Инерционный коллектор

В математике инерциальные многообразия связаны с долгосрочным поведением решений диссипативных динамических систем . Инерциальные многообразия - это конечномерные гладкие инвариантные многообразия, которые содержат глобальный аттрактор и экспоненциально быстро притягивают все решения . Поскольку инерциальное многообразие конечномерно, даже если исходная система бесконечномерна, и поскольку большая часть динамики системы происходит на инерциальном многообразии, изучение динамики на инерциальном многообразии значительно упрощает изучение динамика исходной системы. ^[1]

Во многих физических приложениях инерционные многообразия выражают закон взаимодействия между структурами с малой и большой длиной волны. Некоторые говорят, что маленькие длины волн порабощены большим (например, синергетика ). Инерционные многообразия могут также появляться как медленные многообразия, обычные в метеорологии, или как центральные многообразия в любой бифуркации . С вычислительной точки зрения численные схемы для уравнений с частными производными стремятся уловить долгосрочную динамику, и поэтому такие численные схемы образуют приближенное инерциальное многообразие.

Вводный пример [ править ]

Рассмотрим динамическую систему всего за два переменных  и  и с параметром  : ^[2]${\ displaystyle p (t)}$${\ displaystyle q (t)}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ frac {dp} {dt}} = ap-pq \ ,, \ qquad {\ frac {dq} {dt}} = - q + p ^ {2} -2q ^ {2}.}$

• Он обладает одномерным инерционным многообразием  из (парабол).${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle q = p ^ {2} / (1 + 2a)}$
• Это многообразие инвариантно относительно динамики, поскольку на многообразии ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$

 ${\ displaystyle {\ frac {dq} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} {\ frac {p ^ {2}} {1 + 2a}} = {\ frac {2p {\ frac { dp} {dt}}} {1 + 2a}} = {\ frac {2ap ^ {2}} {1 + 2a}} - {\ frac {2p ^ {4}} {(1 + 2a) ^ {2 }}}}$ который совпадает с

 ${\ displaystyle -q + ​​p ^ {2} -2q ^ {2} = - {\ frac {p ^ {2}} {1 + 2a}} + p ^ {2} -2 \ left ({\ frac { p ^ {2}} {1 + 2a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2ap ^ {2}} {1 + 2a}} - {\ frac {2p ^ {4}} {(1 + 2a) ^ {2}}}.}$

• Многообразие  притягивает все траектории в некоторой конечной области вокруг начала координат, потому что вблизи начала координат  (хотя строгое определение ниже требует притяжения из всех начальных условий).${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ frac {dq} {dt}} \ приблизительно -q}$

Следовательно, долгосрочное поведение исходной двумерной динамической системы задается «более простой» одномерной динамикой на инерциальном многообразии  , а именно  .${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ frac {dp} {dt}} = ap - {\ frac {1} {1 + 2a}} p ^ {3}}$

Определение [ править ]

Пусть обозначает решение динамической системы. Решение  может быть эволюционирующим вектором или может быть развивающейся функцией в бесконечномерном банаховом пространстве .${\ Displaystyle и (т)}$${\ Displaystyle и (т)}$${\ Displaystyle Н = \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle H}$

Во многих интересных случаях эволюция  определяется как решение дифференциального уравнения  , скажем, с начальным значением . В любом случае мы предполагаем, что решение динамической системы может быть записано в терминах полугруппового оператора или матрицы перехода состояний , так что для всех времен и всех начальных значений  . В некоторых ситуациях мы можем рассматривать только дискретные значения времени, как в динамике карты.${\ Displaystyle и (т)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {du} / {dt} = F (u (t))}$${\displaystyle u(0)=u_{0}}$${\displaystyle S:H\to H}$${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle u_{0}}$

Инерциальное многообразие ^[1] для динамической полугруппы  является гладким многообразием таким образом, что${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ имеет конечную размерность,
2. ${\displaystyle S(t){\mathcal {M}}\subset {\mathcal {M}}}$на все времена  ,${\displaystyle t\geq 0}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$привлекает все решения экспоненциально быстро, то есть для каждого начального значения  существуют такие константы  , что .${\displaystyle u_{0}\in H}$${\displaystyle c_{j}>0}$${\displaystyle {\text{dist}}(S(t)u_{0},{\mathcal {M}})\leq c_{1}\exp(-c_{2}t)}$

Таким образом, ограничение дифференциального уравнения  на инерциальное многообразие  представляет собой хорошо определенную конечномерную систему, называемую инерциальной системой . ^[1] Тонко существует разница между привлекательным многообразием и привлекательными решениями на многообразии. Тем не менее, при соответствующих условиях инерциальная система обладает так называемой асимптотической полнотой : ^[3] то есть каждое решение дифференциального уравнения имеет сопутствующее решение, лежащее в нем  и производящее такое же поведение в течение большого времени; в математике для всех  существует  и, возможно, сдвиг во времени,  такой как  .${\displaystyle du/dt=F(u)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle v_{0}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \tau \geq 0}$${\displaystyle {\text{dist}}(S(t)u_{0},S(t+\tau )v_{0})\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

Исследователи 2000-х годов обобщили такие инерционные многообразия на зависящие от времени (неавтономные) и / или стохастические динамические системы (например, ^{[4] [5]} )

Существование [ править ]

Доказанные результаты существования касаются инерциальных многообразий, представимых в виде графа. ^[1] Определяющее дифференциальное уравнение переписывается более конкретно в виде неограниченного самосопряженного замкнутого оператора  с областью определения  и нелинейного оператора  . Как правило, элементарная спектральная теория дает ортонормированный базис  , состоящий из собственных векторов  : , для упорядоченных собственных значений .${\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)\subset H}$${\displaystyle f:D(A)\to H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle Av_{j}=\lambda _{j}v_{j}}$${\displaystyle j=1,2,\ldots }$${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots }$

Для некоторого заданного числа  мод,  обозначает проекцию  на пространство, натянутое на  , и  обозначает ортогональную проекцию на пространство, натянутое на  . Мы ищем инерциальное многообразие, выраженное в виде графа  . Для существования этого графа самым строгим требованием является условие спектральной щели ^[1], где константа  зависит от системы. Это условие спектральной щели требует, чтобы спектр  должен содержать большие щели, чтобы гарантировать существование.${\displaystyle m}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle Q=I-P}$${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$${\displaystyle \Phi :PH\to QH}$ ${\displaystyle \lambda _{m+1}-\lambda _{m}\geq c({\sqrt {\lambda _{m+1}}}+{\sqrt {\lambda _{m}}})}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$

Приближенные инерционные многообразия [ править ]

Предлагается несколько методов построения аппроксимаций инерциальных многообразий ^{[1], в} том числе так называемые внутренние низкоразмерные многообразия . ^{[6] [7]}

Самый популярный способ аппроксимации следует из наличия графика. Определите  медленные переменные и «бесконечные» быстрые переменные . Затем спроецируйте дифференциальное уравнение на обе  и,  чтобы получить связанную систему и .${\displaystyle m}$  ${\displaystyle p(t)=Pu(t)}$ ${\displaystyle q(t)=Qu(t)}$${\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0}$${\displaystyle PH}$${\displaystyle QH}$${\displaystyle dp/dt+Ap+Pf(p+q)=0}$${\displaystyle dq/dt+Aq+Qf(p+q)=0}$

Для траекторий на графике инерциального многообразия  быстрая переменная  . Дифференцирование и использование формы связанной системы дает дифференциальное уравнение для графика:${\displaystyle M}$${\displaystyle q(t)=\Phi (p(t))}$

${\displaystyle -{\frac {d\Phi }{dp}}\left[Ap+Pf(p+\Phi (p))\right]+A\Phi (p)+Qf(p+\Phi (p))=0.}$

Это дифференциальное уравнение обычно решается приближенно в асимптотическом разложении по «малому»  для получения модели инвариантного многообразия ^[8] или нелинейного метода Галеркина ^[9], оба из которых используют глобальный базис, тогда как так называемая целостная дискретизация использует местная основа. ^[10] Такие подходы к аппроксимации инерциальных многообразий очень тесно связаны с аппроксимацией центральных многообразий, для которых существует веб-сервис для построения приближений для систем, вводимых пользователем. ^[11]${\displaystyle p}$

См. Также [ править ]

• Странствующий набор

Ссылки [ править ]