его в радиальном направлении. Представляя кольца как частицы песка или гравия («пыль») на орбите вокруг Сатурна, приливные силы таковы, что любые возмущения, толкающие частицы выше или ниже экваториальной плоскости, приводят к тому, что частица ощущает восстанавливающую силу, толкая ее обратно в плоскость экватора. самолет. Частицы эффективно колеблются в гармонической яме, демпфируемой столкновениями. Устойчивое направление перпендикулярно кольцу. Неустойчивое направление - вдоль любого радиуса, где силы растягивают и разрывают частицы. Две частицы, которые стартуют очень близко друг к другу в фазовом пространстве, будут испытывать радиальные силы, заставляющие их радиально расходиться. Эти силы имеют положительный показатель Ляпунова ; траектории лежат на гиперболическом многообразии, а движение частиц по существу хаотично , они блуждают по кольцам. Центральный коллектор расположен по касательной к кольцам, при этом частицы не испытывают ни сжатия, ни растяжения. Это позволяет преобладать гравитационным силам второго порядка, и поэтому частицы могут увлекаться лунами или лунками в кольцах, синхронизируя их фазу . Гравитационные силы лун эффективно обеспечивают регулярно повторяющийся небольшой толчок каждый раз вокруг орбиты , подобный удару ротора , например, в петле фазовой автоподстройки частоты .
Движение частиц в кольце в дискретном времени можно аппроксимировать отображением Пуанкаре . Карта эффективно предоставляет матрицу переноса системы. Собственный вектор, связанный с наибольшим собственным значением матрицы, - это собственный вектор Фробениуса – Перрона , который также является инвариантной мерой , то есть фактической плотностью частиц в кольце. Все остальные собственные векторы передаточной матрицы имеют меньшие собственные значения и соответствуют затухающим модам.
Определение
Ниже дается определение для случая системы, которая является либо повторяющейся функцией, либо имеет динамику с дискретным временем. Аналогичные понятия применимы к системам, эволюция которых во времени задается потоком .
Позволять быть топологическим пространством , игомеоморфизм . Еслиявляется неподвижной точкой для, стабильный набор определяется
и нестабильный набор определяется
Здесь, обозначает обратную функцию, т.е. , где тождественная карта на .
Если является периодическая точка наименьшего периода, то это неподвижная точка , а устойчивые и неустойчивые наборы определены
а также
Учитывая район из , То локальные устойчивые и неустойчивые множества из определены
а также
Если является метризуемый , мы можем определить устойчивые и неустойчивые наборы для любой точки
а также
где является метрикой для. Это определение явно совпадает с предыдущим, когда - периодическая точка.
Предположим теперь, что является компактным гладким многообразием , и это диффеоморфизм ,. Еслиявляется гиперболической периодической точкой, теорема об устойчивом многообразии гарантирует, что для некоторой окрестности из , локальные устойчивые и неустойчивые множества равны встроенные диски, у которых касательные пространства в находятся а также (устойчивые и неустойчивые пространства ), соответственно; более того, они непрерывно (в определенном смысле) изменяются в окрестности в топология (пространство всех диффеоморфизмы из себе). Наконец, устойчивые и неустойчивые множества равныинъективно погруженные диски. Вот почему их принято называть устойчивыми и неустойчивыми многообразиями . Этот результат также верен для непериодических точек, если они лежат в некотором гиперболическом множестве (теорема о стабильном многообразии для гиперболических множеств).
Замечание
Если является (конечномерным) векторным пространством и изоморфизм, его стабильное и неустойчивое множества называются стабильным пространством и нестабильным пространством соответственно.
Смотрите также
Рекомендации
- Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Месса для чтения: Бенджамин / Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X.
- Ирвин, Майкл С. (2001). «Устойчивые многообразия» . Гладкие динамические системы . World Scientific. С. 143–160. ISBN 981-02-4599-8.
- Шритаран, СС (1990). Теория инвариантных многообразий для гидродинамического перехода . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-582-06781-2.
В эту статью включены материалы из Stable Manifold на PlanetMath , которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .