Расширение Магнуса

В математике и физике , то расширение Магнуса , названное в честь Вильгельма Магнуса (1907-1990), обеспечивает экспоненциальное представление решения первого порядка однородного линейный дифференциальное уравнение для линейного оператора . В частности, он предоставляет фундаментальную матрицу системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n с переменными коэффициентами. Показатель агрегирован как бесконечный ряд, члены которого включают множественные интегралы и вложенные коммутаторы.

Детерминированный случай [ править ]

Подход Магнуса и его интерпретация [ править ]

Учитывая матрицу коэффициентов A ( t )  размера n ×  n , нужно решить задачу с начальным значением, связанную с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением

${\ displaystyle Y '(t) = A (t) Y (t), \ quad Y (t_ {0}) = Y_ {0}}$

для неизвестной n -мерной вектор-функции Y ( t ) .

Когда n  = 1, решение просто читает

${\ displaystyle Y (t) = \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} A (s) \, ds \ right) Y_ {0}.}$

Это все еще верно для n  > 1, если матрица A ( t ) удовлетворяет A ( t ₁ ) A ( t ₂ ) = A ( t ₂ ) A ( t ₁ ) для любой пары значений t , t ₁ и t _2. . В частности, это так, если матрица A не зависит от t . Однако в общем случае приведенное выше выражение уже не является решением проблемы.

Подход, предложенный Магнусом для решения матричной начальной задачи, состоит в том, чтобы выразить решение с помощью экспоненты некоторой матричной функции размера n  ×  n Ω ( t , t ₀ ) :

${\ Displaystyle Y (T) = \ ехр {\ big (} \ Omega (t, t_ {0}) {\ big)} \, Y_ {0},}$

который впоследствии строится как разложение в ряд :

${\ Displaystyle \ Omega (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ Omega _ {k} (t),}$

где для простоты, принято писать Q ( т ) для Q ( т , т ₀ ) и принять т ₀  = 0.

Магнуса в виду , что, так как ( ^г / _дт е ^Ом ) е ^-со = А ( т ) , с использованием Пуанкаре-хаусдорфову матрицу идентичности, он может связать производную по времени от Q , к производящей функции чисел Бернулли и сопряженного эндоморфизму из Q , ,

${\ displaystyle \ Omega '= {\ frac {\ operatorname {ad} _ {\ Omega}} {\ exp (\ operatorname {ad} _ {\ Omega}) - 1}} A,}$

рекурсивно решить для Ω в терминах A «в непрерывном аналоге разложения CBH », как описано в следующем разделе.

Вышеприведенное уравнение представляет собой разложение Магнуса или ряд Магнуса для решения матричной линейной начальной задачи. Первые четыре термина этой серии читаются

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}(t)&=\int _{0}^{t}A(t_{1})\,dt_{1},\\\Omega _{2}(t)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\,[A(t_{1}),A(t_{2})],\\\Omega _{3}(t)&={\frac {1}{6}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\,{\Bigl (}{\big [}A(t_{1}),[A(t_{2}),A(t_{3})]{\big ]}+{\big [}A(t_{3}),[A(t_{2}),A(t_{1})]{\big ]}{\Bigr )},\\\Omega _{4}(t)&={\frac {1}{12}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\int _{0}^{t_{3}}dt_{4}\,{\biggl (}{\Big [}{\big [}[A_{1},A_{2}],A_{3}{\big ]},A_{4}{\Big ]}\\&\qquad +{\Big [}A_{1},{\big [}[A_{2},A_{3}],A_{4}{\big ]}{\Big ]}+{\Big [}A_{1},{\big [}A_{2},[A_{3},A_{4}]{\big ]}{\Big ]}+{\Big [}A_{2},{\big [}A_{3},[A_{4},A_{1}]{\big ]}{\Big ]}{\biggr )},\end{aligned}}}$

где [ , B ] ≡ Б - Б матрица коммутатор из A и B .

Эти уравнения можно интерпретировать следующим образом: Ω ₁ ( t ) точно совпадает с показателем степени в скалярном ( n  = 1) случае, но это уравнение не может дать полного решения. Если кто-то настаивает на экспоненциальном представлении ( группа Ли ), показатель степени необходимо исправить. Остальная часть серии Magnus предусматривает , что коррекция систематически: Ω или его части в алгебре Ли из группы Ли на решение.

В приложениях редко удается точно суммировать ряд Магнуса, и для получения приближенных решений его необходимо усечь. Основное преимущество предложения Магнуса состоит в том, что усеченный ряд очень часто разделяет важные качественные свойства с точным решением, в отличие от других традиционных теорий возмущений . Например, в классической механике симплектического характер временной эволюции сохраняется в каждом порядке приближения. Точно так же сохраняется унитарный характер оператора временной эволюции в квантовой механике (в отличие, например, от ряда Дайсона, решающего ту же задачу).

Конвергенция расширения [ править ]

С математической точки зрения проблема сходимости заключается в следующем: при определенной матрице A ( t ) , когда можно получить показатель Ω ( t ) как сумму ряда Магнуса?

Достаточным условием сходимости этого ряда при t ∈ [0, T ) является

${\displaystyle \int _{0}^{T}\|A(s)\|_{2}\,ds<\pi ,}$

где обозначает матричную норму . Этот результат является общим в том смысле , что можно построить специфически матрицы А ( т ) , для которых ряд расходится для любого т > Т .${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$

Генератор Магнуса [ править ]

Рекурсивная процедура для генерации всех членов в разложении Магнуса использует матрицы S _n ^{( k ),} определенные рекурсивно через

${\displaystyle S_{n}^{(j)}=\sum _{m=1}^{n-j}\left[\Omega _{m},S_{n-m}^{(j-1)}\right],\quad 2\leq j\leq n-1,}$

${\displaystyle S_{n}^{(1)}=\left[\Omega _{n-1},A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),}$

которые затем предоставляют

${\displaystyle \Omega _{1}=\int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau ,}$

${\displaystyle \Omega _{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.}$

Здесь ad ^k _Ω - сокращение от повторного коммутатора (см. Присоединенный эндоморфизм ):

${\displaystyle \operatorname {ad} _{\Omega }^{0}A=A,\quad \operatorname {ad} _{\Omega }^{k+1}A=[\Omega ,\operatorname {ad} _{\Omega }^{k}A],}$

а B _j - числа Бернулли с B ₁ = −1/2 .

Наконец, когда эта рекурсия разработана явно, можно выразить Ω _n ( t ) как линейную комбинацию n- кратных интегралов от n  - 1 вложенных коммутаторов, включающих n матриц A :

${\displaystyle \Omega _{n}(t)=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \atop k_{1}\geq 1,\ldots ,k_{j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau )}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau )}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2,}$

который становится все более запутанным с n .

Стохастический случай [ править ]

Расширение стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений [ править ]

Для расширения стохастического случае пусть будет -мерном броуновское движение , на вероятностном пространстве с конечным горизонтом и естественной фильтрации. Теперь рассмотрим линейное матричное стохастическое дифференциальное уравнение Ито (с соглашением Эйнштейна о суммировании по индексу j )${\textstyle \left(W_{t}\right)_{t\in [0,T]}}$${\textstyle \mathbb {R} ^{q}}$${\textstyle q\in \mathbb {N} _{>0}}$ ${\textstyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$${\textstyle T>0}$

${\displaystyle dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0},}$

где - прогрессивно измеримые ограниченные случайные процессы, а - единичная матрица . Следуя тому же подходу, что и в детерминированном случае с изменениями из-за стохастической настройки ^[1], соответствующий матричный логарифм окажется как процесс Ито, первые два порядка разложения которого задаются выражениями и , где с соглашением Эйнштейна о суммировании по i и j${\textstyle B_{\cdot },A_{\cdot }^{(1)},\dots ,A_{\cdot }^{(j)}}$${\textstyle d\times d}$${\textstyle I_{d}}$${\textstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$${\textstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{t}^{(0,0)}&=0,\\Y_{t}^{(1,0)}&=\int _{0}^{t}A_{s}^{(j)}dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,1)}&=\int _{0}^{t}B_{s}ds,\\Y_{t}^{(2,0)}&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\big (}A_{s}^{(j)}{\big )}^{2}ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}A_{r}^{(i)}d{W_{r}^{i}}{\Big ]}dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(1,1)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}A_{r}^{(j)}dW_{r}{\Big ]}ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}B_{r}dr{\Big ]}dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,2)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}B_{r}dr{\Big ]}ds.\end{aligned}}}$

Конвергенция расширения [ править ]

В стохастической настройке сходимость теперь будет зависеть от времени остановки, и первый результат сходимости дается следующим образом: ^[2]${\textstyle \tau }$

При предыдущем предположении о коэффициентах существует сильное решение , а также строго положительное время остановки, такое что:${\textstyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$${\textstyle \tau \leq T}$

1. ${\textstyle X_{t}}$имеет действительный логарифм до времени , т. е.${\textstyle Y_{t}}$${\textstyle \tau }$
   

   ${\displaystyle X_{t}=e^{Y_{t}},\qquad 0\leq t<\tau ;}$

2. почти наверняка выполняется следующее представление :${\textstyle \mathbb {P} }$
   

   ${\displaystyle Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)},\qquad 0\leq t<\tau ,}$
   

   где это п -й члена в стохастическом разложении Магнуса , как определено ниже в формуле подраздела Магнус расширения;${\textstyle Y^{(n)}}$

3. существует положительная постоянная C , зависящая только от , с , такая, что${\textstyle \|A^{(1)}\|_{T},\dots ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d}$${\textstyle \|A_{\cdot }\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$
   

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\tau \leq t)\leq Ct,\qquad t\in [0,T].}$

Формула расширения Магнуса [ править ]

Общая формула разложения для стохастического разложения Магнуса дается следующим образом:

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)}\quad {\text{with}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},}$

где общий термин - это процесс Ито в форме: ${\textstyle Y^{(r,n-r)}}$

${\displaystyle Y_{t}^{(r,n-r)}=\int _{0}^{t}\mu _{s}^{r,n-r}ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,}$

Термины рекурсивно определяются как${\textstyle \sigma ^{r,n-r,j},\mu ^{r,n-r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{\big (}A^{(j)}{\big )},\\\mu _{s}^{r,n-r}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i=0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\sum _{q_{1}=2}^{r}\sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )},\end{aligned}}}$

с участием

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{s}^{q_{1},q_{2},j}:=\sum _{i_{1}=2}^{q_{1}}\sum _{i_{2}=0}^{q_{2}}\sum _{h_{1}=1}^{i_{1}-1}\sum _{h_{2}=0}^{i_{2}}&\sum _{p_{1}=0}^{q_{1}-i_{1}}\sum _{{p_{2}}=0}^{q_{2}-i_{2}}\ \sum _{m_{1}=0}^{p_{1}+p_{2}}\ \sum _{{m_{2}}=0}^{q_{1}-i_{1}-p_{1}+q_{2}-i_{2}-p_{2}}\\&{\Bigg (}{{\frac {S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}}{({m_{1}}+1)!}}{\frac {S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )}}{({m_{2}}+1)!}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {{\big [}S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )},S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}{\big ]}}{({m_{1}}+{m_{2}}+2)({m_{1}}+1)!{m_{2}}!}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

а операторы S определены как

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={\begin{cases}A&{\text{if }}r=n=1,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=n-r\end{array}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\big ]}{\big ]}\\&=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=n-r\end{array}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{aligned}}}$

Приложения [ править ]

С 1960-х годов расширение Магнуса успешно применялось в качестве пертурбативного инструмента во многих областях физики и химии, от атомной и молекулярной физики до ядерного магнитного резонанса ^[3] и квантовой электродинамики . Он также используется с 1998 года в качестве инструмента для построения практических алгоритмов численного интегрирования матричных линейных дифференциальных уравнений. Поскольку они наследуют от разложения Магнуса сохранение качественных черт задачи, соответствующие схемы являются прототипами геометрических числовых интеграторов .

См. Также [ править ]

• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Производная экспоненциального отображения

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]