Матрица перехода состояний

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Декабрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории управления , то матрица перехода состояний представляет собой матрицу, произведение с вектором состояния в начальный момент времени дает в более позднее время . Матрица переходов состояний может использоваться для получения общего решения линейных динамических систем.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

Решения для линейных систем

Матрица переходов состояний используется для нахождения решения общего представления линейной системы в пространстве состояний в следующей форме

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} (t) \ mathbf {u} (t ), \; \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}$,

где являются состоянием системы, является входным сигналом, и являются матричными функциями , и является начальным условием в . Используя матрицу переходов между состояниями , решение дается следующим образом: ^{[1] [2]}${\ Displaystyle \ mathbf {х} (т)}$${\ Displaystyle \ mathbf {и} (т)}$${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$${\displaystyle \mathbf {B} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Первый член известен как реакция с нулевым входом и представляет, как состояние системы будет развиваться в отсутствие каких-либо входных данных. Второй член известен как реакция нулевого состояния и определяет, как входные данные влияют на систему.

Серия Пеано – Бейкера

Самая общая матрица перехода дается рядом Пеано – Бейкера

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}$

где - единичная матрица . Эта матрица сходится равномерно и абсолютно к существующему и единственному решению. ^[2]${\displaystyle \mathbf {I} }$

Прочие свойства

Матрица перехода состояний удовлетворяет следующим соотношениям:${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$

1. Он непрерывен и имеет непрерывные производные.

2, это никогда не бывает единичным; собственно и , где - единичная матрица.${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}$${\displaystyle I}$

3. для всех . ^[3]${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t)=I}$${\displaystyle t}$

4. для всех .${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}}$

5. Он удовлетворяет дифференциальному уравнению с начальными условиями .${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I}$

6. Матрица переходов между состояниями , заданная формулой${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$

где матрица - это матрица фундаментального решения , удовлетворяющая${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$с начальным состоянием .${\displaystyle \mathbf {U} (t_{0})=I}$

7. Учитывая состояние в любое время , состояние в любое другое время задается отображением${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$

Оценка матрицы переходов между состояниями

В инвариантном во времени случае мы можем определить , используя матричную экспоненту , как . ^[4]${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$

В время варианты случае матрицу перехода состояний можно оценить из решений дифференциального уравнения с начальными условиями , данными , , ..., . Соответствующие решения предоставляют столбцы матрицы . Теперь из свойства 4 для всех . Матрица переходов между состояниями должна быть определена до того, как можно будет продолжить анализ нестационарного решения.${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)}$${\displaystyle \mathbf {u} (t_{0})}$${\displaystyle [1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$${\displaystyle [0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$${\displaystyle [0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}}$${\displaystyle t_{0}\leq \tau \leq t}$

Смотрите также

• Расширение Магнуса
• Формула Лиувилля

использованная литература

дальнейшее чтение

• Baake, M .; Schlaegel, U. (2011). «Серия Пеано Бейкер». Труды Математического института им . В. А. Стеклова . 275 : 155–159. DOI : 10.1134 / S0081543811080098 . S2CID  119133539 .
• Броган, WL (1991). Современная теория управления . Прентис Холл. ISBN 0-13-589763-7.

В Викиучебнике есть книга на тему: Системы управления / Системные решения с изменяемыми во времени решениями.